量子力学思考题及解答Word下载.docx
《量子力学思考题及解答Word下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《量子力学思考题及解答Word下载.docx(18页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
t1-2],ci和C2的模对相对相位对概率分布具有重要作用。
4、量子态的叠加原理常被表述为:
“如果’-:
1和2是体系的可能态,则它们的线性叠加
=c^L;
1c?
;
2也是体系的一个可能态”。
(〔)是否可能出现■(x,t)=C1(t)‘‘1(x)•C2(t)J2(x);
(2)对其中的c1与c2是任意与r无关的复数,但可能是时间t的函数。
这种理解正确吗?
(1)可能,这时^(t)与c2(t)按薛定谔方程的要求随时间变化。
已知’-:
1和'
-:
2是体系的可能态,它们应满足波方程式
如果‘-:
1和匸2的线性叠加'
■(X,t^Ci(ty-i(X,t)C2(t尸2(X,t)也是体系的可能态,
就必须满足波方程式iH'
,然而,
盘
i「iG「1並C2「2'
-2唾
:
tI.tdt;
tdt
=c1H-1qHji[生宀2^
11_1dt2dt
可见,只有当乜=咳=0时,才有i「H(c「jc2'
2)=*。
dtdt过
因此,■(x,t)二cjtyr&
t)•qCA/x’t)中,C1与C2应是任意复常数,而不是
时间t的复函数。
如上式中态不含时间,则有'
■(x^cr\(x)c?
2(x)。
5、
(1)波函数‘-:
与、e^-;
是否描述同一态?
(2)下列波函数在什么情况下才是描述同一态?
■,-'
2;
c<
'
1-⑥/血」,•c2eg:
2
这里C1,C2是复常数,:
1/'
2是实常数。
(1与、d二描述的相对概率分布完全相同,如对空间捲和X2两点的相对概
率
N(X1)|2
|kW(X1)|2
e切(xj
故W与k屮、e©
P均描述同一态。
W(X2)2
2—
k屮(X2)
e呵区)
2,
(2)
由于
任意
复数c=ce旧,以及
屮1±
C2屮22=屮12+C2屮22士GC;
屮Y2+C*C2屮化
显然,只有当复数C1=c2=C,即C1=c2=c,且e:
1二e〉2二e〉时,
=t,C2「2=Uc^ei:
-\c2ei:
-^cC;
'
-■2)ei:
-
均描述同一态。
6、量子力学规律的统计性与经典统计力学的统计规律有何不同?
量子力学统计规律的客观
基础是什么?
经典统计力学的基础是牛顿力学,例如一定量气体中每个气体分子在每个瞬时都有确
定的位置和动量,每个分子都按牛顿运动定律而运动,而大量分子组成的体系存在着统计
规律。
例如,对个别分子不存在温度这个概念,处于平衡态的理想气体的温度是分子平均
平动动能的量度。
与经典力学不同,量子力学不是像经典统计力学那样建立起来的宏观理论,波函数的
统计解释是量子力学的理论结构中的基本假设。
在传统的解释中,量子力学规律的统计性被认为是由波粒二象性所决定的微观粒子的
本质特性,是观测仪器对微观粒子的不可控制的作用的结果。
如类似经典粒子那样,进一
步问:
统计性的微观实质是什么?
依据是什么?
则被认为是超出了基本假设限度,因而是
没有意义的,也是没有必要的。
7、量子力学为什么要用算符表示力学量?
表示力学量的算符为什么必须是线性厄密的?
用算符表示力学量,是量子体系所固有的波粒二象性所要求的,这正是量子力学处理
方法上的基本特点之一。
我们知道,表示量子态的波函数是一种概率波,因此,即是在一
确定的量子态中,也并非各力学量都有完全确定值,而是一般的表现为不同数值的统计分
布,这就注定了经典力学量的表示方法(可由运动状态完全决定)不再使用,因此需要寻
求新的表示方法。
下面从力学量的平均值的表示式出发,说明引入算符的必要性。
如果体系处于’「(X)中,则它的位置平均值为
x_-(x)xdx
类似地,它的动量的平均值也可表示为
p=旷(x)2pdx
若要求出上述积分,必须将p表示为x的函数,然而这是做不到的,因为按不确定关系P(x)的表示是无意义的,因此不能直接在坐标表象中用上式求动量平均值。
我们可先在动
量表象中求出动量平均值,然后再转换到坐标表象中去。
—2
P=.(P)pdp
利用(P)=(2…;
!
/2'
(xhx/dx有
「盘M弁即*(x)p屮ge^/Hdxdp
作代换peJpx/=i「e两,并对p,x积分得(推广到三维)
p=*(r)(—i)'
-(r)d.
可见,要在坐标表象中计算动量平均值,那么动量矢量恰与算符_i\相当。
实际上,
任何一个力学量在非自身表象中计算平均值时,都与相应的算符相当,自然会引入算符表
示力学量的概念。
用算符表示力学量问题还可以从另一个角度来说明。
我们知道,在量子力学中,力学量
之间的关系从其数值是否能同时确定来考虑,有相互对易与不对易两种,而经典力学量之
间都是对易的,因此经典力学量的表示方法不能适用于量子力学,然而数学运算中算符与
算符之间一般并不满足交换律,也就是存在不对易情况,因此用算符表示力学量是适当的。
力学量必须用线性厄密算符表示,这是由量子态叠加原理所要求的;
任何力学量的实际
测量值必须是实数,因此它的本征值也必为实数,这就决定了力学量必须由厄密算符来表
示。
8、力学量之间的对易关系有何物理意义?
力学量之间的对易关系,是量子力学中极为重要的关系。
它相当于旧量子论中的量子
化条件,具有深刻的物理含义。
对易关系表明,经典因果性不是普遍成立的,并指出各类力
学量能够同时确定的条件(相互对易),体现了量子力学的基本特点。
与不确定原理一样,
力学量之间的对易关系也是来源于物质的波粒二象性。
从纯理论的角度说,它也可以作为量
子力学的基本出发点。
此外,对于有的力学量,对易关系反映了它的基本特征,如
[L丄」=iL,就可作为角动量的定义。
9、什么是力学量的完全集?
它有何特征?
设有一组彼此独立而又相互对易的力学量(F1,F2A),它们的共同本征函数系为
(匚,亠2,上),如果给定一组量子数(m,门2,上)就可以确定体系的一个可能态,那么,就称
(Fi,F2,上)为体系的一个力学量完全集。
它的特点是:
(1)力学量完全集的共同本征函
数系构成一个希尔伯特空间;
(2)力学量完全集所包含力学量的数目等于量子数组
(m,n2,上)所包含的量子数数目,即体系的自由度数;
(3)力学量完全集中所有力学量是可
以同时测量的。
10、何谓定态?
它有何特征?
定态就是概率密度和概率流密度不随时间而变化的状态。
若势场恒定-—=0,则体
系可以处于定态。
定态具有以下特征:
(1)定态波函数时空坐标可以分离,,-(r,t^'
;
(r)eJEt/,其中(r)是哈密顿量H的本征函数,而E为相应的本征值;
(2)不显含时间t的任何力学量,对于定态的平均值不随时间而变化,各种可能值出
现的概率分布也不随时间而变化。
注意,通常用(r)表示定态只是一种简写,定态是含时态,任何描写粒子状态的波函数都是含时的。
11、
(1)任意定态的叠加一定是定态。
理由如下:
定态的线性叠加■(x,t)八晡n(x)eJEnt/
n
—*2
W(x,t)态中平均值E=”HWdx=52|CnEn与t无关,所以叠加态即(x,t)
定态。
(2)体系的哈密顿量不显含时间时,波动方程的解都是定态解。
以上说法正确吗?
(1)能量不同的定态的叠加态t(x,t)=7c<;
n(x)eJEnt/中,不具有确定的能量值,
尽管E与t无关,但位置概率密度W(x,t)=$(x,t)$=瓦c:
c詰;
(x)屮m(x)ei(En_Em)t/依赖
n,m
于时间t,这表明任意定态的叠加不再具有定态的特征,是非定态。
(2)由于波动方程是线性的,体系中不同定态叠加而成的非定态'
■(x,tHVCn'
,n(X)e正越仍是波动方程的解。
因此,只能说定态解(H不显含时间t)
評
是体系含时波动方程iH'
・的解,但不能说该体系的含时波动方程的解都是定态解。
由此可以看出,由于定态是能量的本征态,本征值方程=E中明显出现E,体系中
不同能量的本征态的线性叠加不可能再是原本征方程的解,而这种叠加态正是实际存在的最
一般的可能态。
12、什么是束缚态?
束缚态是否必为定态?
定态是否必为束缚态?
举例说明。
当粒子被势场约束在特定的区域内运动,即在无限远处波函数等于零的态叫束缚态。
束缚态的能级是分立的。
例如,一维谐振子就属于束缚定态,具有量子化的能级。
但束
缚
态不一定是定态,例如限制在一维盒子中的粒子,最一般的可能态是一系列分立的定态叠加
而
成的波包,这种叠加态是没有确定能量的非定态。
虽然一般情况下定态多属束缚态,但定态
也
可能有非束缚态,例如在散射中,粒子并不局限于有限区域,但粒子处于能量本征态,这时
粒
子处于非束缚态,或者说粒子处于散射定态(简称为散射态)。
13、不确定关系如何体现微观粒子的普遍本质一一波粒二象性?
对于微观粒子使用“波粒二象性”的术语,这本身既反映了经典物理概念的局限性,
又反映了我们语言的局限性。
我们可以认为,物质兼具粒子性和波动性,但确切地说,它们
既不是经典波,也不是经典粒子,经典物理中粒子和波的概念只有经过修正才能被量子理论
借用,不确定性关系就反映了这种修正,它给出了这两个概念能够被有效借用的限度,如
p给出了用粒子图像描述物质的局限性。
14、如何用矩阵表示量子态与力学量,并说明理由。
矩阵表示一般用于本征值为分立谱的表象(相应希尔伯特空间的维数是可数的)。
具
体说,如果力学量A的本征函数为「「「2,上\,相应本征值为A|,A2,上An。
任意态矢*可
展开为
‘a'
■■■
ann
态矢在A表象的表示为展开系数^an组成的一列矩阵
屮=岂
M
6丿