高等代数北大版课件习题课：正交矩阵的性质PPT文件格式下载.ppt

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林志兴杨忠鹏2003.06.05,习题课正交矩阵的性质,一、正交矩阵的定义及简单性质,二、有限维欧氏空间里的正交矩阵,三、正交矩阵的特征根,一、正交矩阵的定义及简单性质,问题正交矩阵之和？

1定义，若称A为正交矩阵,2运算性质正交矩阵之积为正交阵,正交矩阵的转置为正交阵,正交矩阵的伴随矩阵为正交矩阵,数乘正交矩阵？

A为正交矩阵,A为正交矩阵,A为正交矩阵,3正交矩阵的判定,的关系如何？

元素与其余子式，代数余子式,当某时，,的上界？

问题：

的上界？

二、有限维欧氏空间里的正交矩阵,空间的一组标准正交基。

A为正交矩阵A的行（列）向量组是n维行（列）向量,1矩阵，则,2n维欧氏空间的一组标准正交基，,矩阵满足,则为标准正交基A为正交矩阵,A是正交变换A为正交矩阵,则,标准正交基，若,3A为n维欧氏空间的线性变换，是一组,A，,A为第二类的，若。

A为第一类的（旋转），若；

4n维欧氏空间的正交变换的分类,使,即,对角矩阵,向量，即A在下的矩阵为实,存在标准正交基是A的特征,A为对称变换,则,标准正交基，且A，,5A为n维欧氏空间的线性变换，为一组,1在不同的教材上曾出现下面的命题,三、正交矩阵的特征根,正交矩阵的特征根的模等于1。

正交矩阵的实特征根为1或1；

正交变换的特征根为1或1；

可得,即,注意此时由

（1）和

（2）,对

（1）两边取共轭转置,

（2）,

（1）,的证明：

设为维非零复向量，为复数，且,2正交矩阵A的特征根,共轭出现的。

当时，由（3）知A的非实的复特征根是成对,这里为矩阵A的所有特征根,iii）,ii）,i）,（3）,特征多项式,正交矩阵的特征根,这里，为非负整数,且,非实特征根,负特征根（4）,正特征根,ii）可设,非实特征根为成对共轭与出现，且,实特征根为1或1,i）分类,3正交矩阵A的行列式,，是1作为A的特征根的重数（5）,即,在（4）之下,或1（简单证明，由定义给出）,4正交矩阵的三类特征根,特征根为1或1。

n为奇数时，与的奇偶性相反，且至少有1个,n为偶数时，与的奇偶性相同,5n维欧氏空间中的正交变换A特征根的存在情况,若A有特征根，则特征根1的重数与n的奇偶性相同。

相同。

A必以1为特征根且重数为奇数，特征根1的重数与n的奇偶性,A为第二类的即,若A有特征根，则特征根1的重数为偶数，特征根1的重数,与n的奇偶性相同,A为第一类的即,才是A的特征根，约定当不是特征根时，其重数为0：

注意此时A与在标正基下的正交矩阵A的对应关系，A的实特征根,设A是33正交阵且证明A的特征多项式为,这里,，,证明第二类正交变换一定以1作为它的一个特征值。

特征值。

证明奇数维欧氏空间中的旋转一定以1作为它的一个,6问题,与进一步的结论？

iii），,ii）,i）,考虑A的所有特征值的可能性,