第九章 插值与拟合综述.docx
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第九章插值与拟合综述
第九章插值与拟合
插值：
求过已知有限个数据点的近似函数。
拟合：
已知有限个数据点，求近似函数，不要求过已知数据点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小。
插值和拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同的。
而面对一个实际问题，究竟应该用插值还是拟合，有时容易确定，有时则并不明显。
§1插值方法
下面介绍几种基本的、常用的插值：
拉格朗日多项式插值、牛顿插值、分段线性插值、Hermite插值和三次样条插值。
1.1拉格朗日多项式插值
1.1.1插值多项式
用多项式作为研究插值的工具，称为代数插值。
其基本问题是：
已知函数
在区间
上
个不同点
处的函数值
，求一个至多
次多项式
（1）
使其在给定点处与
同值，即满足插值条件
（2）
称为插值多项式，
称为插值节点，简称节点，
称为插值区间。
从几何上看，
次多项式插值就是过
个点
，作一条多项式曲线
近似曲线
。
次多项式
（1）有
个待定系数，由插值条件
（2）恰好给出
个方程
（3）
记此方程组的系数矩阵为
，则
是范德蒙特（Vandermonde）行列式。
当
互不相同时，此行列式值不为零。
因此方程组（3）有唯一解。
这表明，只要
个节点互不相同，满足插值要求
（2）的插值多项式
（1）是唯一的。
插值多项式与被插函数之间的差
称为截断误差，又称为插值余项。
当
充分光滑时，
其中
。
1.1.2拉格朗日插值多项式
实际上比较方便的作法不是解方程（3）求待定系数，而是先构造一组基函数
是
次多项式，满足
令
（4）
上式称为
次Lagrange插值多项式，由方程（3）解的唯一性，
个节点的
次Lagrange插值多项式存在唯一。
1.1.3用Matlab作Lagrange插值
Matlab中没有现成的Lagrange插值函数，必须编写一个M文件实现Lagrange插值。
设
个节点数据以数组
输入（注意Matlat的数组下标从1开始），
个插值点以数组
输入，输出数组
为
个插值。
编写一个名为lagrange.m的M文件：
functiony=lagrange（x0,y0,x）;
n=length（x0）;m=length（x）;
fori=1:
m
z=x（i）;
s=0.0;
fork=1:
n
p=1.0;
forj=1:
n
ifj~=k
p=p*（z-x0（j））/（x0（k）-x0（j））;
end
end
s=p*y0（k）+s;
end
y（i）=s;
end
1.2牛顿（Newton）插值
在导出Newton公式前，先介绍公式表示中所需要用到的差商、差分的概念及性质。
1.2.1差商
定义设有函数
为一系列互不相等的点，称
为
关于点
一阶差商（也称均差）记为
，即
称一阶差商的差商
为
关于点
的二阶差商，记为
。
一般地，称
为
关于点
的
阶差商，记为
容易证明，差商具有下述性质：
1.2.2Newton插值公式
线性插值公式可表成
称为一次Newton插值多项式。
一般地，由各阶差商的定义，依次可得
将以上各式分别乘以
，然后相加并消去两边相等的部分，即得
记
显然，
是至多
次的多项式，且满足插值条件，因而它是
的
次插值多项式。
这种形式的插值多项式称为Newton插值多项式。
称为Newton插值余项。
Newton插值的优点是：
每增加一个节点，插值多项式只增加一项，即
因而便于递推运算。
而且Newton插值的计算量小于Lagrange插值。
由插值多项式的唯一性可知，Newton插值余项与Lagrange余项也是相等的，即
由此可得差商与导数的关系
其中
。
1.2.3差分
当节点等距时，即相邻两个节点之差（称为步长）为常数，Newton插值公式的形式会更简单。
此时关于节点间函数的平均变化率（差商）可用函数值之差（差分）来表示。
定义设有等距节点
，步长
为常数，
。
称相邻两个节点
处的函数值的增量
为函数
在点
处以
为步长的一阶差分，记为
，即
类似地，定义差分的差分为高阶差分。
如二阶差分为
一般地，
阶差分为
，
上面定义的各阶差分又称为向前差分。
常用的差分还有两种：
称为
在
处以
为步长的向后差分；
称为
在
处以
为步长的中心差分。
一般地，
阶向后差分与
阶中心差分公式为
差分具有以下性质：
（
）各阶差分均可表成函数值的线性组合，例如
（
）各种差分之间可以互化。
向后差分与中心差分化成向前差分的公式如下：
1.2.4等距节点插值公式
如果插值节点是等距的，则插值公式可用差分表示。
设已知节点
，则有
若令
，则上式又可变形为
上式称为Newton向前插值公式。
1.3分段线性插值
1.3.1插值多项式的振荡
用Lagrange插值多项式
近似
，虽然随着节点个数的增加，
的次数
变大，多数情况下误差
会变小。
但是
增大时，
的光滑性变坏，有时会出现很大的振荡。
理论上，当
，在
内并不能保证
处处收敛于
。
Runge给出了一个有名的例子：
对于较大的
，随着
的增大，
振荡越来越大，事实上可以证明，仅当
时，才有
，而在此区间外，
是发散的。
高次插值多项式的这些缺陷，促使人们转而寻求简单的低次多项式插值。
1.3.2分段线性插值
简单地说，将每两个相邻的节点用直线连起来，如此形成的一条折线就是分段线性插值函数，记作
，它满足
，且
在每个小区间
上是线性函数
。
可以表示为
有良好的收敛性，即对于
有，
。
用
计算
点的插值时，只用到
左右的两个节点，计算量与节点个数
无关。
但
越大，分段越多，插值误差越小。
实际上用函数表作插值计算时，分段线性插值就足够了，如数学、物理中用的特殊函数表，数理统计中用的概率分布表等。
1.3.3用Matlab实现分段线性插值
用Matlab实现分段线性插值不需要编制函数程序，Matlab中有现成的一维插值函数interp1。
y=interp1（x0,y0,x,'method'）
method指定插值的方法，默认为线性插值。
其值可为：
'nearest'最近项插值
'linear'线性插值
'spline'立方样条插值
'cubic'立方插值。
所有的插值方法要求x0是单调的。
当x0为等距时可以用快速插值法，使用快速插值法的格式为'*nearest'、'*linear'、'*spline'、'*cubic'。
1.4埃尔米特（Hermite）插值
1.4.1Hermite插值多项式
如果对插值函数，不仅要求它在节点处与函数同值，而且要求它与函数有相同的一阶、二阶甚至更高阶的导数值，这就是Hermite插值问题。
本节主要讨论在节点处插值函数与函数的值及一阶导数值均相等的Hermite插值。
设已知函数
在
个互异节点
上的函数值
和导数值
，要求一个至多
次的多项式
，使得
满足上述条件的多项式
称为Hermite插值多项式。
Hermite插值多项式为
其中
，
。
1.4.2用Matlab实现Hermite插值
Matlab中没有现成的Hermite插值函数，必须编写一个M文件实现插值。
设
个节点的数据以数组
（已知点的横坐标），
（函数值），
（导数值）输入（注意Matlat的数组下标从1开始），
个插值点以数组
输入，输出数组
为
个插值。
编写一个名为hermite.m的M文件：
functiony=hermite（x0,y0,y1,x）;
n=length（x0）;m=length（x）;
fork=1:
m
yy=0.0;
fori=1:
n
h=1.0;
a=0.0;
forj=1:
n
ifj~=i
h=h*（（x（k）-x0（j））/（x0（i）-x0（j）））^2;
a=1/（x0（i）-x0（j））+a;
end
end
yy=yy+h*（（x0（i）-x（k））*（2*a*y0（i）-y1（i））+y0（i））;
end
y（k）=yy;
end
1.5样条插值
许多工程技术中提出的计算问题对插值函数的光滑性有较高要求，如飞机的机翼外形，内燃机的进、排气门的凸轮曲线，都要求曲线具有较高的光滑程度，不仅要连续，而且要有连续的曲率，这就导致了样条插值的产生。
1.5.1样条函数的概念
所谓样条（Spline）本来是工程设计中使用的一种绘图工具，它是富有弹性的细木条或细金属条。
绘图员利用它把一些已知点连接成一条光滑曲线（称为样条曲线），并使连接点处有连续的曲率。
三次样条插值就是由此抽象出来的。
数学上将具有一定光滑性的分段多项式称为样条函数。
具体地说，给定区间
的一个分划
如果函数
满足：
（
）在每个小区间
上
是
次多项式；
（
）
在
上具有
阶连续导数。
则称
为关于分划
的
次样条函数，其图形为
次样条曲线。
显然，折线是一次样条曲线。
1.5.2三次样条插值
利用样条函数进行插值，即取插值函数为样条函数，称为样条插值。
例如分段线性插值是一次样条插值。
我们只介绍三次样条插值，即已知函数
在区间
上的
个节点
上的值
，求插值函数
，使得
（
）
；（5）
（
）在每个小区间
上
是三次多项式，记为
；
（
）
在
上二阶连续可微。
函数
称为
的三次样条插值函数。
由条件（
），不妨将
记为
其中
为待定系数，共
个。
由条件（
）
（6）
容易看出，（5）、（6）式共含有
个方程，为确定
的
个待定参数，尚需再给出2个条件。
常用的三次样条函数的边界条件有3种类型：
（
）
。
由这种边界条件建立的样条插值函数称为
的完备三次样条插值函数。
特别地，
时，样条曲线在端点处呈水平状态。
如果
不知道，我们可以要求
与
在端点处近似相等。
这时以
为节点作一个三次Newton插值多项式
，以
作一个三次Newton插值多项式
，要求
由这种边界条件建立的三次样条称为
的Lagrange三次样条插值函数。
（
）
。
特别地
时，称为自然边界条件。
（
）
，此条件称为周期条件。
1.5.3三次样条插值在Matlab中的实现
在Matlab中数据点称之为断点。
如果三次样条插值没有边界条件，最常用的方法，就是采用非扭结（not-a-knot）条件。
这个条件强迫第1个和第2个三次多项式的三阶导数相等。
对最后一个和倒数第2个三次多项式也做同样地处理。
Matlab中三次样条插值也有现成的函数：
y=interp1（x0,y0,x,'spline'）；
y=spline（x0,y0,x）；
pp=csape（x0,y0,conds）,
pp=csape（x0,y0,conds,valconds），y=ppval（pp,x）。
其中x0,y0是已知数据点，x是插值点，y是插值点的函数值。
对
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