大学数学练习题Word文件下载.docx
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所有常数解是____________________．
20．方程
的基本解组是____________________．
21．方程
满足解的存在唯一性定理条件的区域是____________________．
22．函数组
在区间I上线性无关的____________________条件是它们的朗斯基行列式在区间I上不恒等于零．
23．若
是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们____________________共同零点．
二单项选择:
1方程
满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（）.
（A）上半平面（B）
平面（C）下半平面（D）除y轴外的全平面
2方程
（）奇解.
（A）有一个（B）有两个（C）无（D）有无数个
3在下列函数中是微分方程
的解的函数是（）.
（A）
（B）
（C）
（D）
4方程
的一个特解
形如（）.
（A）
（C）
5
连续可微是保证方程
解存在且唯一的（ ）条件．
（A）必要 （B）充分（C）充分必要（D）必要非充分
6二阶线性非齐次微分方程的所有解（）.
（A）构成一个2维线性空间（B）构成一个3维线性空间
（C）不能构成一个线性空间（D）构成一个无限维线性空间
7方程
过点（0,0）有（）.
（A）无数个解（B）只有一个解（C）只有两个解（D）只有三个解
8初值问题
x,
在区间,
上的解是（）.
（D）
9方程
是（）.
（A）一阶非线性方程（B）一阶线性方程
（C）超越方程（D）二阶线性方程
10方程
（B）
11方程
的一个基本解组是（）.
（A）
12若y1和y2是方程
的两个解,则
（e1,e2为任意常数）
（A）是该方程的通解（B）是该方程的解
（C）不一定是该方程的通解（D）是该方程的特解
13方程
过点（0,0）的解为
此解存在（）.
14方程
是（）.
（A）可分离变量方程（B）齐次方程（C）全微分方程（D）线性非齐次方程
15微分方程
（A）
（B）
（C）
（D）
16在下列函数中是微分方程
（B）
17方程
的一个数解
18初值问题
在区间
19．方程
的奇解是（）．
20.方程
过点
共有（）个解．
（A）一（B）无数（C）两（D）三
21．
阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个．
-1（C）
+1（D）
+2
22．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（）．
（A）不是其对应齐次微分方程组的解（B）是非齐次微分方程组的解
（C）是其对应齐次微分方程组的解（D）是非齐次微分方程组的通解
23．如果
，
都在
平面上连续，那么方程
的任一解的存在区间（）．
（A）必为
（B）必为
（C）必为
（D）将因解而定
三求下列方程的解:
1求下列方程的通解或通积分:
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
2求方程的解
3解方程:
并求出满足初始条件:
当x=0时,y=2的特解
4求方程:
5求方程:
的通解
6求
的通解.
7求解方程:
8求方程:
的解
9求方程
10求下列方程组的通解
11求初值问题
的解的存在区间并求出第二次近似解
12求方程的通解
（1）
（2）
（3）
（三种方法）（4）
13计算方程
14计算方程
15求下列常系数线性微分方程:
16试求
x的基解矩阵
17试求矩阵
的特征值和对应的特征向量.
18试求矩阵
的特征值和特征向量
19解方程组
20．求下列方程组的通解
．
四名词解释
1微分方程2常微分方程、偏微分方程3变量分离方程
4伯努利方程5
条件6线性相关
五证明题
1在方程
中已知p（x）;
q（x）在
上连续
求证:
该方程的任一非零解在xoy平面上不能与x轴相切.
2设x1（t）、x2（t）分别是非齐次性线方程
证明：
x1（t）+x2（t）是方程
的解。
3设f（x）在[0；
+
]上连续且
f（x）=0求证：
方程
的一切解y（x）；
均有
y（x）=0
4在方程
中p（x）、q（x）在（
）上连续；
求证：
若p（x）恒不为零；
则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式w（x）是（
）上的严格单调函数。
5证明：
6证明：
函数组
（其中当
时
）在任意区间（a,b）上线性无关。
7．在方程
中，已知
在
上连续，且
．求证：
对任意
和
，满足初值条件
的存在区间必为
8．在方程
上连续．求证：
该方程的任一非零解在
平面上不能与x轴相切．
练习题答案
1、2
2、线性无关（或：
它们的朗斯基行列式不等于零）
3、ex;
xex
4、开
5、
6、
7、
c为常数列向量
8、y=x2+c
9、初始
10、常微分方程
11、e
p（x）dx
12、x2+y2=c;
c为任意正常数
13、/
14、
15、
16、4
17、0
18、
；
其中c是确定的n维常数列向量
19．
20．
，（或不含x轴的上半平面）
22．充分
23．没有
二单项选择
1、D2、C3、C4、D5、B6、C7、A8、D9、A10、C
11、D12、B13、D14、D15、B16、C17、D18、D19．D20．B21．A22.C23．D
三求下列方程的解
1
（1）解：
当
时，分离变量取不定积分，得
通积分为1ny=Cex
（2）解：
令y=xu,则
代入原方程，得
分离变量，取不定积分，得
（
）
通积分为：
（3）解：
方程两端同乘以y-5,得
令y-4=z，则
代入上式，得
通解为
原方程通解为
（4）解：
因为
，所以原方程是全微分方程。
取（x0,y0）=（0，0）原方程的通积分为
即
（5）解：
原方程是克莱洛方程，通解为：
y=cx+2c3
2解：
设
则方程化为
，积分后得y=ct即
于是x=c1t5+c2t3+c3t2+c4t+c5其中c1,c2,c3,c4,c5为任意常数
=
=f1（t）+f2（t）
故x1（t）+x2（t）为方程
=f1（t）+f2（t）的解。
3解：
将变量分离，得到
两边积分，即得
因而，通解为
这里c是任意常数。
以x=0,y=1代入通解中以决定任意常数c，得到
c=-1
因而，所求特解为
4解：
以
及
代入，则原方程变为
将上式分离变量,即有
两边积分,得到
这里
是任意函数,整理后,得到
令
得到sinu=cx
5解:
令z=y-1得
代入原方程得到
这是线性方程,求得它的通解为
代回原来的变量y,得到
这就是原方程的通解。
此外，方程还有解y=0。
6解：
这里M=3x2+6xy2.N=6x2y+4y3，这时
因此方程是恰当方程。
现在求u，使它同时满足如下两个方程
由
（1）对x积分，得到
为了确定
，将（3）对y求导数，并使它满足
（2），即得
于是
=4y4
积分后可得
=y4
将
代入（3），得到
u=x3+3x2y2+y4
因此，方程的通解为
x3+3x2y2+y4=c
这里c是任意常数
7解：
特征方程
即特征根
i是重根，因此方程有四个实值解cost、tcost、sint、tsint
故通解为x=（c1+c2t）cost+（c3+c4t）sin其中c1;
c2;
c3;
c4为任意常数
8解：
则方程化为：
积分后得y=ct即
于是x=c1t5+c2t3+c3t2+c4t1+c5
其中c1;
c2…c5为任意常数，这就是原方程的通解。
9解对应齐次方程的特征方程为
特征根为
齐次方程的通解为y=C1+C2e5x
因为a=0是特征根。
所以，设非齐次方程的特解为
y1（x）=x（Ax2+Bx+C）
代入原方程，比较系数确定出
A=
，B=
，C=
原方程的通解为
10解：
先解出齐次方程的通解
=C1
+C2
令非齐次方程特解为
=C1（t）
+C2（t）
满足
=
解得
积分，得
通解为
11解：
M=max
=4
故解的存在区间为
2）q0（x）=0q1（x）=0
q2（x）=0+
=
12求方程的通解:
1）
解:
变形
（1）,将y看作自变量,x为未知函数
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