苏教版高中数学苏教版必修三学案疑难规律方法第一章 算法初步 含答案Word格式.docx
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(1)联系:
算法与解法是一般与特殊的关系,也是抽象与具体的关系.如教材中由具体的二元一次方程组的求解过程(解法)出发,归纳出了二元一次方程组求解的步骤.同时指出,这样的求解步骤也适合有限制条件的二元一次方程组,这些步骤就构成了二元一次方程组的算法.算法的获得要借助一般意义上具体问题的求解方法,而任何一个具体问题都可利用这类问题的一般算法解决.
(2)区别:
算法是解决某一类问题所需要的程序和步骤的统称,也可理解为数学中的“通法通解”;
而解法是解决某一个具体问题的过程和步骤,是具体的解题过程.
例2写出解方程x2-2x-3=0的一个算法.
分析 本题是求一元二次方程解的问题,方法很多.要注意设计算法时算法的逻辑性和有穷性.
解 算法1:
利用配方法设计算法如下:
S1 移项,得x2-2x=3.①
S2 ①两边同时加1,并配方,得(x-1)2=4.②
S3 ②式两边开方,得x-1=±
2.③
S4 解③得x=3或x=-1.
算法2:
利用公式法设计算法如下:
S1 计算方程的判别式,判断其符号Δ=22+4×
3=16>
0.
S2 将a=1,b=-2,c=-3代入求根公式x=
,得x1=3,x2=-1.
2 流程图画法全知晓
1.画流程图的基本步骤
第一步,设计算法,因为算法的设计是画流程图的基础,所以画流程图前,首先写出相应的算法步骤,并分析算法需要用哪种基本算法结构(顺序结构、选择结构、循环结构)完成.
第二步,把算法步骤转化为对应的图框,在这种转化过程中往往需要考虑很多细节,是一个将算法“细化”的过程.
第三步,将所有步骤的图框用流程线连接起来并加上终端框,得到表示算法的流程图.
2.画流程图的规则
(1)使用标准的图形符号.
(2)流程图一般按从上到下、从左到右的方向来画.
(3)除判断框外,大多数图形符号只有一个进入点和一个退出点,判断框是唯一具有超过一个退出点的符号.
(4)在图形符号内描述的语言要简练清楚.
3.典例分析
(1)顺序结构
顺序结构是最简单的算法结构,是任何一个算法都离不开的结构.若一个算法由若干个依次执行的步骤组成,则在画流程图时,可直接由顺序结构完成.因为在其他的结构中都会涉及到顺序结构,所以关于顺序结构的画法,在此不再单独叙述.
(2)选择结构
设计流程图时,若是分段函数或执行时需要先判断才能执行的问题,则需要用到判断框,引入选择结构.
例1如图,在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P,沿着BCDA的方向由点B向点A运动,设点P运动的路程为x(0<
x<
12),△APB的面积为y,画出y关于x的关系式的流程图.
分析 先根据题意写出算法,再根据算法画出流程图.即:
第一步,按照题意,y与x的关系满足分段函数:
y=
第二步,用合适的含选择结构的流程图表示该分段函数.
解 流程图如图所示.
点评 该题中的分段函数是分三段的函数,需引入两个判断框.至于判断框的内容是没有顺序的,但与下一图形的内容或操作必须相互对应.同时,在画流程图时,要特别注意图形符号的规范性.
(3)循环结构
如果问题中进行了重复的运算,且有相同的规律,就可根据需要引入相关变量,利用这些规律组成一个循环体,用循环结构来解决.
例2用分期付款的方式购买价格为1150元的冰箱,如果购买时先付150元,以后每月付50元,加上欠款的利息,若一个月后付第一个月的分期付款,月利率为1%,那么购买冰箱钱全部付清后,实际共付出款额多少元?
画出流程图.
分析 这里有一个每月付50元,加上欠款的利息的重复过程,可以用循环结构解决.但是欠款利息是变化的,所以需要把欠款利息用循环变量来表示.
解 购买时付款150元,余款1000元分20次付清,每次的付款数组成一个数列{an}.
a1=50+(1150-150)×
1%=60(元),
a2=50+(1150-150-50)×
1%=59.5(元),
…
an=50+[1150-150-(n-1)×
50]×
1%
=60-
(n-1)(n=1,2,…,20).
∴a20=60-
×
19=50.5.
总和S=150+60+59.5+…+50.5.
流程图如图:
点评 在本例中,给出了当型循环结构,直到型循环结构,同学们可以自行完成.
3 例说选择结构
选择结构是三种基本算法结构之一,可以解决一些含有条件判断的算法问题,如分段函数求值问题、比较大小问题、分类讨论问题和一些实际问题等.在此就其应用略举两例,供同学们学习时参考.
1.分段函数求值问题
例1已知函数y=
请设计流程图,要求输入自变量x,输出函数值y.
分析 输入自变量x的值,首先判断x与0的大小关系,再代入相应的表达式求函数值.
解 流程图如图.
点评 求分段函数的函数值,需先判断再执行步骤,需要引入选择结构.注意画流程图时,判断条件不同,框图中表达式的位置也不同.
2.实际应用问题
例2邮政电子汇款单笔最高限额为1万元,每笔汇款的资费标准为汇款金额的1%,最低收费2元,最高收费为50
元.试编写一流程图求出当汇款x(0<
x≤10000)元时,应交纳资费多少元.
分析 由题意分析,当x≤200时,应交纳资费2元,当x≥5000时,应交纳资费50元,所以引入选择结构,200和5000是两个分段点.
点评 在一些需要判断的实际问题中,一般都会用到选择结构,在设计流程图时,可先根据题意,设计算法,再根据算法画出流程图.
4 两种循环结构辨与析
在我们学习的三种基本算法结构中,循环结构尤其重要,其算法设计又相对困难,因此就循环结构的流程图的设计问题及解题思路加以剖析,以期达到明辨结构、合理选择、准确解题的目的.
1.循环结构要点分析
(1)循环结构解决的是大量的重复性的问题,适用于累加求和、累乘求积等问题.
(2)循环结构有两种形式,即当型循环和直到型循环,它们在流程图的表示上是有所区别的.
(3)设计流程图时,我们按照“确定循环体”、“初始化变量”、“设定循环控制条件”的顺序来构造.
2.两种循环结构的区别与联系
区别:
(1)循环体执行的先后顺序不同:
当型循环是先判断后循环;
直到型循环是先执行一次循环体,然后再判断是否继续执行循环体.
(2)循环的条件不同:
当型循环是在条件满足时执行循环体,而直到型循环是在条件不满足时执行循环体,条件满足时退出循环体.
(3)循环体执行的次数不同:
若当型循环结构的循环条件一开始就不成立,则直接退出循环;
直到型循环是先执行一次循环体,再判断条件.这就是说,当型循环可能一次也不执行,而直到型循环至少执行一次.
联系:
很多情况下,这两种形式的流程图是可以相互转化的,但要注意判断框中的条件是有区别的.
3.典例精析
例设计计算12+32+52+…+992的值的流程图.
分析 为了方便表示,可应用循环结构引入两个变量:
一个是累加变量,为每一次加法运算提供初始值;
一个是计数变量,用来控制循环次数.
解 当型循环结构的流程图如图1,直到型循环结构的流程图如图2.
点评 在进行当型循环和直到型循环结构的互化时,不能仅通过将图1中判断框内的“i≤99”,改为“i>
99”,同时调换“Y”、“N”的位置完成(或是图2中作类似的变换).同学们一定要在理解的基础上,牢记两种循环结构的条件和“Y”、“N”的位置.同一算法中,当型循环和直到型循环判断框中的条件恰恰相反.
5 走出流程图中的误区
1.忽视选择结构中“N”的意义导致错误
例1已知x,y满足y=
画出给出x求y的流程图.
错解 流程图如图所示:
错解剖析 判断框中0≤x≤1处应填x≤1,因为“N”的意义就是指x<
0的反方面,即表示x≥0,再写x≥0则画蛇添足.
正解 流程图如图所示:
2.循环结构忽视初始值和循环条件
例2设计一个计算1×
2×
3×
…×
40的值的流程图.
错解剖析 在给变量赋初值时一定要注意与题目中的已知相对应,同时还要注意是要求和还是求积.一般来说,在解连加问题时存放累加和的变量初值常取0,而在解连乘问题时,存放累乘积的变量初值常取1.另外,循环终止条件的确定与流程图中的各变量的赋值顺序有关,因此确定循环终止条件时不应只看已知条件.
6 画流程图的“三抓”
1.抓特征
组成任何一个流程图的三要素是“四框”、“一线”加“文字说明”.“四框”即起止框、输入(出)框、处理框、判断框.“一线”即流程线,任意两个图框之间都存在流程线.“文字说明”即在图框内加以说明的文字、算式等,这是每个流程图不可缺少的内容.
2.明规则
流程图的画法规则是:
①用标准,即使用标准的图形符号;
②按顺序,即流程图一般按照从上到下、从左到右的顺序画;
③看出入,即大多数图框只有一个入口和一个出口,判断框是唯一具有两个出口的图框,选择结构中要在出口处标明“Y”或“N”;
④明循环,即循环结构要注意
变量的初始值及循环终止条件;
⑤辨流向,即流程线的箭头表示执行的方向,不可缺少;
⑥简说明,即在图框内的描述语言要简练清晰.
3.依步骤
画流程图的总体步骤是:
第一步,先设计算法,因为算法的设计是画流程图的基础,所以在画流程图前,首先应在稿纸上写出相应的算法步骤,并分析算法需要哪些基本算法结构;
第二步,再把算法步骤转化为对应的流程图,在这种转化过程中往往需要考虑很多细节,是一个将算法“细化”的过程.
例 某商场进行优惠促销:
若购物金额x在500元以上(不包括500元),则全部货款打8折;
若购物金额x在300元以上(不包括300元)500元以下(包括500元),则全部货款打9折;
否则,不打折.写出算法并画出流程图,要求输入购物金额x元,能输出实际交款额.
分析 由题意,实际交款额y与购物金额x之间的函数关系是y=
因为它需对x进行三次判断,所以算法含有两个选择结构,写出算法步骤如下.
S1 输入购物金额x.
S2 判断x≤300是否成立.若是,则y←x,执行S4;
否则,进入S3.
S3 判断x≤500是否成立.若是,则y←0.9x;
否则,y←0.8x.
S4 输出y,算法结束.
画法步骤 ①画顺序结构图,即起止框及输入框,并用流程线连接(如图中①);
②画选择结构图,即画判断框,里面填写“x≤300”(如图中②).对于“Y”