学年新教材素养突破人教A版数学必修第一册课件+讲义+课时作业221Word文档格式.docx
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D.
≥2
解析:
对于A,当a=b时,a2+b2=2ab,所以A错误;
对于B,C,虽然ab>
0,只能说明a,b同号,当a,b都小于0时,B,C错误;
对于D,因为ab>
0,所以
0,
≥2
,即
≥2成立.
答案:
D
2.若a>
1,则a+
的最小值是( )
A.2B.a
D.3
a>
1,所以a-1>
所以a+
=a-1+
+1≥2
+1=3.
当且仅当a-1=
即a=2时取等号.
3.下列不等式中,正确的是( )
A.a+
≥4B.a2+b2≥4ab
≥
D.x2+
a<
0,则a+
≥4不成立,故A错;
a=1,b=1,a2+b2<
4ab,故B错,a=4,b=16,则
<
,故C错误;
由基本不等式可知D项正确.
4.已知x,y都是正数.
(1)如果xy=15,则x+y的最小值是________.
(2)如果x+y=15,则xy的最大值是________.
(1)x+y≥2
=2
,即x+y的最小值是2
;
当且仅当x=y=
时取最小值.
(2)xy≤
2=
,
即xy的最大值是
时xy取最大值.
(1)2
(2)
第1课时 基本不等式
题型一 对基本不等式的理解[经典例题]
例1
(1)下列不等式中,不正确的是( )
A.a2+b2≥2|a||b|
B.
≥2a-b(b≠0)
2≥
-1(b≠0)
D.2(a2+b2)≥(a+b)2
(2)给出下列命题:
①若x∈R,则x+
≥2;
②若a<
0,b<
0,则ab+
③不等式
≥2成立的条件是x>
0且y>
0.其中正确命题的序号是________.
【解析】
(1)A中,a2+b2=|a|2+|b|2≥2|a||b|,所以A正确.由a2+b2≥2ab,得a2≥2ab-b2.B中,当b<
0时,
≤2a-b,所以B不正确.C中,b≠0,则
-1,所以C正确.D中,由a2+b2≥2ab,得2(a2+b2)≥a2+b2+2ab=(a+b)2,所以D正确.
1.举反例、基本不等式⇒逐个判断.
2.明确基本不等式成立的条件⇒逐个判断.
【答案】
(1)B
【解析】
(2)只有当x>
0时,才能由基本不等式得到x+
=2,故①错误;
当a<
0时,ab>
0,由基本不等式可得ab+
=2,故②正确;
由基本不等式可知,当
0时,有
=2成立,这时只需x与y同号即可,故③错误.
基本不等式的两个关注点
(1)正数:
指式子中的a,b均为正数,
(2)相等:
即“=”成立的条件.
(2)②
跟踪训练1 设0<
b,则下列不等式中正确的是( )
A.a<
b<
B.a<
b
C.a<
D.
0<
b⇒a2<
ab<
b2⇒a<
b,0<
b⇒2a<
a+b<
2b⇒a<
b,又
,所以a<
b.
B
利用基本不等式时先要确定成立的条件,有的要适当变形处理.
题型二 利用基本不等式求最值[教材P45例2]
例2 已知x,y都是正数,求证:
(1)如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2
(2)如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值
S2.
【证明】 因为x,y都是正数,所以
(1)当积xy等于定值P时,
所以x+y≥2
当且仅当x=y时,上式等号成立.于是,当x=y时,和x+y有最小值2
(2)当和x+y等于定值S时,
所以xy≤
S2,
当且仅当x=y时,上式等号成立.于是,当x=y时,积xy有最大值
积是定值,和有最小值.
和是定值,积有最大值.
教材反思
1.利用基本不等式求最值的策略
2.通过消元法利用基本不等式求最值的方法
消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解.有时会出现多元的问题,解决方法是消元后利用基本不等式求解.
特别提醒:
利用基本不等式求函数最值,千万不要忽视等号成立的条件.
跟踪训练2
(1)已知x>
0,y>
0,且x+y=8,则(1+x)(1+y)的最大值为( )
A.16 B.25
C.9D.36
(2)若正实数x,y满足x+2y+2xy-8=0,则x+2y的最小值( )
A.3B.4
(1)因为x>
0,且x+y=8,
所以(1+x)(1+y)=1+x+y+xy=9+xy≤9+
2=9+42=25,
因此当且仅当x=y=4时,
(1+x)·
(1+y)取最大值25.
(2)因为正实数x,y满足x+2y+2xy-8=0,
所以x+2y+
2-8≥0.
设x+2y=t>
所以t+
t2-8≥0,
所以t2+4t-32≥0,
即(t+8)(t-4)≥0,
所以t≥4,
故x+2y的最小值为4.
(1)B
(2)B
1.展开(1+x)(1+y)⇒将x+y=8代入⇒用基本不等式求最值.
2.利用基本不等式得x+2y+
2-8≥0⇒设x+2y=t>
0,解不等式求出x+2y的最小值.
易错点 利用基本不等式求最值
例 若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是( )
A.
B.
C.5D.6
【错解】 由x+3y=5xy⇒5xy≥2
因为x>
0,所以25x2y2≥12xy,即xy≥
所以3x+4y≥2
=
当且仅当3x=4y时取等号,
故3x+4y的最小值是
错误的根本原因是忽视了两次使用基本不等式,等号成立的条件必须一致.
【正解】 由x+3y=5xy可得
=1,所以3x+4y=(3x+4y)
+2
=5,
当且仅当x=1,y=
时取等号,
故3x+4y的最小值是5.
C
课时作业8
一、选择题
1.给出下列条件:
①ab>
0;
②ab<
③a>
④a<
0,其中能使
≥2成立的条件有( )
A.1个 B.2个
C.3个D.4个
当
均为正数时,
≥2,故只须a、b同号即可,∴①③④均可以.
2.已知t>
0,则y=
的最小值为( )
A.-1B.-2
C.2D.-5
依题意得y=t+
-4≥2
-4=-2,等号成立时t=1,即函数y=
(t>
0)的最小值是-2.
3.若a≥0,b≥0,且a+b=2,则( )
A.ab≤
B.ab≥
C.a2+b2≥2D.a2+b2≤3
∵a2+b2≥2ab,
∴(a2+b2)+(a2+b2)≥(a2+b2)+2ab,
即2(a2+b2)≥(a+b)2=4,
∴a2+b2≥2.
4.若a,b都是正数,则
A.7B.8
C.9D.10
因为a,b都是正数,所以
=5+
≥5+2
=9,当且仅当b=2a>
0时取等号.
二、填空题
5.不等式a2+1≥2a中等号成立的条件是________.
当a2+1=2a,即(a-1)2=0时“=”成立,此时a=1.
a=1
6.设a+b=M(a>
0),M为常数,且ab的最大值为2,则M等于________.
因为a+b=M(a>
0),
由基本不等式可得,ab≤
因为ab的最大值为2,
所以
=2,M>
0,所以M=2
2
7.已知x>
0,且
=1,则3x+4y的最小值是________.
=1,
所以3x+4y=(3x+4y)
=13+
≥13+3×
=25(当且仅当x=2y=5时取等号),
所以(3x+4y)min=25.
25
三、解答题
8.已知x<
,求f(x)=4x-2+
的最大值.
因为x<
,所以4x-5<
0,5-4x>
0.
f(x)=4x-5+3+
=-
+3
≤-2
+3=1.
当且仅当5-4x=
时等号成立,
又5-4x>
所以5-4x=1,x=1.
所以f(x)max=f
(1)=1.
9.已知函数f(x)=4x+
(x>
0,a>
0)在x=3时取得最小值,求a的值.
因为f(x)=4x+
=4
当且仅当4x=
,即4x2=a时,f(x)取得最小值.
又因为x=3,所以a=4×
32=36.
[尖子生题库]
10.已知x∈
,求函数y=
的最小值.
y=
·
(2x+1-2x)=10+2·
+8·
而x∈
,2·
=8,
当且仅当2·
=8·
即x=
∈
时取到等号,则y≥18,
所以函数y=
的最小值为18.