双曲线及其性质Word文档格式.docx

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☆释疑解惑☆

1、对双曲线定义的认识

1的焦距为

（1）双曲线

102

（2）动点P到两动点A0,2,B0,2的距离之差的绝对值是4，则点P的轨迹是双曲

线

（3）双曲线的两焦点F1

3,0,F23,0，点P6,在双曲线上，则双曲线的标准

x2y2

1方程是

45

1的焦点为实轴的顶点，长轴的端点为焦点的双曲线的标准方程是（4）以椭圆

164

1124

2、对双曲线性质的认识

（1）双曲线221a0,b0，当ab时，称该双曲线为等轴双曲线，等轴双

（2）双曲线mx2y21的虚轴长是实轴长的3倍，则m

19

1的渐近线方程是y2x（3）双曲线

4k16k

☆典例精析☆

例1：

已知双曲线的方程为221a0,b0，点A,B在双曲线的右支上，线段AB

经过双曲线的右焦点F2，ABm，F则△ABF1的周长为（）1为另一焦点，A.2a2mB.amC.4a2mD.2a4m

变1：

双曲线221a0,b0上一点P4,3到双曲线的左、右焦点的距离之差

等于4，则b的值为.

变2：

已知点M3,0,N3,0,B1,0，圆C与直线MN切于点B，过M,N与圆C相

切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为.

1上一点，变3：

设P是双曲线2双曲线的一条渐近线方程为4x3y0，F1,F2

a16

分别是双曲线的左、右焦点，若PF13，则PF2的值为.

x2

例2：

与椭圆y21共焦点且过点P2,1的双曲线方程是（）

4

x2x2x2y2y2222

y1B．y1C．11D．xA．42233

1的焦点在y轴上，则m的取值范围是（）变1：

若双曲线2

m4m1

A．2,2B．2,1C．1,2D．1,2

已知双曲线221a0,b0的两条渐近线均和圆C:

x2y26x50

相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（）

x2y2x2y2x2y2x2y2

1B．1C．1D．1A．

45543663

例3：

如图，F1，F2是双曲线C：

221（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与

C的左、右两支分别交于A，B两点．若|AB|:

|BF2|:

|AF2|＝2:

3:

4，则双曲线的

离心率为（）

A．4

BC．2

D

已知双曲线221（a0,b0）的左、右焦点分别为F1、F2，P为双曲线右

222

支上一点，直线PF与圆相切，且PF2F1F2，则该双曲线的离心xya1

率e是（）

5

A．

3

C．

B．

D．

17

15

16

已知O为原点，双曲线2y21上有一点P，过P作两条渐近线的平行线，交点

a

分别为A,B，平行四边形OBPA的面积为1，则双曲线的离心率为（）

A

B

C

．

．23

变3：

设双曲线F:

221（a0,b0）,F1,F2为双曲线F的焦点．若双曲线F存在

点M，满足

1

，则双曲线F的离心率为（）MF1MOMF2（O为原点）

1

变4：

如图，F1，F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，C1,C2的离心率分别是e1,e2，点

A是C1,C2的一个公共点，若F1AF260，则

13（）22e1e2

11

A．B．

42

C．2D．4

变5：

设双曲线221（a0,b0）的左、右焦点分别为F1,F2，离心率为e，过F2

的直线与双曲线的右支交于A,B两点，若F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e（）

A．122B．422C．522D．322

变6：

双曲线221（a0,b0）的两个焦点为F1,F2，P为其上一点，且

PF12PF2，则双曲线离心率的取值范围为（）

A．1,3

B．1,3

C．3,D．3,

变7：

已知双曲线221（a0,b0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直

线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）

A．（1,2]B．（1,2）C．[2,）D．（2,）

变8：

已知F1,F2分别是双曲线221（a0,b0）的左、右焦点，过F1且垂直于x

轴的直线与双曲线交于A,B两点，若ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是.

例4：

已知双曲线221a0,b0的左右焦点分别为F1,F2，若在双曲线上存在

O为原点）

点P，满足

F，则双曲线的渐近线方程为（）1PF260，OP（

A．x0

y0C．x

0Dy0

1有公共的渐近线，且经过点A（的双曲线方程是变1：

与双曲线

916

如图，F1,F2是221（a0,b0）的左右焦点，过F1的直线与的左、右

两支分别交于B,A两点，若ABF2为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为

例5：

若直线ykx1与曲线x则k

的取值范围是（

）

A．

kC

．1k

．k1

．kk2

y2

1只有一个公共点，则满足条件的l有（）变1：

直线l过点5,0，与双曲线x4

A．1条

B．2条C．4条

D．无数条

已知双曲线x2y24，直线l：

ykx1，讨论直线与双曲线公共点个数．

直线ykx1与双曲线x2y21左支交于A,B，另一条直线l过点2,0和AB

的中点，则直线l在y轴上截距的取值范围是

已知双曲线的中心在原点，F3,0是双曲线的焦点，过F的直线l与双曲线交于

A,B，AB的中点为N12,15，则双曲线的方程为．

已知中心在原点的双曲线C的右焦点为2,0，实轴长为

（1）求双曲线C的方程；

（2）若直线l:

ykxC左支交于A,B两点，求k的取值范围；

（3）在

（2）的条件下，线段AB的垂直平分线与y轴交于M0,m，求m的取值范

围．

已知中心在原点的双曲线C的右焦点为2,0，右顶点为

.

ykxA和B且OAOB2（其中

O为原点），求k的取值范围.

例7：

已知双曲线221a0,b0和圆：

x2y2b2，过双曲线上的一点

Px0,y0引圆的两条切线，切点分别为A,B.

（1）若双曲线上存在点P，使得APB90，求离心率的取值范围；

（2）求直线AB的方程；

（3）求AOB（O为原点）面积的最大值.

若点O和点F2,0分别为双曲线2y21a0的中心和左焦点，点P为双

曲线右支上的任意一点，则OPFP的取值范围为.

例8：

已知双曲线x2y21的左、右顶点分别为A1、A2，动直线l:

ykxm与圆

x2y21相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1x1,y1,P2x2,y2.

（1）求k的取值范围，并求x2x1的最小值；

（2）记直线PA11的斜率为k1，直线P2A2的斜率为k2，那么，k1k2是定值吗？

证明你的

结论.

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A10，2，点C满足，B0，

OCmOAnOBm,nR,m2n1．

（1）求点C的轨迹方程；

（2）设点C的轨迹与双曲线M,N两点，且以MN

为直径的圆过原点，求证：

2为定值；

（3）在（2

☆优化热身☆

1、过双曲线x2y28的左焦点F1有一条弦PQ交左支于P,Q,若PQ7，F2是双曲线右焦点，则三角形PF2Q的周长是（）

A．28B

．14C

．14D

．x2y2

1的一条渐近线为y，则实数a的值为（）2、已知双曲线

2a

A.16B.8C.4D.2

1上的一点，3、设P为双曲线x若PFF1,F2是该双曲线的两个焦点，1:

PF23:

2，12

则PF1F2的面积为（）

．C．12

．D．24

4、已知中心在原点，焦点在y

则它的渐近线方程为（）

A.y2xB

.yC.y

x1

xD

.y2

、已知双曲线中心在原点且一个焦点为F1，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为0,2，则双曲线的方程是（）

x2y2x2y2x2y222

y1B．x1C．1D．1A．442332

6

F1,F2，过F1的直线分别交双曲

线的两条渐近线于点P,Q.若点P是线段FQ的中点，且QF1QF2，则此双曲线的离1心率等于（）

B．2C

7、如图，F1和F2分别是双曲线221（a0,b0）的两个焦点，A和B是以O为圆

心，以OF1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．3

52

D．13

8、如图所示