高等代数北大版课件10.2对偶空间PPT格式课件下载.ppt
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第十章双线性函数,10.1线性函数,10.2对偶空间,10.3双线性函数,10.4对称双线性函数,10.2对偶空间,一、对偶空间与对偶基,二、对偶空间的有关结果,10.2对偶空间,10.2对偶空间,一、对偶空间与对偶基,1.对偶空间,设是数域上的维线性空间,表示,上全体线性函数的集合,在中定义加法,和数乘运算:
@#@,则构成数域上的线性空间,称之为V,的对偶空间,记为,定义,10.2对偶空间,1.对偶基,设为数域上线性空间的一组基,,作映射,则,且,即,,有,,对任意,10.2对偶空间,线性无关.,证明:
@#@设,两端作用得,中任意线性函数可由线性表出.,证明:
@#@,对,设,则,线性无关.,10.2对偶空间,10.2对偶空间,综合与即得,定理2取定线性空间V的一组基,若V上的n个线性函数满足,则为的一组基.,称之为的对偶基.,10.2对偶空间,例.上线性空间,任意个不同实数,根据拉格朗日插值公式,有多项式,则,且为的一组基.,10.2对偶空间,这是因为:
@#@,线性无关.,事实上,若有,用依次代入上式则得:
@#@,线性无关.,为基.,10.2对偶空间,则线性函数满足,因此是的对偶基.,设是在点的取值函数:
@#@,10.2对偶空间,二、对偶空间的有关结果,1.设V数域P上的一个n维线性空间,,与是V的两组基,它们的对偶基分别是,即,,再设,10.2对偶空间,其中,,于是有,所以,,即或,10.2对偶空间,因此有下述定理,定理3设与为线性,空间V的两组基,其的对偶基分别为,与,如果,则到的过渡矩阵为,即,,10.2对偶空间,2.线性函数空间的同构,定理4设V为线性空间,是V的对偶空间,的对偶空间,即,定义映射,则为同构映射.即,10.2对偶空间,证:
@#@,同理,所以保持加法和数量乘法.,10.2对偶空间,首先:
@#@是1-1对应的,,若,则对,即,又,由的任意性,,即,故是单射.,10.2对偶空间,空间,所以可看成上线性函数空间,与是,由Th3,与同构,而是上线性函数空间,,互为线性函数空间的.,注:
@#@,10.2对偶空间,例1.设是线性空间的一组基,是它的对偶基,,试证:
@#@是的一组基,并求它的对偶基.,(用表示),10.2对偶空间,非退化.,故是的一组基.,它的对偶基,解:
@#@,而,10.2对偶空间,例2.设是一个线性空间,是中的,非零向量.证明:
@#@,存在使,证:
@#@的核是的真子空间,否则,即,从而,与已知矛盾.,