高考数列专题复习精典版知识点大题分类选择题答案解析详解Word文档下载推荐.docx
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d2弔d
—n(a1—r)n
Sn-彳
na1(q兰1
1a1(1-q)a1—anq“/
1-(q耒1
[1_q1_q
中项
a+■I
A=—b
2
…一+a卅
推广:
2an—nnnm
G2二ab。
一.X皿
M—a怖
性质
1
丁亠丿•—ung4nm
-i-
若m+n—p+q贝Uaman一apaq
若m+n—p+q,贝Uaman一apaq。
若{kn}成A.P(其中knN)则{akn}也为AP。
若{kn}成等比数列(其中kn-N),
则{akn}成等比数列。
3
.Sn,S2nSn,S3nS2n成等差数列。
Sn,S2n—Sn,S3n^S2n成等比数列。
an—a1am二an,、
d=(m却)
n一1m-n
n1ann-man.、
q—=—,q—=—(m#n)
a1am
4、典型例题分析
【题型1】等差数列与等比数列的联系
例1(文16)已知{an}是公差不为零的等差数列,ai=1,且ai,a3,a9成等比数列
(I)求数列{an}的通项;
(H)求数列{2an}的前n项和Sn.
解:
(1)由题设知公差d工0,
+
12d18d
11+2d
解得d=1,d=0(舍去),
故{a}的通项a=1+(n—1)x1=n.
nn
(n)由(I)知2am=2n,由等比数列前n项和公式得
23
Sm=2+2+2++2=
2(12n)n+1
=2-2.
1"
当n>
2时,
①一②得2
12
a+2a+2a
1an=8,求得
++2an=24—n,
n—2n—1*
a=8(n—1)(nGN)
b2=4,b3=2,:
b2—b1=—4,b3—b2=—2,二数
在①中令n=1,可得a1=8=24—1,
.••an=24n(nGN).由题意知b1=8,
列{bn+1—bn}的公差为一2—(—4)=2,—bn+1—bn=—4+(n—1)x2=2n—6,
WORD格式整理法一(迭代法)
bn=b1+(b2—b1)+(b3—b2)++(bn—bn-〔)=8+(—4)+(—2)++(2n—8)=n2-7n+14(n€N*).
法二(累加法)
即bn-bn-1=2n—8,
bn-1—bn-2=2n—10,
b3—
b2=-
-2,
b2—
b1=-
-4,
b1=
8,
相加得bn=8+(—4)+(—2)++(2n—8)
=8+(n-1)(-4+2n-8)=n2-7n+14(n.2
小结与拓展:
1)在数列{an}中,前n项和Sn与通项an的关系为:
a1S1(n1)
an二二.是重要考点;
2)韦达定理应引起重视;
3)迭代法、
-S
[Sn_n1(©
2,n:
咽)
累加法及累乘法是求数列通项公式的常用方法。
【题型3】中项公式与最值(数列具有函数的性质)
例3(文)在等比数列{a}中,a>
0(nn*),公比q(0,1),且aa+2aa+a
nn1535
a=25,a与a的等比中项为2。
(1)求数列{a}的通项公式;
(2)设b=loga,
283snn2n
S1S2Sn
数列{bn}的前n项和为Sn当O12最大时,求n的值。
丄:
十一2曲噌4
(1)因为a1a5+2a3a5+a2a8=25,所以,a32+2a3a5+a52=25
又a
>
o,
a+a=5
又a与a的等比中项为
2,所以,
aa=
n
5
35
而q
(0,1)
,所以,a3>
a5,所以,a3=4,a5=1,q
a1=16,
所以,
n1
16
(1>
25n
IJ
(2)
bn=
log2a
n=5-
-n,
bn+1—bn=—1,
专业资料
值得拥有
1.前n项和公式Sn的定义:
Sn=a1+a2+an。
2.数列求和的方法
(1)
(1)公式法:
1)等差数列求和公式;
2)等比数列求和公式;
比数列的数列;
4)常用公式:
.n1
k-123IIn于n(n1);
k—12
k2-122232IIIn
k_1
3)可转化为等差、等
2「1n(n•吩1)(2n1);
6
k3二13一233311-n3-[n(n1)]2;
k-12
(2k1)-T35...(2n-1)-n2。
k—1
(2)分组求和法:
差数列或等比数列,
3)倒序相加法:
同一常数,那么求这个数列的前即是用此法推导的。
把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合,然后由等差、等比数列求和公式求解。
如果一个数列{a},与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于
n项和即可用倒序相加法。
如:
等差数列的前
使其转化成等
n项和
[、数列的前n项和
(4)裂项相消法:
即把每一项都拆成正负两项,使其正负抵消,只余有限几项,可求和。
适用于
其中{an}是各项不为0的等差数列,
c为常数;
部分无理数列、含
阶乘的数列等。
如:
1I
j和
[11
Iaa*」
w
J
a+』
1)
(其中£
n>
等差)可裂项为:
一斗(斗
——1-
aa
nn1dan
十1
L.J
a
ann1
a)。
(根式在分母上时可
求和)
(1)
n(n小『1)nn
1-1(1
1);
n(n一k)kn
nk
11
(3)
[
n(n「1)(n1)2
n(n1)
(4)
(n1)!
n!
(n
1)!
(5)
常见放缩公式:
2(_
考虑利用分母有理化,因式相消常见裂项公式:
];
(n1)(n2)
.1
誠+Vnn1
-2(
nn1)—丿.
3.典型例题分析
【题型1】公式法
例1等比数列{}的前n项和
1)当n=1时,a1一2-p;
-p,则
a1
2'
2—,壬2=
a2a3an
2)当n2时,an
-S-S
n-1
(2n-p)-(2n-1-p)2-1。
因为数列{an}为等比数列,
所以a1
2-p21-11p1
从而等比数列{an}为首项为
1,公比为
2的等比数列。
故等比数列
an2为首项为1,公比为q
2—4的等比数列。
2-
2希22_1(1-4"
)=1n
a2a3an仁43(4-1)
2)等比数列求和公式;
3)可转化为等差、等比数列
的数列;
4)常用公式:
(见知识点部分)。
5)等比数列的性质:
若数列{an}为等比数
列,则数列an2及
1也为等比数列,首项分别为
a12、
1,公比分别
为q2、—。
q
【题型2】分组求和法
例2(文18)数列{an}中,a#1,且点(an,an+1)(nN*)在函数f(x)=x+2
的图象上.求数列{an}的通项公式
解:
•••点(a,a)在函数f(x)x2的图象上,二aa2。
nntntn
1为首项,2为公差的等差数
二an1--an一2,即数列{an}是以ai一列,
二an=1嵐n1)2-2n1
TnCC12C2C3
PICC
C3C4nn1
1—1-1--H
455667
——1
(n3)(n4)
【题型3】裂项相消法
例3
(文19
改编)
已知数列■-
an「的前n项和为Sn,a1-1,
Sn1-4an‘1,设
-
{
bn
n12an.
(I)证明数列bn是等比数列;
(□)
数列心n}满足Cn
1
亠
■・*ri广
(n昭N),求Tfcc12C23CC34
CC--hnn。
■■口
log2bn
证明:
(I)由于
S-
-4a1,
①
二2.
—
当n时,
Sn
4an11.
②