信号和线性系统分析吴大正第四版第四章习题答案解析Word文档下载推荐.docx
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rzfl,JTni
JJO
则f2（t）的傅里叶级数中含有的频率分量为正弦波*
（3）由f3（t）的波形可⅛l∕3<
f）=f3（~r）则有
Γ⅛=0
n
/（z）cos（fiΩt>
d;
（4）
%4
召=亍
即ΛG）的傅里叶级数中含有的频率分量为偶次余弦波*由/<
（0的波形可知，人⑺为奇谐函数■即
fdι）=一fZ土£
）
b2=hA=b6=・*・=0
则有U
即人"
）的傅里叶级数中只含有奇次谐波•包括正弦波和余弦披"
4-11
某1Ω电阻两端的电压u（t）如图4-佃所示，
（1）
求u（t）的三角形式傅里叶系数。
（3）
利用（3）的结果求下列无穷级数之和
图4-18
解
（1）由旳⑺的波形可矩
Λ<
r）=√√-n=-∕l（f⊂f）
亠IUJr=f（t）cos（riΩt）df
则有丿丁人,jj=0.1,2,-
[仇=0
"
[J=盘？
=应丄=*"
=QE=仇=仏=*八=0
则∕√r）的傅里叶级数中含有的频率分量为奇次余弦波亠
（2）由f2（t）的波形可知
利用
（1）的结果和U（I）J，求下列无穷级数之和
2
111S=I-11_丄……
357
求1Ω电阻上的平均功率和电压有效值。
—
Bu（r）sin（）df=
'
1
W（OSirι（wπ∕）dt=
!
-iT*
T«
1—cost
n=12…
&
«
=
SinC?
J7；
r）dz
g
IJ=1r2*…
图4-19
s=1!
!
12•
325272
解
（1）FhUCt）的波形图可知丁=2,0=
则三角形式的傅里叶级数为
守+丫仇0口5疋）=
—If=II
1K
T÷
Σ
⅛_I
1—cos（?
z）∙f小、
sι∏（JIlItJ
¢
2）u（t）波形图可知
7T
1一f-I）FT>
in（yπ）
LJ
2--⅛÷
则可得无穷级数
1Ω电阻上的平均功率为
P=丄
T
则电压有效值为
ftlIdt）的波形图可知
u2（i）dz=丄
U2Ct）dz=-t
=√T=丄V√2
dr
Cl
U（I）At=—
—IZ叩
1C
∑j.
将MF）的傅里叶级数代入上式得
-1P1—COS（MTr）-#林八「斗I
⅛^⅛一忑一Sm（Tr）]CIZ=I
u（t）dt
PL
-1
nπ
工1-（-1）"
Ff=1
K
λiπ
4.17
I卫Tr「
1^∞s
=1-⅜-⅛-⅜-
根据傅里叶变换对称性求下列函数的傅里叶变换
f（t）=
（2）
f（t）二
2-X
—2，」：
；
:
：
t厂：
很亠t
一sin（2叫I2X
-：
：
t：
IL2二t
Sin[口-2）】_:
，t，：
二（t-2）'
解
（1）由于宽度为“偏度为1的门函数趴⑺的频谱函数为&
（专）・即
≡<
T）
取Γ=狙幅度为寺，根据傅里叶变换线性性质有
耶-∣-gri（F）—-g-×
2Sa（ω）—SaCaJ）
即+幻C）~~Sa<
∞）
注意到是偶阴数■根据对称性可得
SaC/）"
__*2ττX-y⅛≤（ω）=Jr呂辛（⅛?
）根据时移性和尺度变换性可知菟沁2E—2）]]=屛亠）宀
由/（r）=山_严打2）_=2Sa[2π（t-2）^可知
π⅛∙t一L）
九tΛ"
[=⅛4jω）e-jf"
=
e~l2vIu*I≤2?
rrad∕S
0,ItUl>
2Jrrad/s
（2）由于e-ttlfl-一-,社：
GiJ—&
/可知3q一>
2πe^fl-W=2πe^alW
α-+Γ
即∕∞=≠⅛^∞<
f<
∞的傅里叶变换为决
又有
4.18求下列信号的傅里叶变换
（1）f（t）dl（t-2）
（2）f（t）=e'
（t」\'
（t-1）
（3）f（t）=sgn（t2-9）
（5）f（t）=
CI）已知
由时移性质可得
⅛Cz-2）—e^j2
再由频移性质可得八“的傅里叶变换
5"
—2）Ae^i
即
F⅛>
⑵/Cr）=严i%—1）=Sf<
t-D-（-3}⅛G-1）
=y（t-1）+3⅞<
r-1）
又M—•网，由时移特性可知/Cr）的傅里叶变换为
F（jω）=（讪+3）e^i*
3）/（r）=Sgn（^—9>
=1一2g⅛Cr）
又
迁—耳点（F）El购「df—Ie^'
ltt,1dt='
hin"
G
J—™J—3<
i）
=2πδ（ω）
孔fg=2%〉_血型
OJ
⑸由
εCf—*TtS（at）+JCU
利用时移特性可得
再rtι尺度变换特性可得
芝（£
—1）→~~>
2]ττ⅛（2G—τ^-e^j2ω2=π⅝（⅛）十Λe^j'
α,ZjZω-Jω
即∕ω的傅里叶变换为
F（jω）=JΓ⅛（ω）÷
τ^-e^j2w
JQJ
4.19试用时域微积分性质，求图4-23示信号的频谱。
图4-23
ι∕≡⅛）
2442
解
（1）由的波形可得其闭合表达式为
∕ι（r）=—[ε（t+r）-ε（i-r）]
fι（f）=—Cr+L）—ε（1—r）∏—[$（『一r）—讯f—r）_—τr
C（/）■*—*■TΓ<
3b（OJ）+-、—
M—1
可得
A^jWr
ε（fiτ）j*—*Fπ<
5Cω）十——
Ja
⅛（z±
r）—戶呎
=-•沁辺一2CM（Ozr）
rω
当3=0时上式值为X则有
C2）由九（D的波形可得其闭合表达式为
/2（f）=Ar（J+f）eG+f）_（,+f^+f）
ε（r-y）-€<
z+^）-ε（i-y>
÷
^（r-y）
（t）j**fTT（JlCw）—■；
一p±
JW⅛
E（F土齐-）Y—”π⅞（ω）一
/jω
二丄'
.
E（f土~）—Mπ⅝（ω）一二
4Jω
当ω=0时•上式为Ch则有
4.20若已知F[f（t）]=Fj）,试求下列函数的频谱:
（1）tf（2t）
（3）tdJ）（5）（i-t）f（i-t）
（8）ejtf（3-2t）
（9）CTIt
解
（1）根据频域微分特性可知
则有tf（t）一j羊F（jG
dω
根据尺度变换特性可得
纤⑵〉一j*舟F（j号）
则可得乳圧⑵j£
£
F（j号）
（3）市时域微分持性可得
巴F…Cjω）F（jω）
又由频域微分特性可得
（―Q警…缶∞F（Q]
则有=j
（jω）_=—-F（joj）+oj-^-F（jα>
ClCUJ-Juω
（5）由频域微分特性可得
r∕（z）—j⅛（jω）αω
由反转特性可得一tf（—t）"
i*—j（―]ω）
文由时移性质可得
（-Z÷
1）∕（-Z+1）—j严f_F（—讪）
即5f2（l—z）∕（l—t）_=—je--z-^-F（―jω）
8）由尺度变换特性可得
∕C-2f）W—*£
尸（一j-y）
Fh时移特性可得『（3—2t）—*+才节F（—j号〉
又由频移特性可得
ejγ（3-2∕）*r⅛kF（j
W1
KPMej7（3一2D]=咛1F（j
413F（jω）
—-—JSg∏Cω）
TrZL
（9）甫时域微分特性可得
则由时域卷积定理可得
—■*~~*jωFCjω）*（—j）sg∏（ω）兀f
4.21求下列函数的傅里叶变换
FQJ=2cos（3，）
（5）
F（j•）八∙2sine-j（2nI）"
n=B豹
Fz）r
解（I）傅里叶逆变换为
fit}=F（jα∣）Glf^,1dω=T-dtυ
=^ttJ-H^TrJβ⅛0
=-J-（W吋—EFe√}=坯皿Qf
2πjr寸
⑶F（j和）的傅里叶逆变换为
t）=ZLl2cos（3ω）^zdω=f丨（e3a,+e"
j5w）efdf
/TT」一ocZ7f..—X
=二「[ejw（W）+亡"
叮击ZTrJ-=C
⅛δ（f）-~~>
1,得5（f）=亠ejw'
dωτ则有
∆7Γi.—κ
/Cr）=Mr+3）+δ（t一3）
也1•则由时移特性可知
Ul
鏡"
一
1、*2si∏c<
j_；
1）VA∈JW
Cu
耳?
“一
\2Si∏α∕一；
3如
3）——e
ω
L\2sin∣Qj—,j⅛∣
O）<
——►e
则F（^）的傅里叶逆变换为f（t）=k[F（ja）[=gi（t-1）
+g√/—3）+g2（/—5）
ftι于g√r）
4.23试用下列方式求图4-25示信号的频谱函数
（1）利用延时和线性性质（门函数的频谱可利用已知结果）＜
（2）利用时域的积分定理。
（3）将f（t）看作门函数g2（t）与冲激函数Ht2）、弋-2）的卷积之和。
图4-25
解⑴已知禺⑴一rSaC^）.将r=2代入，得
如⑺—2Sa（ω）
由博里叶变换的时移性质可得
幻（F二F）——*2Sa（ω
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