解三角形及应用举例Word文件下载.docx

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△ABc的面积用S表示，外接圆半径用R表示，内切圆半径用r表示，半周长用p表示则

①；

②；

③；

④；

⑤；

⑥（其中）

4三角形内切圆的半径：

，特别地，

5三角学中的射影定理：

在△ABc中，，…

6两内角与其正弦值：

7三内角与三角函数值的关系：

在△ABc中

解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”

题型讲解

例1在ΔABc中，已知a=,b=,B=45°

，求A,c及边c．

解：

由正弦定理得：

sinA=,

因为B=45°

&

lt;

90°

且b&

a,

所以有两解A=60°

或A=120°

（1）当A=60°

时,c=180°

-（A+B）=75°

，

c=,

（2）当A=120°

-（A+B）=15°

c=

思维点拨：

已知两边和其中一边的对角解三角形问题，用正弦定理解，但需注意解的情况的讨论．

例2△ABc的三个内角A、B、c的对边分别是a、b、c，如果a2=b（b+c），求证：

A=2B

分析析：

研究三角形问题一般有两种思路一是边化角，二是角化边

证明：

用正弦定理，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2Rsinc，代入a2=b（b+c）中，得

sin2A=sinB（sinB+sinc）sin2A－sin2B=sinBsinc

－=sinBsin（A+B）

（cos2B－cos2A）=sinBsin（A+B）

sin（A+B）sin（A－B）=sinBsin（A+B），

因为A、B、c为三角形的三内角，所以sin（A+B）≠0

所以sin（A－B）=sinB

所以只能有A－B=B，即A=2B

点评：

利用正弦定理，将命题中边的关系转化为角间关系，从而全部利用三角公式变换求解

例3已知锐角△ABc中，sin（A+B）=，sin（A－B）=

（1）求证：

tanA=2tanB；

（2）设AB=3，求AB边上的高

分析：

有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式，以

（1）为铺垫，解决

（2）

（1）证明：

∵sin（A+B）=，sin（A－B）=，

∴

=2

∴tanA=2tanB

（2）解：

＜A+B＜π，∴sin（A+B）=

∴tan（A+B）=－，

即=－

将tanA=2tanB代入上式整理得2tan2B－4tanB－1=0，

解得tanB=（负值舍去）

得tanB=，

∴tanA=2tanB=2+

设AB边上的高为cD，则AB=AD+DB=+=

由AB=3得cD=2+，所以AB边上的高为2+

评述：

本题主要考查三角函数概念，两角和与差的公式以及应用，分析和计算能力

例4在△ABc中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠c的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及的值

因给出的是a、b、c之间的等量关系，要求∠A，需找∠A与三边的关系，故可用余弦定理由b2=ac可变形为=a，再用正弦定理可求的值

解法一：

∵a、b、c成等比数列，∴b2=ac

又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc

在△ABc中，由余弦定理得

cosA===，∴∠A=60°

在△ABc中，由正弦定理得sinB=，

∵b2=ac，∠A=60°

∴=sin60°

=

解法二：

在△ABc中，

由面积公式得bcsinA=acsinB

，∴bcsinA=b2sinB

∴=sinA=

解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理

例5在中，，，，求的值和的面积．

　先解三角方程，求出角A的值．

又,

　由计算它的对偶关系式的值．

①

②

　①　+　②　得　　

　①　－　②　得　　

从而　．

以下解法略去．

点评　本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运算能力，是一道三角的基础试题．两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢？

例6设函数，其中向量

（１）若f（x）=1－且x∈[－，]，求x；

（２）若函数y=2sin2x的图象按向量（|m|&

）平移后得到函数y=f（x）的图象，求实数m、n的值

（１）依题设可知，函数的解析式为

＝2cos2x+sin2x=1+2sin（2x+）

由1+2sin（2x+）=1－，可得三角方程

sin（2x+）=－．　

∵-≤x≤，∴-≤2x+≤，∴2x+=-，即x=-．

（２）函数y=2sin2x的图象按向量平移后得到函数y=2sin2（x－m）+n的图象，即函数y=f（x）的图象

由（１）得f（x）=2sin2（x+）+1

∵|m|&

，∴，

点评　本小题是2004年福建高考试题，主要考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能，着重考查数学运算能力．平面向量与三角函数结合是高考命题的一个新的亮点之一．

例7如图，某园林单位准备绿化一块直径为Bc的半圆形空地，△ABc外的地方种草，△ABc的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花若Bc=a，∠ABc=，设△ABc的面积为S1，正方形的面积为S2．

（１）用a，表示S1和S2；

（２）当a固定，变化时，求取最小值时的角．

讲解　（１）∵

设正方形边长为x

则BQ=

（２）当固定，变化时，

令

任取，且，

．

是减函数．

取最小值，此时

点评　三角函数有着广泛的应用，本题就是一个典型的范例．通过引入角度，将图形的语言转化为三角的符号语言，再通过局部的换元，又将问题转化为我们熟知的函数．这些解题思维的拐点，你能否很快的想到呢？

例8某城市有一条公路，自西向东经过A点到市中心o点后转向东北方向oB，现要修建一条铁路L，L在oA上设一站A，在oB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，现要求市中心o与AB的距离为10km，问把A、B分别设在公路上离中心o多远处才能使|AB|最短?

并求其最短距离（不要求作近似计算）

在△AoB中，设oA=a，oB=b

因为Ao为正西方向，oB为东北方向，所以∠AoB=135°

则|AB|2=a2+b2－2abcos135°

=a2+b2+ab≥2ab+ab=（2+）ab，当且仅当a=b时，“=”成立又o到AB的距离为10，设∠oAB=α，则∠oBA=45°

－α所以a=，b=，

ab=&

#8226;

==

=≥，

当且仅当α=22°

30′时，“=”成立

所以|AB|2≥=400（+1）2，

当且仅当a=b，α=22°

所以当a=b==10时，|AB|最短，其最短距离为20（+1），即当AB分别在oA、oB上离o点10km处，能使|AB|最短，最短距离为20（－1）

小结：

1在△ABc中，∵A+B+c=π，

∴sin=cos，cos=sin，tan=cot

2∠A、∠B、∠c成等差数列的充分必要条件是∠B=60°

3在非直角三角形中，tanA+tanB+tanc=tanA&

tanB&

tanc

4根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：

①化边为角；

②化角为边并常用正弦（余弦）定理实施边角转化

5用正（余）弦定理解三角形问题可适当应用向量的数量积求三角形内角与应用向量的模求三角形的边长

6用向量的数量积求三角形内角时，需明确向量的夹角与三角形内角是相等还是互补

学生练习

1在△ABc中，若2cosBsinA=sinc，则△ABc的形状一定是

A等腰直角三角形B直角三角形c等腰三角形D等边三角形

由2cosBsinA=sinc得×

a=c，∴a=b

答案：

c

2下列条件中，△ABc是锐角三角形的是

AsinA+cosA=B&

＞0

ctanA+tanB+tanc＞0Db=3，c=3，B=30°

由sinA+cosA=,得2sinAcosA=－＜0，∴A为钝角

由&

＞0，得&

＜0，∴cos〈，〉＜0∴B为钝角

由tanA+tanB+tanc＞0，得tan（A+B）&

（1－tanAtanB）+tanc＞0

∴tanAtanBtanc＞0，A、B、c都为锐角

由=，得sinc=，∴c=或

3△ABc中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠c的对边，如果a、b、c成等差数列，∠B=30°

，△ABc的面积为，那么b等于

AB1+cD2+

∵a、b、c成等差数列，∴2b=a+c平方得a2+c2=4b2－2ac

又△ABc的面积为，且∠B=30°

故由S△ABc=acsinB=acsin30°

=ac=，得ac=6∴a2+c2=4b2－12

由余弦定理，得cosB====，

解得b2=4+2又b为边长，∴b=1+

B

4在△ABc中，“A＞30°

”是“sinA＞”的

A充分而不必要条件B必要而不充分条件

c充分必要条件D既不充分也不必要条件

在△ABc中，A＞30°

0＜sinA＜1，推不出sinA＞；

sinA＞30°

＜A＜150°

A＞30°

5如图，△ABc是简易遮阳棚，A、B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°

角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABc与地面所成的角为

A75°

B60°

c50°

D45°

作cE⊥平面ABD于E，则∠cDE是太阳光线与地面所成的角，即∠cDE=40°

，延长DE交直线AB于F，连结cF，则∠cFD是遮阳棚与地面所成的角，设为α要使S△ABD最大，只需DF最大

在△cFD中，=

∴DF=

∵cF为定值，∴当α=50°

时，DF最大

6在△ABc中，由已知条件解三角形，其中有两解的是

Ab=20，A=45°

，c=80°

Ba=30，c=28，B=60°

ca=14，b=16，A=45°

Da=12，c=15，A=120°

由a=14，b=16，A=45°

及正弦定理，得=，所以sinB=因而B有两值

7已知（a+b+c）（b+c－a）=3bc，则∠A=_______

由已知得（b+c）2－a2=3bc，∴b2+c2－a2=bc

∴=∴∠A=

8在锐角△ABc中，边长a=1，b=2，则边长c的取值范围是_______

若c是最大边，则cosc＞0∴＞0，∴c＜

又c＞b－a=1，∴1＜c＜

（1，）

9在△ABc中，角A、B、c所对的边分别是a、b、c，若三