高等代数北大版课件3.4矩阵的秩PPT资料.ppt

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一、矩阵的行秩、列秩、秩,二、矩阵的秩的有关结论,3.4矩阵的秩,三、矩阵秩的计算,一、矩阵的行秩、列秩、秩,定义,的秩称为矩阵A的行秩；@#@,则矩阵A的行向量组,的秩称为矩阵A的列秩.,矩阵A的列向量组,设,引理如果齐次线性方程组,

（1）,的系数矩阵,的行秩，那么它有非零解,（若

（1）只有零解，则）,证：

@#@,的秩为r，,设矩阵A的行向量组,且不妨设为其一个极大无关组.,于是方程组

（1）与方程组

（1）是同解的.,由于向量组与向量组等价，,

（1）,所以

（1）有非零解，从而

（1）有非零解.,在

（1）中,定理4矩阵的行秩矩阵的列秩,证明：

@#@设，A的行秩r，A的列秩r1，,下证,先证,则向量组的秩为r，,不妨设是它的一个极大无关组，,于是线性无关，,设A的行向量组为,只有零解.,由引理，方程组

（2）的系数矩阵,（未知量的个数）.,的行秩,是r个线性无关的行向量，,中一定可以找到r个线性无关的向量.,从而在矩阵的行向量组,不妨设,则该向量组的延伸组,于是矩阵A的列秩,同理可证.,所以,也线性无关,矩阵的行秩与矩阵的列秩统称为矩阵的秩，,记作秩A或、,定义,注,设，则,若则称A为行満秩的；@#@,若则称A为列満秩的.,若，则,二、矩阵秩的有关结论,定理5设，则,（降秩矩阵）,（满秩矩阵）,证：

@#@,若n1，则A只有一个一维行向量0，,的n个行向量线性相关.,从而A0，,若n1，则A的行向量中至少有一个能由其余,行向量线性表出，,依次减去其余行的相应倍数，这一行就全变成了0.,从而在行列式中，用这一行,若n1，由知，,对n作数学归纳法.,A0，,从而,假若对n1级矩阵结论成立，下证n级的情形.,设，,为A的行向量.,考察A的第一列元素:

@#@,若它们全为零，则,若它们有一个元素不为零，,不妨设,则的第2至n行减去第1行的适当倍数后可为,其中,由知，,由归纳假设，矩阵的秩n1，,从而向量组,线性相关，,故在不全为零的数使,改写一下，有,线性相关,不全为零的n个数,推论1,齐次线性方程组,有非零解系数矩阵的行列式=0,只有零解,n个n维向量,推论2,定义,k级子式,在一个sn矩阵A中任意选定k行k列,个元素按原来次序所组成的k级行列式，称为矩阵,位于这些行和列的交点上的,A的一个k级子式,注,矩阵A的k级子式共有个.,有一个级子式不为0.,定理6矩阵的秩为的充要条件是中有一,注,的所有级子式等于0；@#@,若则的不为0的级子式所在行（列）,就是A行（列）向量组的一个极大无关组.,则A的任意个行向量,由定理5的推论2，,证：

@#@,设,都线性相关，,从而A的任意级子式的行向量也,线性相关.,A的级子式全为0.,下证A至少有一个级子式不为0.,设,因为,所以A有个行向量线性无关，,不妨设A的前个行向量线性无关，,作矩阵,则行列式,显然的行秩为，,从而的列秩也为，,不妨设在中前列线性无关，,此即A的一个级非零子式.,若A的所有级子式全为0，,所有级数大于的子式全为0.,则A的,设,由必要性,不可能有,否则A的级子式全为0.,同样,不可能有,否则A有级子式不为0.,三、矩阵秩的计算,方法一按定义求出A的行（列）向量组的秩.,级数.,方法二利用定理6，等于中非零子式的最大,例1求下列矩阵的秩,方法三用初等变换化A为阶梯阵J，等于,中非零行的行数.,原理：

@#@,初等变换不改变矩阵的秩；@#@,阶梯阵的秩等于其中非零行的行数,例2求矩阵A的秩,