f（x）≥x2－8x＋15的解集为{x|5－≤x<5}；
当x≥5时，f（x）≥x2－8x＋15的解集为
{x|5≤x≤6}．
综上，不等式f（x）≥x2－8x＋15的解集为{x|5－≤x≤6}．
题型二 不等式的证明
1．含有绝对值的不等式的性质
|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.
2．算术—几何平均不等式
定理1：
设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立．
定理2：
如果a、b为正数，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立．
定理3：
如果a、b、c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
定理4：
（一般形式的算术—几何平均不等式）如果a1，a2，…，an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．
例2
（1）已知x，y均为正数，且x>y.求证：
2x＋≥2y＋3.
（2）已知实数x，y满足：
|x＋y|<，|2x－y|<，
求证：
|y|<.
证明
（1）因为x>0，y>0，x－y>0，
2x＋－2y
＝2（x－y）＋
＝（x－y）＋（x－y）＋
≥3＝3，
所以2x＋≥2y＋3，
（2）因为3|y|＝|3y|＝|2（x＋y）－（2x－y）|
≤2|x＋y|＋|2x－y|，
由题设知|x＋y|<，|2x－y|<，
从而3|y|<＋＝，
所以|y|<.
点评
（1）作差法应该是证明不等式的常用方法．作差法证明不等式的一般步骤：
①作差；②分解因式；③与0比较；④结论．关键是代数式的变形能力．
（2）在不等式的证明中，适当“放”“缩”是常用的推证技巧．
变式训练2
（1）若a，b∈R，求证：
≤＋.
（2）已知a，b，c均为正数，a＋b＝1，求证：
＋＋≥1.
证明
（1）当|a＋b|＝0时，不等式显然成立．
当|a＋b|≠0时，
由0<|a＋b|≤|a|＋|b|⇒≥，
所以＝≤
＝≤＋.
（2）因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，
故＋＋＋（a＋b＋c）≥2（a＋b＋c），
即＋＋≥a＋b＋c，
所以＋＋≥1.
题型三 柯西不等式的应用
柯西不等式
（1）设a，b，c，d均为实数，则（a2＋b2）（c2＋d2）≥（ac＋bd）2，当且仅当ad＝bc时等号成立．
（2）设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则当且仅当bi＝0（i＝1,2，…，n）或存在一个数k，使得ai＝kbi（i＝1,2，…，n）时，等号成立．
例3 （xx·福建）已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值为4.
（1）求a＋b＋c的值；
（2）求a2＋b2＋c2的最小值．
解
（1）因为f（x）＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|（x＋a）－（x－b）|＋c＝|a＋b|＋c，
当且仅当－a≤x≤b时，等号成立．
又a＞0，b＞0，所以|a＋b|＝a＋b.
所以f（x）的最小值为a＋b＋c.
又已知f（x）的最小值为4，
所以a＋b＋c＝4.
（2）由
（1）知a＋b＋c＝4，由柯西不等式得
（4＋9＋1）
≥2
＝（a＋b＋c）2＝16，即a2＋b2＋c2≥.
当且仅当＝＝，
即a＝，b＝，c＝时等号成立．
故a2＋b2＋c2的最小值为.
点评
（1）使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明．
（2）利用柯西不等式求最值的一般结构为
（a＋a＋…＋a）（＋＋…＋）≥（1＋1＋…＋1）2＝n2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．
变式训练3 已知定义在R上的函数f（x）＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为a.
（1）求a的值；
（2）若p，q，r是正实数，且满足p＋q＋r＝a，求证：
p2＋q2＋r2≥3.
（1）解 因为|x＋1|＋|x－2|≥|（x＋1）－（x－2）|＝3，当且仅当－1≤x≤2时，等号成立，
所以f（x）的最小值等于3，即a＝3.
（2）证明 由
（1）知p＋q＋r＝3，
又因为p，q，r是正实数，
所以（p2＋q2＋r2）（12＋12＋12）≥（p×1＋q×1＋r×1）2＝（p＋q＋r）2＝9，
即p2＋q2＋r2≥3.
高考题型精练
1．如果关于x的不等式|x－3|－|x－4|解 设y＝|x－3|－|x－4|，
则y＝
的图象如图所示：
若|x－3|－|x－4|则（|x－3|－|x－4|）min由图象可知当a>－1时，不等式的解集不是空集．
即实数a的取值范围是（－1，＋∞）．
2．设x>0，y>0，若不等式＋＋≥0恒成立，求实数λ的最小值．
解 ∵x>0，y>0，∴原不等式可化为－λ≤（＋）·（x＋y）＝2＋＋.
∵2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当x＝y时等号成立．∴[（＋）（x＋y）]min＝4，∴－λ≤4，λ≥－4.即实数λ的最小值是－4.
3．若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．
解 设y＝|2x－1|＋|x＋2|
＝
当x<－2时，y＝－3x－1>5；
当－2≤x<时，y＝－x＋3>；
当x≥时，y＝3x＋1≥，
故函数y＝|2x－1|＋|x＋2|的最小值为.
因为不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，所以≥a2＋a＋2.
解不等式≥a2＋a＋2，得－1≤a≤，
故a的取值范围为[－1，]．
4．设不等式|x－2|（1）求a的值；
（2）求函数f（x）＝|x＋a|＋|x－2|的最小值．
解
（1）因为∈A，且∉A，
所以解得又因为a∈N*，
所以a＝1.
（2）因为|x＋1|＋|x－2|≥|（x＋1）－（x－2）|＝3，
当且仅当（x＋1）（x－2）≤0，
即－1≤x≤2时取到等号，
所以f（x）的最小值为3.
5．已知f（x）＝|x＋1|＋|x－1|，不等式f（x）<4的解集为M.
（1）求M；
（2）当a，b∈M时，证明：
2|a＋b|<|4＋ab|.
（1）解 f（x）＝|x＋1|＋|x－1|＝
当x<－1时，
由－2x<4，得－2当－1≤x≤1时，f（x）＝2<4；
当x>1时，
由2x<4，得1∴综上可得－2（2）证明 ∵a，b∈M，
即－2∴4（a＋b）2－（4＋ab）2
＝4（a2＋2ab＋b2）－（16＋8ab＋a2b2）
＝（a2－4）（4－b2）<0，
∴4（a＋b）2<（4＋ab）2，
∴2|a＋b|<|4＋ab|.
6．已知a2＋2b2＋3c2＝6，若存在实数a，b，c，使得不等式a＋2b＋3c>|x＋1|成立，求实数x的取值范围．
解 由柯西不等式知
[12＋（）2＋（）2][a2＋（b）2＋（c）2]
≥（1·a＋·b＋·c）2
即6×（a2＋2b2＋3c2）≥（a＋2b＋3c）2.
又∵a2＋2b2＋3c2＝6，
∴6×6≥（a＋2b＋3c）2，
∴－6≤a＋2b＋3c≤6，
∵存在实数a，b，c，使得不等式a＋2b＋3c>|x＋1|成立．
∴|x＋1|<6，∴－7∴x的取值范围是{x|－77．设函数f（x）＝|x－a|＋3x，其中a>0.
（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥3x＋2的解集；
（2）若不等式f（x）≤0
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