高考数学一轮复习第12章选4系列124证明不等式的基本方法学案理Word格式文档下载.docx
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x－y.（ ）
（3）|a＋b|＋|a－b|≥|2a|.（ ）
（4）若实数x，y适合不等式xy>
1，x＋y>
－2，则x>
0，y>
0.（ ）
答案
（1）×
（2）×
（3）√ （4）√
2．教材衍化
（1）（选修A4－5P23T1）不等式：
①x2＋3>
3x；
②a2＋b2≥2（a－b－1）；
③
＋
≥2，其中恒成立的是（ ）
A．①③B．②③C．①②③D．①②
答案 D
解析 由①得x2＋3－3x＝
2＋
0，所以x2＋3>
对于②，因为a2＋b2－2（a－b－1）＝（a－1）2＋（b＋1）2≥0，所以不等式成立；
对于③，因为当ab<
0时，
－2＝
<
0，即
2.故选D.
（2）（选修A4－5P25T2）已知a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝1，则
的最小值为________．
答案 9
解析 把a＋b＋c＝1代入
，得
＝3＋
≥3＋2＋2＋2＝9，
当且仅当a＝b＝c＝
时，等号成立．
3．小题热身
（1）（xx·
聊城模拟）下列四个不等式：
①logx10＋lgx≥2（x>
1）；
②|a－b|<
|a|＋|b|；
≥2（ab≠0）；
④|x－1|＋|x－2|≥1，其中恒成立的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案 C
解析 logx10＋lgx＝
＋lgx≥2（x>
1），①正确．
ab≤0时，|a－b|＝|a|＋|b|，②不正确；
因为ab≠0，
与
同号，
所以
≥2，③正确；
由|x－1|＋|x－2|的几何意义知，
|x－1|＋|x－2|≥1恒成立，④正确，
综上①③④正确．故选C.
（2）设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则
答案
解析 由柯西不等式得（ma＋nb）2≤（m2＋n2）（a2＋b2），即m2＋n2≥5，∴
，∴所求最小值为
题型1 综合法证明不等式
（xx·
安徽百校模拟）已知a>
0，b>
0，函数f（x）＝|2x＋a|＋2
＋1的最小值为2.
（1）求a＋b的值；
（2）求证：
a＋log3
≥3－b.
（1）当绝对值符号中x的系数相同时，利用绝对值不等式的性质消去x即可；
（2）利用a＋b＝1转化为如
＝（a＋b）
求解．
解
（1）因为f（x）＝|2x＋a|＋|2x－b|＋1≥|2x＋a－（2x－b）|＋1＝|a＋b|＋1，
当且仅当（2x＋a）（2x－b）≤0时，等号成立，
又a>
0，所以|a＋b|＝a＋b，
所以f（x）的最小值为a＋b＋1＝2，所以a＋b＝1.
（2）证明：
由
（1）知，a＋b＝1，
＝1＋4＋
≥5＋2
＝9，
当且仅当
且a＋b＝1，即a＝
，b＝
时取等号．
所以log3
≥log39＝2，
所以a＋b＋log3
≥1＋2＝3，即a＋log3
方法技巧
综合法证明不等式的方法
1．综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键．
2．在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的．在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件．
冲关针对训练
（xx·
浙江金华模拟）已知x，y∈R.
（1）若x，y满足|x－3y|<
，|x＋2y|<
，求证：
|x|<
；
x4＋16y4≥2x3y＋8xy3.
证明
（1）利用绝对值不等式的性质得
|x|＝
[|2（x－3y）＋3（x＋2y）|]≤
[|2（x－3y）|＋|3（x＋2y）|]<
（2）因为x4＋16y4－（2x3y＋8xy3）
＝x4－2x3y＋16y4－8xy3
＝x3（x－2y）＋8y3（2y－x）
＝（x－2y）（x3－8y3）
＝（x－2y）（x－2y）（x2＋2xy＋4y2）
＝（x－2y）2[（x＋y）2＋3y2]≥0，
∴x4＋16y4≥2x3y＋8xy3.
题型2 分析法证明不等式
设a，b，c>
0，且ab＋bc＋ca＝1.
求证：
（1）a＋b＋c≥
（2）
（
）．
含根式的不等式考虑分析法．
证明
（1）要证a＋b＋c≥
，由于a，b，c>
0，因此只需证明（a＋b＋c）2≥3，即证a2＋b2＋c2＋2（ab＋bc＋ac）≥3，而ab＋bc＋ca＝1，故需证明a2＋b2＋c2＋2（ab＋bc＋ac）≥3（ab＋bc＋ac），即证a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.
因为ab＋bc＋ca≤
＝a2＋b2＋c2（当且仅当a＝b＝c时等号成立），
所以原不等式成立．
在
（1）中已证a＋b＋c≥
，因此要证原不等式成立，只需证明
，即证a
＋b
＋c
≤ab＋bc＋ca.
而a
≤
，b
，c
，
所以a
≤ab＋bc＋ca（a＝b＝c＝
时等号成立）．所以原不等式成立．
分析法证明不等式的思路
用分析法证明不等式时，分析的过程是寻求结论成立的充分条件，而不一定是充要条件，同时要正确使用“要证”“只需证”这样的连接“关键词”．
分析法与综合法常常结合起来使用，称为分析综合法，其实质是既充分利用已知条件，又时刻瞄准解题目标，即不仅要搞清已知什么，还要明确干什么，通常用分析法找到解题思路，用综合法书写证题过程．
1．若a≥b>
0，试证：
2a3－b3≥2ab2－a2b.
证明 要证明2a3－b3≥2ab2－a2b成立，
只需证2a3－b3－2ab2＋a2b≥0，
即证2a（a2－b2）＋b（a2－b2）≥0，
即证（a＋b）（a－b）（2a＋b）≥0.
∵a≥b>
0，∴a－b≥0，a＋b>
0,2a＋b>
0，
从而（a＋b）（a－b）（2a＋b）≥0成立，
∴2a3－b3≥2ab2－a2b.
2．若m>
0，a，b∈R，试证：
2≤
证明 因为m>
0，所以1＋m>
0.
所以要证原不等式成立，
只需证（a＋mb）2≤（1＋m）（a2＋mb2），
即证m（a2－2ab＋b2）≥0，
即证（a－b）2≥0，
而（a－b）2≥0显然成立，故原不等式得证．
题型3 反证法证明不等式
湖南高考）设a>
0，且a＋b＝
.证明：
（1）a＋b≥2；
（2）a2＋a<
2与b2＋b<
2不可能同时成立．
否定形式的命题考虑用反证法．
证明 由a＋b＝
，a>
得ab＝1.
（1）由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2
＝2，即a＋b≥2，当且仅当a＝b＝1时等号成立．
（2）假设a2＋a<
2同时成立，则由a2＋a<
2及a>
0，得0<
a<
1；
同理，0<
b<
1，从而ab<
1，这与ab＝1矛盾．故a2＋a<
反证法证明不等式的题型及思路
对于某些问题中所证结论若是“都是”“都不是”“至多”“至少”等问题，一般用反证法．其一般步骤是假设→推理→得出矛盾→肯定原结论．
法国数学家阿达玛说过“反证法在于表明，若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”这是对反证法精辟的概括．用反证法证明命题：
若a，b，c都是正数，则a＋
，b＋
，c＋
中至少有一个不小于2.
证明 假设a＋
全部小于2，
即
由不等式的性质，得
a＋
＋b＋
＋c＋
6，
而a＋
≥2＋2＋2＝6，与上式矛盾．所以，假设错误，原命题成立．
题型4 柯西不等式
江苏高考）已知a，b，c，d为实数，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，证明：
ac＋bd≤8.
证明 由柯西不等式，得（ac＋bd）2≤（a2＋b2）（c2＋d2）．
因为a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，
所以（ac＋bd）2≤64，
因此ac＋bd≤8.
已知a，b，c∈R,4a2＋b2＋2c2＝4，求2a＋b＋c的最大值．
用配凑法得出柯西不等式的结构．
解 由柯西不等式得[（2a）2＋b2＋（
c）2]
≥（2a＋b＋c）2.
因为4a2＋b2＋2c2＝4，所以（2a＋b＋c）2≤10，当且仅当a＝
，c＝
所以－
≤2a＋b＋c≤
所以2a＋b＋c的最大值为
利用柯西不等式的解题思路
1．用柯西不等式证明时，一般需要对不等式变形，使之与柯西不等式有相似的结构，然后根据柯西不等式的结构特征，利用柯西不等式进行证明．
2．利用柯西不等式求最值的一般结构为（a
＋a
＋…＋a
）
≥（1＋1＋…＋1）2＝n2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数和等号成立的条件．
若p，q，r为正实数，且
＝4，求3p＋2q＋r的最小值．
解 令a1＝
，a2＝
，a3＝
由柯西不等式，得
（a
）≥
2＝9，即
（3p＋2q＋r）≥9.
∵
＝4，∴3p＋2q＋r≥
，即p＝
，q＝
，r＝
时，取等号．
∴3p＋2q＋r的最小值为
1．（xx·
民乐模拟）设a>
1，若a＋b＝2，则
的最小值为（ ）
A．2
B．8C．4
D．4＋2
解析 ∵设a>
1，a＋b＝2，
∴
＝（a＋b－1）
＝4＋
≥4＋2
＝4＋2
，当且仅当a＝
（b－1）＝
时取等号，
的最小值为4＋2
.故选D.
2．（xx·
红花岗期中）设x，y，z∈R，且
＝1，求x＋y＋z的最大值与最小值．
解 ∵x＋y＋z＝4·
·
＋2·
＋2，
根据柯西不等式，（x1x2＋y1y2＋z1z2）2≤（x
＋y
＋z
）·
（x
），得
2≤（16＋5
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