无为中学自主招生数学试题文档格式.docx

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﹣2a

﹣2x

3．a，b，c为有理数，且等式

成立，则2a+999b+1001c的值是（　　）

1999

2000

2001

不能确定

4．（2013•莒南县一模）如图，两个反比例函数y=

和y=

（其中k1＞k2＞0）在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积为（　　）

k1+k2

k1﹣k2

k1•k2

5．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，﹣1），C（﹣2，﹣1），D（﹣1，1）．y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°

得点P1，点P1绕点B旋转180°

得点P2，点P2绕点C旋转180°

得点P3，点P3绕点D旋转180°

得点P4，…，重复操作依次得到点P1，P2，…，则点P2010的坐标是（　　）

（2010，2）

（2010，﹣2）

（2012，﹣2）

（0，2）

　6．如图，在半径为1的⊙O中，∠AOB=45°

，则sinC的值为（　　）

二．填空题（共7小题）

7．三个数a、b、c的积为负数，和为正数，且

，则ax3+bx2+cx+1的值是　_________　．

　8．如图正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，△DEF的面积是1，那么正方形ABCD的面积是　_________　．

9．（2013•沐川县二模）如图，点A1，A2，A3，A4，…，An在射线OA上，点B1，B2，B3，…，Bn﹣1在射线OB上，且A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥An﹣1Bn﹣1，A2B1∥A3B2∥A4B3∥…∥AnBn﹣1，△A1A2B1，△A2A3B2，…，△An﹣1AnBn﹣1为阴影三角形，若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1、4，则△A1A2B1的面积为　_________　；

面积小于2011的阴影三角形共有　_________　个．

10．你见过像

，

，…这样的根式吗？

这一类根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以化简，如

．请用上述方法化简：

=　_________　．

11．不等式组

有六个整数解，则a的取值范围为　_________　．

12．小明是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学，一天他在解方程x2=﹣1时，突发奇想：

x2=﹣1在实数范围内无解，如果存在一个数i，使i2=﹣1，那么若x2=﹣1，则x=±

i，从而x=±

i是方程x2=﹣1的两个根．据此可知：

①i可以运算，例如：

i3=i2•i=﹣1×

i=﹣i，则i2011=　_________　，②方程x2﹣2x+2=0的两根为

　_________　（根用i表示）

13．（2013•日照）如右图，直线AB交双曲线

于A、B，交x轴于点C，B为线段AC的中点，过点B作BM⊥x轴于M，连结OA．若OM=2MC，S△OAC=12．则k的值为　_________　．

三．解答题（共7小题）

14．在“学科能力”展示活动中，某区教委决定在甲、乙两校举行“学科能力”比赛，为此甲、乙两学校都选派相同人数的选手参加，比赛结束后，发现每名参赛选手的成绩都是70分、80分、90分、l00分这四种成绩中的一种，并且甲、乙两校的选手获得100分的人数也相等．现根据甲、乙两校选手的成绩绘制如下两幅不完整统计图：

（1）甲校选手所得分数的中位数是　_________　，乙校选手所得分数的众数是　_________　；

（2）请补全条形统计图；

（3）比赛后，教委决定集中甲、乙两校获得100分的选手进行培训，培训后，从中随机选取两位选手参加市里的决赛，请用列表法或树状图的方法，求所选两位选手来自同一学校的概率．

　15．（2012•兰州）若x1、x2是关于一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：

x1+x2=﹣

，x1•x2=

．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0）．利用根与系数关系定理可以得到A、B两个交点间的距离为：

AB=|x1﹣x2|=

=

；

参考以上定理和结论，解答下列问题：

设二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形．

（1）当△ABC为直角三角形时，求b2﹣4ac的值；

（2）当△ABC为等边三角形时，求b2﹣4ac的值．

16．（2013•威海）如图，在平面直角坐标系中，直线y=

x+

与直线y=x交于点A，点B在直线y=

上，∠BOA=90°

．抛物线y=ax2+bx+c过点A，O，B，顶点为点E．

（1）求点A，B的坐标；

（2）求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；

（3）设直线y=x与抛物线的对称轴交于点C，直线BC交抛物线于点D，过点E作FE∥x轴，交直线AB于点F，连接OD，CF，CF交x轴于点M．试判断OD与CF是否平行，并说明理由．

17．（2012•内江）如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=﹣p，x1．x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：

（1）已知关于x的方程x2+mx+n=0，（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；

（2）已知a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，求

的值；

（3）已知a、b、c满足a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值．

参考答案与试题解析

1．（2011•随州）已知函数

考点：

二次函数的图象．

专题：

压轴题；

数形结合．

分析：

首先在坐标系中画出已知函数

的图象，利用数形结合的方法即可找到使y=k成立的x值恰好有三个的k值．

解答：

解：

函数

的图象如图：

根据图象知道当y=3时，对应成立的x有恰好有三个，

∴k=3．

故选D．

点评：

此题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题．

二次根式的性质与化简；

绝对值；

完全平方公式；

含绝对值符号的一元一次方程．

计算题．

由绝对值的定义可知，一个数的绝对值要么等于它本身，要么等于它的相反数，根据已知条件|x﹣a|=a﹣|x|，得出|x|=x且x≤a．再根据完全平方公式及二次根式的性质

=|a|进行化简，最后去括号、合并同类项即可得出结果．

∵|x﹣a|=a﹣|x|，

∴|x|=x且x≤a．

∴a﹣x＞0，a+x＞0．

∴

﹣

=|a﹣x|﹣|a+x|

=a﹣x﹣（a+x）

=a﹣x﹣a﹣x

=﹣2x．

本题考查了绝对值的定义，完全平方公式，二次根式的性质，二次根式的化简及整式的加减运算，难度中等，其中根据绝对值的定义，结合已知条件得出|x|=x且x≤a是解题的关键．

二次根式的性质与化简．

将已知等式右边化简，两边比较系数可知a、b、c的值，再计算式子的值．

∵

∴a+b

+c

∴a=0，b=1，c=1，

2a+999b+1001c=2000．

故选B．

本题考查了二次根式的性质与化简，将复合二次根式化简并比较系数是解题的关键．

反比例函数系数k的几何意义．

四边形PAOB的面积为矩形OCPD的面积减去三角形ODB与三角形OAC的面积，根据反比例函数

中k的几何意义，其面积为k1﹣k2．

根据题意可得四边形PAOB的面积=S矩形OCPD﹣SOBD﹣SOAC，

由反比例函数

中k的几何意义，可知其面积为k1﹣k2．

主要考查了反比例函数

中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点．

5．（2012•南开区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，﹣1），C（﹣2，﹣1），D（﹣1，1）．y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°

坐标与图形变化-旋转；

等腰梯形的性质．

规律型．

由P、A两点坐标可知，点P绕点A旋转180°

得点P1，即为直线PA与x轴的交点，依此类推，点P2为直线P1B与y轴的交点，由此发现一般规律．

由已知可以得到，点P1，P2的坐标分别为（2，0），（2，﹣2）．

记P2（a2，b2），其中a2=2，b2=﹣2．

根据对称关系，依次可以求得：

P3（﹣4﹣a2，﹣2﹣b2），P4（2+a2，4+b2），P5（﹣a2，﹣2﹣b2），P6（4+a2，b2）．

令P6（a6，b2），

同样可以求得，点P10的坐标为（4+a6，b2），即P10（4×

2+a2，b2），

由于2010=4×

502+2，所以点P2010的坐标为（2010，﹣2）．

本题考查了旋转变换的规律．关键是根据等腰梯形，点的坐标的特殊性，寻找一般规律．

6．（2013•荆门）如图，在半径为1的⊙O中，∠AOB=45°