高考数学 热点题型和提分秘籍 专题06 函数的奇偶性与周期性 文Word格式.docx
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奇函数的和、差仍为奇函数；
奇（偶）数个奇函数的积、商（分母不为零）为奇（偶）函数；
一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数。
（注：
利用上述结论时要注意各函数的定义域）
【举一反三】
若函数f（x）（x∈R）是奇函数，函数g（x）（x∈R）是偶函数，则（ ）
A．函数f（g（x））是奇函数
B．函数g（f（x））是奇函数
C．函数f（x）g（x）是奇函数
D．函数f（x）＋g（x）是奇函数
【答案】C
【解析】根据函数奇偶性的定义可知，
f（g（－x））＝f（g（x）），
所以f（g（x））是偶函数，同理可以判断g（f（x））是偶函数，函数f（x）＋g（x）的奇偶性不确定，而f（－x）g（－x）＝[－f（x）]g（x）＝－f（x）g（x），所以f（x）g（x）是奇函数。
热点题型二函数奇偶性的应用
例2、【2017课标II，文14】已知函数
是定义在
上的奇函数，当
时，
则
________．
【答案】12
【
【提分秘籍】函数奇偶性的问题类型及解题思路
（1）已知函数的奇偶性，求函数值：
将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解。
（2）已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值，常常利用待定系数法：
利用f（x）±
f（－x）＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程求解。
（3）应用奇偶性画图象和判断单调性：
利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一对称区间上的单调性。
设定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）＝x2－4（x＞0），则f（x－2）＞0的解集为（ ）
A．（－4,0）∪（2，＋∞）B．（0,2）∪（4，＋∞）
C．（－∞，0）∪（4，＋∞）D．（－4,4）
【答案】B
【解析】∵f（x）＝x2－4（x＞0），
∴当x＞0时，若f（x）＞0，则x＞2，
又由函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，－x＞0，若f（x）＞0，则f（－x）＜0，则0＜－x＜2，即－2＜x＜0，故f（x）＞0的解集为（－2,0）∪（2，＋∞），
故f（x－2）＞0时，x－2∈（－2,0）∪（2，＋∞），x∈（0,2）∪（4，＋∞），
即f（x－2）＞0的解集为（0,2）∪（4，＋∞）。
热点题型三函数的周期性及应用
例3．
（1）x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f（x）＝x－[x]在R上为（ ）
A．奇函数B．偶函数
C．增函数D．周期函数
（2）设f（x）是以2为周期的函数，且当x∈[1,3）时，f（x）＝x－2，则f（－1）＝__________。
【答案】
（1）D
（2）－1
1）＝f
（1）＝1－2＝－1。
【提分秘籍】函数周期性的判定与应用
（1）判定：
判断函数的周期性只需证明f（x＋T）＝f（x）（T≠0）便可证明函数是周期函数，且周期为T。
（2）应用：
根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：
若T是函数的周期，则kT（k∈Z且k≠0）也是函数的周期。
设定义在R上的函数f（x）满足f（x）·
f（x＋2）＝13，若f
（1）＝2，则f（99）＝__________。
【解析】因为f（x）·
f（x＋2）＝13，所以f（x＋2）＝，
则有f（x＋4）＝＝＝f（x），
所以f（x）是以4为周期的周期函数，
所以f（99）＝f（25×
4－1）＝f（－1）＝＝。
热点题型四函数性质的综合应用
例4、
（1）已知奇函数f（x）的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]上递减，则满足f（1－m）＋f（1－m2）＜0的实数m的取值范围是________。
（2）已知f（x）是定义在R上的函数，对任意x∈R都有f（x＋4）＝f（x）＋2f
（2），若函数f（x－1）的图象关于直线x＝1对称，且f
（1）＝2，则f（2011）等于（ ）
A．2B．3
C．－2D．－3
【答案】
（1）[－1,1）
（2）A
偶函数，所以f
（2）＝f（－2），在f（x＋4）＝f（x）＋2f
（2）中，令x＝－2得f
（2）＝f（－2）＋2f
（2），所以f
（2）＝0，于是f（x＋4）＝f（x），即函数f（x）的周期等于4，于是f（2011）＝f（－1）＝f
（1）＝2，故选A。
【提分秘籍】
1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性，利用这一结论可能把“分散”在关于原点对称区间上的自变量的值转化到同一个区间上。
以便“脱掉”对应法则“f”，这是解决奇偶性与单调性综合问题的关键。
2．函数的周期性起着自变量“由大变小”的作用，奇偶性起着自变量“正负互化”的作用，这两个作用是解决周期性与奇偶性综合问题的关键。
设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）＝2x（1－x），则f等于（ ）
A．－B．－C.D.
【解析】∵f（x）是周期为2的奇函数，
∴f＝f＝f＝－f
＝－2×
×
＝－。
【答案】A
【2017课标II，文14】已知函数
【解析】函数
上的奇函数，
，
.
【2017北京，文5】已知函数
1.【2016高考浙江文数】函数y=sinx2的图象是（）
【答案】D
【解析】因为
为偶函数，所以它的图象关于
轴对称，排除A、C选项；
当
，即
，排除B选项，故选D.
2.【2016高考四川文科】已知函数
是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，
=.
【答案】-2
【解析】因为函数
上周期为2的奇函数，所以
，所以
.
1.【2015高考四川，文5】下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）
（A）y＝sin（2x＋
）（B）y＝cos（2x＋
）
（C）y＝sin2x＋cos2x（D）y＝sinx＋cosx
2.【2015高考天津，文7】已知定义在R上的函数
为偶函数,记
则
的大小关系为（）
（A）
（B）
（C）
（D）
【解析】由
为偶函数得
所以
所以
故选B.
3.【2015高考陕西，文9】设
（）
A．既是奇函数又是减函数B．既是奇函数又是增函数
C．是有零点的减函数D．是没有零点的奇函数
【解析】
又
的定义域为
是关于原点对称，所以
是奇函数；
是增函数.
故答案选
4.【2015高考山东，文8】若函数
是奇函数，则使
成立的
的取值范围为（）
（A）（
）（B）（
）（C）
（D）
【解析】由题意
所以，
由
得，
故选
5.【2015高考广东，文3】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）
A．
B．
C．
D．
6.【2015高考北京，文3】下列函数中为偶函数的是（）
【解析】根据偶函数的定义
，A选项为奇函数，B选项为偶函数，C选项定义域为
不具有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数，故选B.
7.【2015高考福建，文3】下列函数为奇函数的是（）
和
是非奇非偶函数；
是偶函数；
是奇函数，故选D．
8.【2015高考安徽，文4】下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）
（A）y=lnx（B）
（C）y=sinx（D）y=cosx
9.【2015高考上海，文20】
（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.
已知函数
，其中
为实数.
（1）根据
的不同取值，判断函数
的奇偶性，并说明理由；
（2）若
，判断函数
在
上的单调性，并说明理由.
（1）
（2）函数
上单调递增.
（1）当
，显然是奇函数；
且
所以此时
是非奇非偶函数.
（2）设
因为
所以
故函数
上单调递增.
1．（2014·
重庆卷）下列函数为偶函数的是（ ）
A．f（x）＝x－1B．f（x）＝x2＋x
C．f（x）＝2x－2－xD．f（x）＝2x＋2－x
【答案】D
2．（2014·
安徽卷）若函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）＝则f＋f＝______．
【答案】
【解析】由题易知f＋f＝f＋f＝－f－f＝－＋sin＝.
3．（2014·
广东卷）下列函数为奇函数的是（ ）
A．2x－B．x3sinx
C．2cosx＋1D．x2＋2x
【答案】A
【解析】对于A选项，令f（x）＝2x－＝2x－2－x，其定义域是R，f（－x）＝2－x－2x＝－f（x），所以A正确；
对于B选项，根据奇函数乘奇函数是偶函数，所以x3sinx是偶函数；
C显然也是偶函数；
对于D选项，根据奇偶性的定义，该函数显然是非奇非偶函数．
4．（2014·
湖北卷）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2－3x，则函数g（x）＝f（x）－x＋3的零点的集合为（ ）
A．{1，3}B．{－3，－1，1，3}
C．{2－，1，3}D．{－2－，1，3}
5．（2014·
湖南卷）下列函数中，既是偶函数又在区间（－∞，0）上单调递增的是（ ）
A．f（x）＝B．f（x）＝x2＋1
C．f（x）＝x3D．f（x）＝2－x
【解析】由偶函数的定义，可以排除C，D，又根据单调性，可得B不对．
6．（2014·
湖南卷）若f（x）＝ln（e3x＋1）＋ax是偶函数，则a＝________．
【答案】－
【解析】由偶函数的定义可得f（－x）＝f（x），即ln（e－3x＋1）
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