必修2 高一数学人教版全面知识点必须珍藏Word格式文档下载.docx
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②母线与轴平行;
③轴与底面圆的半径垂直;
④侧面展开图是一个矩形。
(5)圆锥:
以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体
①底面是一个圆;
②母线交于圆锥的顶点;
③侧面展开图是一个扇形。
(6)圆台:
用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分
①上下底面是两个圆;
②侧面母线交于原圆锥的顶点;
③侧面展开图是一个弓形。
(7)球体:
以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体
①球的截面是圆;
②球面上任意一点到球心的距离等于半径。
1.2空间几何体的三视图和直观图
(1)定义三视图:
正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);
侧视图(从左向右)、
俯视图(从上向下)
注:
正视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度;
俯视图反映了物体左右、前后的位置关系,即反映了物体的长度和宽度;
侧视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映了物体的高度和宽度。
(2)画三视图的原则:
长对齐、高对齐、宽相等
(3)直观图:
斜二测画法
(4)斜二测画法的步骤:
(1).平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴;
(2).平行于y轴的线长度变半,平行于x,z轴的线长度不变;
(3).画法要写好。
(5)用斜二测画法画出长方体的步骤:
(1)画轴
(2)画底面(3)画侧棱(4)成图
1.3空间几何体的表面积与体积
(1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
(2)特殊几何体表面积公式(c为底面周长,h为高,
为斜高,l为母线)
(3)柱体、锥体、台体的体积公式
(4)球体的表面积和体积公式:
V
=
;
S
第二章直线与平面的位置关系
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1基本概念及公理
(1)平面
①平面的概念:
A.描述性说明;
B.平面是无限伸展的;
②平面的表示:
通常用希腊字母α、β、γ表示,如平面α(通常写在一个锐角);
也可以用两个相对顶点的字母来表示,如平面BC。
③点与平面的关系:
点A在平面
,记作
;
点
不在平面
点与直线的关系:
点A的直线l上,记作:
A∈l;
点A在直线l外,记作A
l;
直线与平面的关系:
直线l在平面α,记作l
α;
直线l不在平面α,记作l
α。
(2)公理1:
如果一条直线的两点在一个平面,那么这条直线是所有的点都在这个平面。
(即直线在平面,或者平面经过直线)
应用:
检验桌面是否平;
判断直线是否在平面
用符号语言表示公理1:
(3)公理2:
经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。
推论:
一直线和直线外一点确定一平面;
两相交直线确定一平面;
两平行直线确定一平面。
公理2及其推论作用:
①它是空间确定平面的依据②它是证明平面重合的依据
(4)公理3:
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
符号:
平面α和β相交,交线是a,记作α∩β=a。
符号语言:
公理3的作用:
①它是判定两个平面相交的方法。
②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系:
交线必过公共点。
③它可以判断点在直线上,即证若干个点共线的重要依据。
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
1空间的两条直线有如下三种关系:
相交直线:
同一平面,有且只有一个公共点;
平行直线:
同一平面,没有公共点;
异面直线:
不同在任何一个平面,没有公共点。
2公理4:
平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为:
设a、b、c是三条直线
a∥b
c∥b
强调:
公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用:
判断空间两条直线平行的依据。
3等角定理:
空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补
4注意点:
①a'
与b'
所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定,与O的选择无关,为简便,点O一般取在两直线中的一条上;
②两条异面直线所成的角θ∈(0,);
③当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a⊥b;
④两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形;
⑤计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
2.1.3—2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系:
(1)直线在平面——有无数个公共点
(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点
(3)直线在平面平行——没有公共点
指出:
直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用aα来表示
aαa∩α=Aa∥α
2.2.直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理:
平面外一条直线与此平面的一条直线平行,则该直线与此平面平行。
简记为:
线线平行,则线面平行。
符号表示:
aα
bβ=>
a∥α
2.2.2平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理:
一个平面的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。
aβ
bβ
a∩b=Pβ∥α
a∥α
b∥α
2、判断两平面平行的方法有三种:
(1)用定义;
(2)判定定理;
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3—2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
1、定理:
一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
线面平行则线线平行。
aβa∥b
α∩β=b
作用:
利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、定理:
如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。
α∥β
α∩γ=aa∥b
β∩γ=b
可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
2.3直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1直线与平面垂直的判定
1、定义
如果直线L与平面α的任意一条直线都垂直,我们就说直线L与平面α互相垂直,记作L⊥α,直线L叫做平面α的垂线,平面α叫做直线L的垂面。
如图,直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。
L
2、判定定理:
一条直线与一个平面的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。
注意点:
a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
2.3.2平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念:
表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭lβ
B
α
2、二面角的记法:
二面角α-l-β或α-AB-β
3、两个平面互相垂直的判定定理:
一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。
2.3.3—2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质
垂直于同一个平面的两条直线平行。
2性质定理:
两个平面垂直,则一个平面垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
第三章直线与方程
3.1直线的倾斜角和斜率
3.1倾斜角和斜率
1、直线的倾斜角的概念:
当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时,规定α=0°
.
2、倾斜角α的取值围:
0°
≤α<180°
.当直线l与x轴垂直时,α=90°
3、直线的斜率:
一条直线的倾斜角α(α≠90°
)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是k=tanα
⑴当直线l与x轴平行或重合时,α=0°
k=tan0°
=0;
⑵当直线l与x轴垂直时,α=90°
k不存在.
由此可知,一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.
4、给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率:
斜率公式:
k=y2-y1/x2-x1
3.1.2两条直线的平行与垂直
1、两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;
反之,如果它们的斜率相等,那么它们平行,即
注意:
上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少这个前提,结论并不成立.即如果k1=k2,那么一定有L1∥L2
2、两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;
反之,如果它们的斜率互为负倒数,那么它们互相垂直,即
3.2.1直线的点斜式方程
1、直线的点斜式方程:
直线
经过点
,且斜率为
2、、直线的斜截式方程:
已知直线
的斜率为
,且与
轴的交点为
3.2.2直线的两点式方程
1、直线的两点式方程:
已知两点
其中
y-y1/y-y2=x-x1/x-x2
2、直线的截距式方程:
与
轴的交点为A
,与
轴的交点为B
,其中
3.2.3直线的一般式方程
1、直线的一般式方程:
关于
的二元一次方程
(A,B不同时为0)
2、各种直线方程之间的互化。
3.3直线的交点坐标与距离公式
3.3.1两直线的交点坐标
1、给出例题:
两直线交点坐标
L1:
3x+4y-2=0L1:
2x+y+2=0
解:
解方程组
得x=-2,y=2
所以L1与L2的交点坐标为M(-2,2)
3.3.2两点间距离
两点间的距离公式
3.3.3点到直线的距离公式
1.点到直线距离公式:
到直线
的距离为:
2、两平行线间的距离公式:
已知两条平行线直线
和
的一般式方程为
:
,
,则
的距离为
第四章圆与方程
4.1.1圆的标准方程
1、圆的标准方程:
圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程
2、点
与圆
的关系的判断方法:
(1)
>
,点在圆外
(2)
,点在圆上
(3)
<
,点在圆