苏教版高中数学苏教版必修三学案疑难规律方法第一章 算法初步 含答案Word格式.docx

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（1）联系：

算法与解法是一般与特殊的关系，也是抽象与具体的关系．如教材中由具体的二元一次方程组的求解过程（解法）出发，归纳出了二元一次方程组求解的步骤．同时指出，这样的求解步骤也适合有限制条件的二元一次方程组，这些步骤就构成了二元一次方程组的算法．算法的获得要借助一般意义上具体问题的求解方法，而任何一个具体问题都可利用这类问题的一般算法解决．

（2）区别：

算法是解决某一类问题所需要的程序和步骤的统称，也可理解为数学中的“通法通解”；

而解法是解决某一个具体问题的过程和步骤，是具体的解题过程．

例2写出解方程x2－2x－3＝0的一个算法．

分析　本题是求一元二次方程解的问题，方法很多．要注意设计算法时算法的逻辑性和有穷性．

解　算法1：

利用配方法设计算法如下：

S1　移项，得x2－2x＝3.①

S2　①两边同时加1，并配方，得（x－1）2＝4.②

S3　②式两边开方，得x－1＝±

2.③

S4　解③得x＝3或x＝－1.

算法2：

利用公式法设计算法如下：

S1　计算方程的判别式，判断其符号Δ＝22＋4×

3＝16>

0.

S2　将a＝1，b＝－2，c＝－3代入求根公式x＝

，得x1＝3，x2＝－1.

2　流程图画法全知晓

1．画流程图的基本步骤

第一步，设计算法，因为算法的设计是画流程图的基础，所以画流程图前，首先写出相应的算法步骤，并分析算法需要用哪种基本算法结构（顺序结构、选择结构、循环结构）完成．

第二步，把算法步骤转化为对应的图框，在这种转化过程中往往需要考虑很多细节，是一个将算法“细化”的过程．

第三步，将所有步骤的图框用流程线连接起来并加上终端框，得到表示算法的流程图．

2．画流程图的规则

（1）使用标准的图形符号．

（2）流程图一般按从上到下、从左到右的方向来画．

（3）除判断框外，大多数图形符号只有一个进入点和一个退出点，判断框是唯一具有超过一个退出点的符号．

（4）在图形符号内描述的语言要简练清楚．

3．典例分析

（1）顺序结构

顺序结构是最简单的算法结构，是任何一个算法都离不开的结构．若一个算法由若干个依次执行的步骤组成，则在画流程图时，可直接由顺序结构完成．因为在其他的结构中都会涉及到顺序结构，所以关于顺序结构的画法，在此不再单独叙述．

（2）选择结构

设计流程图时，若是分段函数或执行时需要先判断才能执行的问题，则需要用到判断框，引入选择结构．

例1如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿着BCDA的方向由点B向点A运动，设点P运动的路程为x（0<

x<

12），△APB的面积为y，画出y关于x的关系式的流程图．

分析　先根据题意写出算法，再根据算法画出流程图．即：

第一步，按照题意，y与x的关系满足分段函数：

y＝

第二步，用合适的含选择结构的流程图表示该分段函数．

解　流程图如图所示．

点评　该题中的分段函数是分三段的函数，需引入两个判断框．至于判断框的内容是没有顺序的，但与下一图形的内容或操作必须相互对应．同时，在画流程图时，要特别注意图形符号的规范性．

（3）循环结构

如果问题中进行了重复的运算，且有相同的规律，就可根据需要引入相关变量，利用这些规律组成一个循环体，用循环结构来解决．

例2用分期付款的方式购买价格为1150元的冰箱，如果购买时先付150元，以后每月付50元，加上欠款的利息，若一个月后付第一个月的分期付款，月利率为1%，那么购买冰箱钱全部付清后，实际共付出款额多少元？

画出流程图．

分析　这里有一个每月付50元，加上欠款的利息的重复过程，可以用循环结构解决．但是欠款利息是变化的，所以需要把欠款利息用循环变量来表示．

解　购买时付款150元，余款1000元分20次付清，每次的付款数组成一个数列{an}．

a1＝50＋（1150－150）×

1%＝60（元），

a2＝50＋（1150－150－50）×

1%＝59.5（元），

…

an＝50＋[1150－150－（n－1）×

50]×

1%

＝60－

（n－1）（n＝1，2，…，20）．

∴a20＝60－

×

19＝50.5.

总和S＝150＋60＋59.5＋…＋50.5.

流程图如图：

点评　在本例中，给出了当型循环结构，直到型循环结构，同学们可以自行完成．

3　例说选择结构

选择结构是三种基本算法结构之一，可以解决一些含有条件判断的算法问题，如分段函数求值问题、比较大小问题、分类讨论问题和一些实际问题等．在此就其应用略举两例，供同学们学习时参考．

1．分段函数求值问题

例1已知函数y＝

请设计流程图，要求输入自变量x，输出函数值y.

分析　输入自变量x的值，首先判断x与0的大小关系，再代入相应的表达式求函数值．

解　流程图如图．

点评　求分段函数的函数值，需先判断再执行步骤，需要引入选择结构．注意画流程图时，判断条件不同，框图中表达式的位置也不同．

2．实际应用问题

例2邮政电子汇款单笔最高限额为1万元，每笔汇款的资费标准为汇款金额的1%，最低收费2元，最高收费为50

元．试编写一流程图求出当汇款x（0<

x≤10000）元时，应交纳资费多少元．

分析　由题意分析，当x≤200时，应交纳资费2元，当x≥5000时，应交纳资费50元，所以引入选择结构，200和5000是两个分段点．

点评　在一些需要判断的实际问题中，一般都会用到选择结构，在设计流程图时，可先根据题意，设计算法，再根据算法画出流程图．

4　两种循环结构辨与析

在我们学习的三种基本算法结构中，循环结构尤其重要，其算法设计又相对困难，因此就循环结构的流程图的设计问题及解题思路加以剖析，以期达到明辨结构、合理选择、准确解题的目的．

1．循环结构要点分析

（1）循环结构解决的是大量的重复性的问题，适用于累加求和、累乘求积等问题．

（2）循环结构有两种形式，即当型循环和直到型循环，它们在流程图的表示上是有所区别的．

（3）设计流程图时，我们按照“确定循环体”、“初始化变量”、“设定循环控制条件”的顺序来构造．

2．两种循环结构的区别与联系

区别：

（1）循环体执行的先后顺序不同：

当型循环是先判断后循环；

直到型循环是先执行一次循环体，然后再判断是否继续执行循环体．

（2）循环的条件不同：

当型循环是在条件满足时执行循环体，而直到型循环是在条件不满足时执行循环体，条件满足时退出循环体．

（3）循环体执行的次数不同：

若当型循环结构的循环条件一开始就不成立，则直接退出循环；

直到型循环是先执行一次循环体，再判断条件．这就是说，当型循环可能一次也不执行，而直到型循环至少执行一次．

联系：

很多情况下，这两种形式的流程图是可以相互转化的，但要注意判断框中的条件是有区别的．

3．典例精析

例设计计算12＋32＋52＋…＋992的值的流程图．

分析　为了方便表示，可应用循环结构引入两个变量：

一个是累加变量，为每一次加法运算提供初始值；

一个是计数变量，用来控制循环次数．

解　当型循环结构的流程图如图1，直到型循环结构的流程图如图2.

点评　在进行当型循环和直到型循环结构的互化时，不能仅通过将图1中判断框内的“i≤99”，改为“i>

99”，同时调换“Y”、“N”的位置完成（或是图2中作类似的变换）．同学们一定要在理解的基础上，牢记两种循环结构的条件和“Y”、“N”的位置．同一算法中，当型循环和直到型循环判断框中的条件恰恰相反.

5　走出流程图中的误区

1．忽视选择结构中“N”的意义导致错误

例1已知x，y满足y＝

画出给出x求y的流程图．

错解　流程图如图所示：

错解剖析　判断框中0≤x≤1处应填x≤1，因为“N”的意义就是指x<

0的反方面，即表示x≥0，再写x≥0则画蛇添足．

正解　流程图如图所示：

2．循环结构忽视初始值和循环条件

例2设计一个计算1×

2×

3×

…×

40的值的流程图．

错解剖析　在给变量赋初值时一定要注意与题目中的已知相对应，同时还要注意是要求和还是求积．一般来说，在解连加问题时存放累加和的变量初值常取0，而在解连乘问题时，存放累乘积的变量初值常取1.另外，循环终止条件的确定与流程图中的各变量的赋值顺序有关，因此确定循环终止条件时不应只看已知条件．

6　画流程图的“三抓”

1．抓特征

组成任何一个流程图的三要素是“四框”、“一线”加“文字说明”．“四框”即起止框、输入（出）框、处理框、判断框．“一线”即流程线，任意两个图框之间都存在流程线．“文字说明”即在图框内加以说明的文字、算式等，这是每个流程图不可缺少的内容．

2．明规则

流程图的画法规则是：

①用标准，即使用标准的图形符号；

②按顺序，即流程图一般按照从上到下、从左到右的顺序画；

③看出入，即大多数图框只有一个入口和一个出口，判断框是唯一具有两个出口的图框，选择结构中要在出口处标明“Y”或“N”；

④明循环，即循环结构要注意

变量的初始值及循环终止条件；

⑤辨流向，即流程线的箭头表示执行的方向，不可缺少；

⑥简说明，即在图框内的描述语言要简练清晰．

3．依步骤

画流程图的总体步骤是：

第一步，先设计算法，因为算法的设计是画流程图的基础，所以在画流程图前，首先应在稿纸上写出相应的算法步骤，并分析算法需要哪些基本算法结构；

第二步，再把算法步骤转化为对应的流程图，在这种转化过程中往往需要考虑很多细节，是一个将算法“细化”的过程．

例　某商场进行优惠促销：

若购物金额x在500元以上（不包括500元），则全部货款打8折；

若购物金额x在300元以上（不包括300元）500元以下（包括500元），则全部货款打9折；

否则，不打折．写出算法并画出流程图，要求输入购物金额x元，能输出实际交款额．

分析　由题意，实际交款额y与购物金额x之间的函数关系是y＝

因为它需对x进行三次判断，所以算法含有两个选择结构，写出算法步骤如下．

S1　输入购物金额x.

S2　判断x≤300是否成立．若是，则y←x，执行S4；

否则，进入S3.

S3　判断x≤500是否成立．若是，则y←0.9x；

否则，y←0.8x.

S4　输出y，算法结束．

画法步骤　①画顺序结构图，即起止框及输入框，并用流程线连接（如图中①）；

②画选择结构图，即画判断框，里面填写“x≤300”（如图中②）．对于“Y”