《计算机算法设计与分析》课程设计Word文档格式.docx
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(3)以自底向上的方式计算出最优值;
(4)根据计算最优值时得到的信息,构造一个最优解。
●回溯法—图的着色
回溯法的基本思想是确定了解空间的组织结构后,回溯法就是从开始节点(根结点)出发,以深度优先的方式搜索整个解空间。
这个开始节点就成为一个活结点,同时也成为当前的扩展结点。
在当前的扩展结点处,搜索向纵深方向移至一个新结点。
这个新结点就成为一个新的或节点,并成为当前扩展结点。
如果在当前的扩展结点处不能再向纵深方向移动,则当前的扩展结点就成为死结点。
换句话说,这个节点,这个结点不再是一个活结点。
此时,应往回(回溯)移动至最近一个活结点处,并使这个活结点成为当前的扩展结点。
回溯法即以这种工作方式递归的在解空间中搜索,直到找到所要求的解或解空间中以无活结点为止。
四、详细设计与实现:
●分治法—快速排序
快速排序是基于分治策略的另一个排序算法。
其基本思想是,对于输入的子数组
按以下三个步骤进行排序:
(1)、分解(divide)以元素
为基准元素将
划分为三段
,
和,
使得
中任何一个元素都小于
,而
中任何一个元素大于等于
,下标
在划分过程中确定。
(2)、递归求解(conquer)通过递归调用快速排序算法分别对
和
进行排序。
(3)、合并(merge)由于
的排序都是在原位置进行的,所以不必进行任何合并操作就已经排好序了。
算法实现题:
现将数列{2321344565768646303989202384738545940}进行快速排序。
源程序如下:
#include<
iostream>
usingnamespacestd;
#definesize20
intpartition(intdata[],intp,intr)
{
intn=data[p],i=p+1,j=r,temp;
//将<
n的元素交换到左边区域
//将>
n的元素交换到右边区域
while(true)
{
while(data[i]<
n)++i;
while(data[j]>
n)--j;
if(i>
=j)
break;
temp=data[i];
data[i]=data[j];
data[j]=temp;
}
data[p]=data[j];
data[j]=n;
returnj;
}
voidquick_sort(intdata[],intp,intr)
{if(p>
=r)
return;
intq=partition(data,p,r);
quick_sort(data,p,q-1);
//对左半段排序
quick_sort(data,q+1,r);
//对右半段排序
}
intmain()
inti,n,data[size];
printf("
请输入要排列的数目(<
=20):
"
);
scanf("
%d"
&
n);
请输入要排列的数列:
\n"
for(i=0;
i<
n;
++i)
scanf("
data[i]);
quick_sort(data,0,n-1);
排列后的数列为:
printf("
%d"
data[i]);
printf("
return0;
运行结果如下:
图1
●动态规划—最优二叉搜索树
1、最优二叉搜索树问题描述和分析:
设
是有序集,且
,表示有序集S的二叉搜索树利用二叉树的结点存储有序集中的元素。
它具有下述性质:
存储于每个结点中的元素x大于其左子树中任一结点所存储的元素,小于其右子树中任一结点所存储的元素。
二叉树的叶结点是形如
的开区间,在表示S的二叉搜索树中搜索元素x,返回的结果有两种情况:
(1)在二叉搜索树的内结点中找到
。
(2)在二叉搜索树的叶结点中确定
设在第
(1)中情形中找到元素
的概率为
;
在第
(2)种情形中确定
其中约定
显然有:
称为集合S的存取概率分布。
在表示S的二叉搜索树T中,设存储元素
的结点深度为
叶结点
,则:
表示在二叉搜索树T中进行一次搜索所需要的平均比较次数,p又成为二叉搜索树T的平均路长。
在一般情况下,不同的二叉搜索树的平均路长是不相同的。
最优二叉搜索树问题是对于有序集S及其存取概率分布
,在所有表示有序集S的二叉搜索树中找到一棵具有最小平均路长的二叉搜索树。
2、最优子结构性质:
二叉搜索树T的一棵含有结点
和叶结点
的子树可以看作是有序集
关于全集合
的一棵二叉搜索树,其存取概率为以下的条件概率:
式中,
设
是有序集
关于存取概率
的一棵最优二叉搜索树,其平均路长为
的根结点存储元素
其左右子树
的平均路长分别为
由于
中结点深度是它们在
中的结点深度减1,故有:
是关于集合
的一棵二叉搜索树,故
若
,则用
替换
可得到平均路长比
更小的二叉搜索树。
这与
是最优二叉搜索树矛盾。
故
是一棵最优二叉搜索树。
同理可证
也是一棵最优二叉搜索树。
因此最优二叉搜索树问题具有最优子结构性质。
3、递归计算最优值:
最优二叉搜索树
的平均路长为
,则所求的最优值为
由最优二叉搜索树问题的最优子结构性质可建立计算
的递归式如下:
初始时,
记
为
,则
为所求的最优值。
计算
的递归式为:
据此,可设计出解最优二叉搜索树问题的动态规划算法。
算法实现题:
给出标识符集{1,2,3}={do,if,stop}存取概率,若b1=0.4b2=0.2b3=0.05a0=0.2a1=0.05a2=0.05a3=0.05构造一棵最优二叉搜索树
#include<
voidOptimalBinarySearchTree(floata[],floatb[],intn,floatm[][20],ints[][20],floatw[][20])
{//求解最优值的方法
inti,r,k;
floatt;
=n;
i++){
w[i+1][i]=a[i];
//搜索不到的点,最优解为0
m[i+1][i]=0;
}
for(r=0;
r<
r++)
for(i=1;
=n-r;
intj=i+r;
//左子树为空
w[i][j]=w[i][j-1]+a[j]+b[j];
m[i][j]=m[i+1][j];
s[i][j]=i;
for(k=i+1;
k<
=j;
k++){
t=m[i][k-1]+m[k+1][j];
if(t<
m[i][j])
{//以k为根节点,左子树不为空
m[i][j]=t;
s[i][j]=k;
m[i][j]+=w[i][j];
}
i++)
for(intj=1;
j<
j++)
cout<
<
s["
]["
]="
s[i][j]<
endl;
voidprint(inti,intj,ints[][20],intS[])//递归输出结果
{
if(j>
=i){
intk=s[i][j];
("
;
print(i,k-1,s,S);
)"
"
S[k]<
print(k+1,j,s,S);
intmain()
{//主函数
intn,i;
floata[20],b[20],m[20][20],w[20][20];
ints[20][20],S[20];
请输入有序集元素的个数n:
cin>
>
请输入有序集各元素的值S[i](一共"
n<
个):
S[i];
请输入概率数组a的各元素的值a[i](一共"
n+1<
a[i];
请输入概率数组b的各元素的值b[i](一共"
b[i];
OptimalBinarySearchTree(a,b,n,m,s,w);
最优值即平均步长为:
m[1][n]<
图2
1、图的m着色问题描述:
给定无向连通图G和m种不同的颜色。
用这些颜色为图G的各顶点着色,每个顶点着一种颜色。
是否有一种着色法使G中每条边的2个顶点着不同颜色。
这个问题是图的m可着色判定问题。
若一个图最少需要m种颜色才能使图中每条边连接的2个顶点着不同颜色,则称这个数m为该图的色数。
求一个图的色数m的问题称为图的m可着色优化问题。
2、算法设计:
一般连通图的可着色法问题并不仅限于平面图。
给定图
和m种颜色,如果这个图不是m可着色,则给出否定答案;
如果这个图是m可着色的,找出所有不同的着色方法
下面根据回朔法的递归描述框架
设计图的m着色算法。
用图的邻接矩阵a表示无向量连通图
属于图
的边集E,则
,否则
整数1,2,…,m用来表示m种不同颜色。
顶点
所有颜色用
表示,数组
是问