学年新教材素养突破人教A版数学必修第一册课件+讲义+课时作业221Word文档格式.docx
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D.
≥2
解析：
对于A，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，所以A错误；
对于B，C，虽然ab>
0，只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误；
对于D，因为ab>
0，所以
0，
≥2
，即
≥2成立．
答案：
D
2．若a>
1，则a＋
的最小值是（ ）
A．2B．a
D．3
a>
1，所以a－1>
所以a＋
＝a－1＋
＋1≥2
＋1＝3.
当且仅当a－1＝
即a＝2时取等号．
3．下列不等式中，正确的是（ ）
A．a＋
≥4B．a2＋b2≥4ab
≥
D．x2＋
a<
0，则a＋
≥4不成立，故A错；
a＝1，b＝1，a2＋b2<
4ab，故B错，a＝4，b＝16，则
<
，故C错误；
由基本不等式可知D项正确．
4．已知x，y都是正数．
（1）如果xy＝15，则x＋y的最小值是________．
（2）如果x＋y＝15，则xy的最大值是________．
（1）x＋y≥2
＝2
，即x＋y的最小值是2
；
当且仅当x＝y＝
时取最小值．
（2）xy≤
2＝
，
即xy的最大值是
时xy取最大值．
（1）2
（2）
第1课时 基本不等式
题型一 对基本不等式的理解[经典例题]
例1
（1）下列不等式中，不正确的是（ ）
A.a2＋b2≥2|a||b|
B.
≥2a－b（b≠0）
2≥
－1（b≠0）
D．2（a2＋b2）≥（a＋b）2
（2）给出下列命题：
①若x∈R，则x＋
≥2；
②若a<
0，b<
0，则ab＋
③不等式
≥2成立的条件是x>
0且y>
0.其中正确命题的序号是________．
【解析】
（1）A中，a2＋b2＝|a|2＋|b|2≥2|a||b|，所以A正确．由a2＋b2≥2ab，得a2≥2ab－b2.B中，当b<
0时，
≤2a－b，所以B不正确．C中，b≠0，则
－1，所以C正确．D中，由a2＋b2≥2ab，得2（a2＋b2）≥a2＋b2＋2ab＝（a＋b）2，所以D正确．
1．举反例、基本不等式⇒逐个判断．
2．明确基本不等式成立的条件⇒逐个判断．
【答案】
（1）B
【解析】
（2）只有当x>
0时，才能由基本不等式得到x＋
＝2，故①错误；
当a<
0时，ab>
0，由基本不等式可得ab＋
＝2，故②正确；
由基本不等式可知，当
0时，有
＝2成立，这时只需x与y同号即可，故③错误．
基本不等式的两个关注点
（1）正数：
指式子中的a，b均为正数，
（2）相等：
即“＝”成立的条件．
（2）②
跟踪训练1 设0<
b，则下列不等式中正确的是（ ）
A.a<
b<
B．a<
b
C．a<
D.
0<
b⇒a2<
ab<
b2⇒a<
b,0<
b⇒2a<
a＋b<
2b⇒a<
b，又
，所以a<
b.
B
利用基本不等式时先要确定成立的条件，有的要适当变形处理．
题型二 利用基本不等式求最值[教材P45例2]
例2 已知x，y都是正数，求证：
（1）如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2
（2）如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值
S2.
【证明】 因为x，y都是正数，所以
（1）当积xy等于定值P时，
所以x＋y≥2
当且仅当x＝y时，上式等号成立．于是，当x＝y时，和x＋y有最小值2
（2）当和x＋y等于定值S时，
所以xy≤
S2，
当且仅当x＝y时，上式等号成立．于是，当x＝y时，积xy有最大值
积是定值，和有最小值．
和是定值，积有最大值．
教材反思
1．利用基本不等式求最值的策略
2．通过消元法利用基本不等式求最值的方法
消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．
特别提醒：
利用基本不等式求函数最值，千万不要忽视等号成立的条件．
跟踪训练2
（1）已知x>
0，y>
0，且x＋y＝8，则（1＋x）（1＋y）的最大值为（ ）
A．16 B．25
C．9D．36
（2）若正实数x，y满足x＋2y＋2xy－8＝0，则x＋2y的最小值（ ）
A．3B．4
（1）因为x>
0，且x＋y＝8，
所以（1＋x）（1＋y）＝1＋x＋y＋xy＝9＋xy≤9＋
2＝9＋42＝25，
因此当且仅当x＝y＝4时，
（1＋x）·
（1＋y）取最大值25.
（2）因为正实数x，y满足x＋2y＋2xy－8＝0，
所以x＋2y＋
2－8≥0.
设x＋2y＝t>
所以t＋
t2－8≥0，
所以t2＋4t－32≥0，
即（t＋8）（t－4）≥0，
所以t≥4，
故x＋2y的最小值为4.
（1）B
（2）B
1．展开（1＋x）（1＋y）⇒将x＋y＝8代入⇒用基本不等式求最值．
2．利用基本不等式得x＋2y＋
2－8≥0⇒设x＋2y＝t>
0，解不等式求出x＋2y的最小值．
易错点 利用基本不等式求最值
例 若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是（ ）
A.
B.
C．5D．6
【错解】 由x＋3y＝5xy⇒5xy≥2
因为x>
0，所以25x2y2≥12xy，即xy≥
所以3x＋4y≥2
＝
当且仅当3x＝4y时取等号，
故3x＋4y的最小值是
错误的根本原因是忽视了两次使用基本不等式，等号成立的条件必须一致．
【正解】 由x＋3y＝5xy可得
＝1，所以3x＋4y＝（3x＋4y）
＋2
＝5，
当且仅当x＝1，y＝
时取等号，
故3x＋4y的最小值是5.
C
课时作业8
一、选择题
1．给出下列条件：
①ab>
0；
②ab<
③a>
④a<
0，其中能使
≥2成立的条件有（ ）
A．1个 B．2个
C．3个D．4个
当
均为正数时，
≥2，故只须a、b同号即可，∴①③④均可以．
2．已知t>
0，则y＝
的最小值为（ ）
A．－1B．－2
C．2D．－5
依题意得y＝t＋
－4≥2
－4＝－2，等号成立时t＝1，即函数y＝
（t>
0）的最小值是－2.
3．若a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则（ ）
A．ab≤
B．ab≥
C．a2＋b2≥2D．a2＋b2≤3
∵a2＋b2≥2ab，
∴（a2＋b2）＋（a2＋b2）≥（a2＋b2）＋2ab，
即2（a2＋b2）≥（a＋b）2＝4，
∴a2＋b2≥2.
4．若a，b都是正数，则
A．7B．8
C．9D．10
因为a，b都是正数，所以
＝5＋
≥5＋2
＝9，当且仅当b＝2a>
0时取等号．
二、填空题
5．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是________．
当a2＋1＝2a，即（a－1）2＝0时“＝”成立，此时a＝1.
a＝1
6．设a＋b＝M（a>
0），M为常数，且ab的最大值为2，则M等于________．
因为a＋b＝M（a>
0），
由基本不等式可得，ab≤
因为ab的最大值为2，
所以
＝2，M>
0，所以M＝2
2
7．已知x>
0，且
＝1，则3x＋4y的最小值是________．
＝1，
所以3x＋4y＝（3x＋4y）
＝13＋
≥13＋3×
＝25（当且仅当x＝2y＝5时取等号），
所以（3x＋4y）min＝25.
25
三、解答题
8．已知x<
，求f（x）＝4x－2＋
的最大值．
因为x<
，所以4x－5<
0,5－4x>
0.
f（x）＝4x－5＋3＋
＝－
＋3
≤－2
＋3＝1.
当且仅当5－4x＝
时等号成立，
又5－4x>
所以5－4x＝1，x＝1.
所以f（x）max＝f
（1）＝1.
9．已知函数f（x）＝4x＋
（x>
0，a>
0）在x＝3时取得最小值，求a的值．
因为f（x）＝4x＋
＝4
当且仅当4x＝
，即4x2＝a时，f（x）取得最小值．
又因为x＝3，所以a＝4×
32＝36.
[尖子生题库]
10．已知x∈
，求函数y＝
的最小值．
y＝
·
（2x＋1－2x）＝10＋2·
＋8·
而x∈
，2·
＝8，
当且仅当2·
＝8·
即x＝
∈
时取到等号，则y≥18，
所以函数y＝
的最小值为18.
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