正反比例总复习教案奥数文档格式.docx
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上次作业检查
一、重点知识归纳及讲解
1、正、反比例的意义
(1)正比例的意义
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化。
这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定,这两种量叫做成正比例的量,它们的关系叫做成正比例关系。
如果用字母x和y表示两种相关联的量,用k表示它们的比值(一定),正比例关系可以用下面的式子表示:
(2)反比例的意义
这两种量中相对应的两个数的乘积一定,这两种量叫做成反比例的量,它们的关系叫做成反比例关系。
如果用字母x和y表示两种相关联的量,用k表示它们的积(一定),反比例关系可以用下面的式子表示:
xy=k(一定)
2、解答比例问题的一般步骤:
(1)认真审题,判断题中相关联的两种量是成正比例还是成反比例。
(2)设未知数x。
(3)根据判断列出正比例或反比例的关系式;
属于一般比的问题可用按比例分配或列比例式。
(4)求出未知数x的值。
(5)检验,写答案。
3、比例问题的重点在于正确找出两种相关联的量,并明确二者间的比例关系。
常见的正、反比例关系列举如下:
(1)常见的正比例关系
当速度一定时,路程与时间成正比例关系,即
当工作效率一定时,工作总量与工作时间成正比例关系,即
当单位面积产量一定时,播种面积与总产量成正比例关系,即
(2)常见的反比例关系
当长方形的面积一定时,它的长和宽成反比例关系,即
长×
宽=长方形的面积(一定)
当总时间一定时,制造零件的个数和制造每个零件所用的时间成反比例关系,即
制造每个零件所用的时间×
制造零件的个数=总时间(一定)
两个互相咬合的齿轮,当齿轮转过的齿数一定时,齿数与转数成反比例关系,即
齿轮的齿数×
转数=齿轮转过的齿数(一定)
二、难点知识剖析
例1、甲、乙两人各加工100个零件,甲比乙迟
小时开工,结果同时结束。
甲、乙两人的工作效率比是5∶2。
甲每小时加工多少个零件?
解析:
根据“甲、乙两人各加工100个零件”可知甲、乙两人的工作总量相同,则工作时间与工作效率成反比例,由“甲、乙两人的工作效率比是5∶2”知甲、乙两人的工作时间比是2∶5,又“甲比乙迟
小时开工”可以求出甲加工100个零件所需的时间,从而求出甲每小时加工零件的个数。
解答:
因为工作总量一定,所以工作时间与工作效率成反比例。
由甲、乙两人的工作效率比是5∶2,得到甲、乙两人的工作时间比是2∶5,
甲加工100个零件所需要的时间是
(小时)
甲每小时加工零件的个数:
(个)
答:
甲每小时加工60个零件。
巩固练习:
甲、乙两名同学各扎180朵花,甲比乙晚
小时开始,结果同时扎完。
甲、乙两同学的工作效率比是4∶3。
甲每小时扎多少朵花?
例2、师、徒两人加工一批零件。
由师傅单独做需要15小时,已知徒弟每小时能加工60个零件。
现在师、徒两人同时加工,完成任务时,徒弟加工的个数是师傅的
。
这批零件一共有多少个?
师、徒两人同时开始加工到完成任务所花的时间相同。
因为工作时间一定,工作效率和工作总量成正比例,所以师、徒的工作效率比是5∶4。
根据徒弟的工作效率可以求出师傅的工作效率,由此可以求出这批零件的总个数。
因为工作时间一定,工作效率和工作总量成正比例。
师、徒两人的工作效率比是5∶4,师傅每小时生产零件的个数:
这批零件的总数:
75×
15=1125(个)
这批零件一共有1125个。
甲、乙两人同时加工一批零件,甲每小时完成这批零件的
,乙每小时做180个零件,现甲、乙两人同时开始加工,完成任务时,乙加工的个数是甲
例3、甲、乙两人同时加工一批零件,已知甲、乙工作效率的比是4∶5,完成任务时,乙比甲多加工120个零件。
因为甲、乙两人加工零件的时间相同,所以工作总量与工作效率成正比例,已知甲、乙工作效率的比是4∶5,则甲、乙工作总量的比是4∶5,根据“完成任务时乙比甲多加工120个零件”可以解决最后的问题。
因为甲、乙两人加工零件的时间相同,所以工作总量与工作效率成正比例。
由甲、乙工作效率的比是4∶5,得到甲、乙工作总量的比是4∶5,
这批零件一共有1080个。
徒两人各加工480个零件,完成任务时所用的时间比是2∶3,已知师傅每小时比徒弟多加工20个,师傅加工这批零件用了多少小时?
例4、甲、乙两个长方体容器,底面积的比是4∶3,甲中水深5厘米,乙中水深2厘米。
再往两个容器中注入同样多的水,这时水深恰好相等,甲容器中水面上升几厘米?
因为向容器中注入同样多的水,所以两容器中水面上升的高度与底面积成反比例。
又知加入等量的水后,两容器中水深相等,即可知甲中水面比乙中水面少上升了(5-2)=3厘米。
这样就可以求出甲容器中水面上升的高度。
依题意,甲、乙两容器中水面上升的高度与底面积成反比例,
因为甲、乙两容器底面积的比是4∶3,
所以甲、乙两容器中水面上升高度的比是3∶4,
答:
甲容器中水面上升9厘米。
甲、乙两个圆柱容器,底面积的比是5∶4,甲中水深8厘米,乙中水深5厘米。
再往两个容器中注入同样多的水,使两个容器里水深恰好相等,乙容器中水面上升几厘米?
例5、甲、乙、丙是三个互相咬合的齿轮,若甲齿轮转5圈时,乙齿轮转4圈,丙齿轮转6圈,则三个齿轮的齿数比是多少?
对于每一对互相咬合的齿轮,在咬合点通过的总齿数是相等的,而总齿数=齿数×
转数,于是两个互相咬合的齿轮,齿数和转数成反比例。
根据题意,由甲、乙、丙三个齿轮转数的比,求出它们齿数的比。
因为两个互相咬合的齿轮,齿数和转数成反比例。
甲、乙、丙三个齿轮转数的比是:
5∶4∶6,
所以甲、乙、丙三个齿轮齿数的比是:
甲、乙、丙三个齿轮齿数的比是12∶15∶10。
甲、乙、丙三个互相咬合的齿轮,齿数比是3∶5∶6,当甲齿轮转10圈时,乙、丙两个齿轮分别转多少圈?
三、能力提升
例1、客、货两车同时从甲、乙两地相对开出。
相遇时客、货两车所行路程的比是5∶4,相遇后货车每小时比相遇前每小时多走了27千米,客车仍按原速前进。
结果两车同时到达对方的出发站。
已知客车一共行了10小时。
甲、乙两地相距多少千米?
从相遇到两车同时到达对方的出发点,货车和客车所行的路程比是5∶4,因为时间相同,路程与速度成正比例,所以相遇后货车速度与客车速度比为5∶4,即相遇后货车速度是客车速度的
根据题意,又可知相遇前货车速度是客车速度的
,速度差27千米就相当于客车速度的
,由此可以求出客车速度,进而求出甲、乙两地的距离。
因为时间相同,路程与速度成正比例,由相遇时客、货两车所行路程的比是5∶4,
则相遇后货车速度与客车速度比为5∶4,相遇前货车速度与客车速度比是4∶5。
甲、乙两地相距600千米。
例2、猎狗发现在离它20米远的前方有一只奔跑着的兔子,马上紧追上去.兔跑9步的路程狗只需跑5步,但狗跑2步的时间兔却能跑3步,问猎狗追上兔子时共跑了多少米的路程?
根据“兔跑9步的路程狗只需跑5步”,路程一定,每步的距离与步数成反比例,可以得到猎狗与兔子每步的距离比;
有由“狗跑2步的时间兔却能跑3步”可以得到猎狗与兔子在相同时间内跑的路程比,最后求出猎狗追上兔子时共跑的路程.
根据“兔跑9步的路程狗只需跑5步”得到猎狗与兔子每步的距离比是9∶5,
猎狗与兔子在相同时间内跑的路程比是:
(9×
2)∶(5×
3)=6∶5
故猎狗追上兔子时共跑的路程是:
20÷
(6-5)×
6=120(米)
答:
猎狗追上兔子时共跑的路程是120米。
小结:
比例问题的基本情况和解答时应该注意以下几点:
1、某种数量的两个数值告诉了我们,可以直接求出它们的比,然后根据数量关系,确定另一个数量两个对应数值的比。
2、某种数量的两个数值没有告诉我们,但知道它们的具体分率,可以根据分率求出它们的比,然后根据数量关系,确定另一个数量两个对应数值的比。
3、应用正、反比例性质解答应用题特别要注意题目中某一数值是否一定,然后再确定是成正比例还是成反比例。
四、作业布置
学员课堂表现:
学员签字___________班主任签字_____________
正、反比例练习
1、判断下面各题中的两种量是否成比例,成什么比例。
1、菜籽出油率一定,菜籽油的质量和油菜籽的质量。
()
2、房间的面积一定,地砖的面积和地砖的块数。
3、三角形的面积一定,它的低和高。
4、时间一定,路程和速度。
5、X-Y=10,X和Y。
6、如果x-2y=0(y≠0),那么x和y。
7、
a=b,a和b(a,b都不为0)。
()
8、圆的周长一定,它的直径和圆周率。
2、解决问题
1、“神舟”五号载人飞船在太空飞行14圈用了21小时。
如果飞行速度不变,“神舟”六号载人飞船准备载两人,计划遨游太空108圈,一共要用多少小时?
和几日几小时?
(用比例解)
2、如果用边长30厘米的方砖给一个房间铺地,需要100块。
如果改用边长50厘米的方砖铺地,需要多少块?
3、制造一个零件,甲需3分钟,乙需5分钟,丙需4分钟,现在有846个零件的任务,分配给他们三人,且在相同的时间内完成。
每人应分配多少个零件?
4、甲、乙两人各加工1560个零件,甲比乙迟
甲、乙两人的工作效率比是4∶3。
5、李师傅计划加工1200个零件,实际由于工作效率提高了20%,结果提前1小时完成。
李师傅计划每小时加工多少个零件?
6、师傅和徒弟共同加工一批零件,完成任务时,师傅比徒弟多加工200个零件。
已知师傅、徒弟的工作效率比是7∶5。
7、甲、乙两人共同加工一批零件,已知甲、乙两人的工作效率比是5∶2,完工时,乙比甲少做了21个。
8、A、B两个圆柱容器,底面积的比是2∶3,A中水深4厘米,B中水深6厘米。
再往两个容器中注入同样多的水,使两个容器里水深恰好相等,现在两个容器中水深多少厘米?