高三最新 北京市西城区抽样测试数学理Word格式.docx

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”的充要条件是“

”

C．若“p或q”是真命题，则p，q中至少有一个真命题

D．不等式

的解集为

7．已知A（7，1），B（1，4），直线

与线段AB交于点C，且

，则a等于（）

A．2B．

8．下列关于函数

的判断正确的是（）

①

.

②

是极小值，

是极大值.

③

没有最小值，也没有最大值.

④

有最大值，没有最小值.

A．①③B．①②③C．②④D．①②④

二、填空题：

本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上。

9．等差数列

等于.

10．若球的表面积为

，则与球心距离为

的平面截球所得的圆面面积为.

11．在3名女生和2名男生中安排2人参加一项交流活动，其中至少有一名男生参加的概率为.

12．

的展开式中第二项与第三项的系数之和等于27，则n等于，系数最大的项是第项.

13．已知双曲线

以C的右焦点为圆心且与其渐近线相切的圆方程为，

若动点A，B分别在双曲线C的两条渐近线上，且|AB|=2，则线段AB中点的轨迹方程为.

14．对于一切实数x，令[x]为不大于x的最大整数，则函数

称为高斯函数或取整函数.

计算

；

若

N*，

为数列{

}的前n项和，则S3n=.

三、解答题：

本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15．（本小题满分13分）

已知

（I）求

的值；

（II）求

的值.

16．（本小题满分13分）

袋中装有大小相同的3个红球和2个白球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，

取到一个白球得1分。

现从袋中每次取出一个球，记住得分后放回再次取出一个球.

（I）求连续取3次球，恰得3分的概率；

（II）求连续取2次球的得分

的分布列及期望.

17．（本小题满分14分）

如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°

，AC=BC=CC1=2.

（I）证明：

AB1⊥BC1；

（II）求点B到平面AB1C1的距离.

（III）求二面角C1—AB1—A1的大小

18．（本小题满分13分）

椭圆

的焦点在x轴上，其右顶点关于直线

的对称点在

椭圆的左准线上.

（I）求椭圆的方程；

（II）过椭圆左焦点F的直线l交椭圆于A、B两点，交椭圆左准线于点C.设O为坐标原点，且

求△OAB的面积.

19．（本小题满分14分）

已知数列

（I）求证：

{

}为等比数列；

（II）记

N*），Tn为数列{

}的前n项和.

（i）当a=2时，求

；

（ii）当

时，是否存在正整数m，使得对于任意正整数n都有

？

如果存在，求出m的值；

如果不存在，请说明理由.

20．（本小题满分13分）

设M是由满足下列条件的函数

构成的集合：

“①方程

有实数根；

②

函数

的导数

满足

.”

（I）判断函数

是否是集合M中的元素，并说明理由；

（II）集合M中的元素

具有下面的性质：

若

的定义域为D，则对于任意

[m，n]

D，都存在

[m，n]，使得等式

成立”，

试用这一性质证明：

方程

只有一个实数根；

（III）设

是方程

的实数根，求证：

对于

定义域中任意的

西城区数学（理）参考答案及评分标准

一、选择题

1.C2.B3.B4.D5.A6.C7.A8.D

二、填空题（一题两空的题目，第一个空2分，第二个空3分）

9．－310．π11．0.712．9；

5

13．

14．1；

三、解答题（限于篇幅，每题只给出一种答案，其他答案仿此给分）

15．解：

（1）因为

，所以

，…………………2分

所以，

…………………5分

（2）

………………9分

………………11分

………………13分

16．解法一：

（1）设“3次均取得白球得3分”的事伯为A，………………2分

则，

………………4分

（2）从袋中连续取2个球的情况为：

2次均为白球；

1次白球，1次红球；

2次均为红

球三种情况，所以，ξ的可能取值为2、3、4.

而每次取得红球的概率为

，每次取得白球的概率为

，每次取球的情况是彼此独立

的.

………………10分

ξ

2

3

4

P

………………11分

17．解法一：

（1）在直三棱柱ABC—A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，所以CC1⊥AC，

因为BC=CC1，所以BCC1B1为正方形.

又

，所以AC⊥BC，

所以AC⊥平面BCC1B1，………………2分

连结B1C，则B1C为AB1在平面BCC1B1上的射影，

因为B1C⊥BC1，所以AB1⊥BC1.………………4分

（2）因为BC//B1C1，BC

面AB1C1，所以BC//面AB1C1，

所以点B到平面AB1C1的距离等于点C到平面AB1C1

的距离.………………………………6分

连结A1C交AC1于H，则CH⊥AC1，由于B1C1⊥A1C1，

B1C1⊥CC1，所以B1C1⊥平面ACC1A1，B1C1⊥CH，

所以CH⊥平面AB1C1，

所以CH的长度为点B到平面AB1C1的距离，

…………………………8分

（3）取A1B1中点D，连C1D.因为△A1B1C1是等腰三角形，所以C1D⊥A1B1，

又BB1⊥平面A1B1C1，所以BB1⊥C1D，所以C1D⊥平面ABB1A1，…………10分

作DE⊥AB1于E，连C1E，则DE为C1E在平面ABB1A1上的射影，

所以，C1E⊥AB1，∠C1ED为二面角C1—AB1—A1的平面角.………………12分

由已知

，

所以

即二面角C1—AB1—A1的大小为60°

…………………………14分

解法二：

（1）如图建立直角坐标系，其中C为坐标原点.

依题意A（2，0，0），B（0，2，0），B1（0，2，2），C1（0，0，2），………2分

因为

所以AB1⊥BC1.……………………4分

（2）设

是平面AB1C1的法向量，

由

得

令

，则

，………………6分

因为

，所以，B到平面AB1C1的距离为

.………8分

（3）设

是平面A1AB1的法向量.

由

令

=1，则

………………10分

，……………………13分

所以，二面角C1—AB1—A1的大小为60°

.…………………………14分

18．解：

（1）椭圆的右顶点为（2，0），

设（2，0）关于直线

的对称点为（

则

………………3分解得

，所求椭圆方程为

（2）设A

所以

…………①，

…………②…………5分

即

……③……………………6分

由①③得

代入②得，

，整理得

…………9分

……………………11分

由于对称性，只需求

时，△OAB的面积.

此时，

……13分

19．证明：

（1）当

时，

，……1分

整理得

是公比为a的等比数列，又

……3分

（2）因为

（i）当

………………4分

…………5分

两式相减，整理得

……………………7分

所以，

……………………9分

（ii）因为

所以，当n为偶数时，

当n为奇数时，

所以，如果存在满足条件的正整数m，则m一定是偶数.

当

又

所以，当

即存在正整数m=8，使得对于任意正整数n都有

……………………14分

20．解：

，…………2分

满足条件

………………3分

又因为当

，所以方程

有实数根0.

所以函数

是集合M中的元素.…………4分

（2）假设方程

存在两个实数根

），

，………5分不妨设

，根据题意存在数

使得等式

成立，……………………7分

与已知

矛盾，所以方程

（3）不妨设

，因为

为增函数，所以

又因为

，所以函数

为减函数，………………10分

，…………11分

，即

…………12分

…………………………13分