高中数学集合的知识点总结精华归纳Word文档下载推荐.docx
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N,Z,Q,R,N_
2、子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。
1)子集:
若对x∈A都有x∈B,则AB(或AB);
2)真子集:
AB且存在x0∈B但x0A;
记为AB(或,且)
3)交集:
A∩B={x|x∈A且x∈B}
4)并集:
A∪B={x|x∈A或x∈B}
5)补集:
CUA={x|xA但x∈U}
①?
A,若A≠?
,则?
A;
②若,,则;
③若且,则A=B(等集)
3、弄清集合与元素、集合与集合的关系,掌握有关的.术语和符号,特别要注意以下的符号:
(1)与、?
的区别;
(2)与的区别;
(3)与的区别。
4、有关子集的几个等价关系
①A∩B=AAB;
②A∪B=BAB;
③ABCuACuB;
④A∩CuB=空集CuAB;
⑤CuA∪B=IAB。
5、交、并集运算的性质
①A∩A=A,A∩?
=?
,A∩B=B∩A;
②A∪A=A,A∪?
=A,A∪B=B∪A;
③Cu(A∪B)=CuA∩CuB,Cu(A∩B)=CuA∪CuB;
6、有限子集的个数:
设集合A的元素个数是n,则A有2n个子集,2n-1个非空子集,2n-2个非空真子集。
二、例题讲解:
【例1】已知集合M={x|x=m+,m∈Z},N={x|x=,n∈Z},P={x|x=,p∈Z},则M,N,P满足关系
A)M=NPB)MN=PC)MNPD)NPM
分析一:
从判断元素的共性与区别入手。
解答一:
对于集合M:
{x|x=,m∈Z};
对于集合N:
{x|x=,n∈Z}
对于集合P:
{x|x=,p∈Z},由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数,而6m+1表示被6除余1的数,所以MN=P,故选B。
分析二:
简单列举集合中的元素。
解答二:
M={…,,…},N={…,,,,…},P={…,,,…},这时不要急于判断三个集合间的关系,应分析各集合中不同的元素。
=∈N,∈N,∴MN,又=M,∴MN,
=P,∴NP又∈N,∴PN,故P=N,所以选B。
点评:
由于思路二只是停留在最初的归纳假设,没有从理论上解决问题,因此提倡思路一,但思路二易人手。
变式:
设集合,,则(B)
A.M=NB.MNC.NMD.
解:
当时,2k+1是奇数,k+2是整数,选B
【例2】定义集合A_B={x|x∈A且xB},若A={1,3,5,7},B={2,3,5},则A_B的子集个数为
A)1B)2C)3D)4
分析:
确定集合A_B子集的个数,首先要确定元素的个数,然后再利用公式:
集合A={a1,a2,…,an}有子集2n个来求解。
解答:
∵A_B={x|x∈A且xB},∴A_B={1,7},有两个元素,故A_B的子集共有22个。
选D。
变式1:
已知非空集合M{1,2,3,4,5},且若a∈M,则6?
a∈M,那么集合M的个数为
A)5个B)6个C)7个D)8个
变式2:
已知{a,b}A{a,b,c,d,e},求集合A.
由已知,集合中必须含有元素a,b.
集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.
评析本题集合A的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数,所以共有个.
【例3】已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x2?
4x+r=0},且A∩B={1},A∪B={?
2,1,3},求实数p,q,r的值。
∵A∩B={1}∴1∈B∴12?
4×
1+r=0,r=3.
∴B={x|x2?
4x+r=0}={1,3},∵A∪B={?
2,1,3},?
2B,∴?
2∈A
∵A∩B={1}∴1∈A∴方程x2+px+q=0的两根为-2和1,
∴∴
已知集合A={x|x2+bx+c=0},B={x|x2+mx+6=0},且A∩B={2},A∪B=B,求实数b,c,m的值.
∵A∩B={2}∴1∈B∴22+m?
2+6=0,m=-5
∴B={x|x2-5x+6=0}={2,3}∵A∪B=B∴
又∵A∩B={2}∴A={2}∴b=-(2+2)=4,c=2×
2=4
∴b=-4,c=4,m=-5
【例4】已知集合A={x|(x-1)(x+1)(x+2)0},集合B满足:
A∪B={x|x-2},且A∩B={x|1
先化简集合A,然后由A∪B和A∩B分别确定数轴上哪些元素属于B,哪些元素不属于B。
A={x|-21}。
由A∩B={x|1-2}可知[-1,1]B,而(-∞,-2)∩B=ф。
综合以上各式有B={x|-1≤x≤5}
若A={x|x3+2x2-8x0},B={x|x2+ax+b≤0},已知A∪B={x|x-4},A∩B=Φ,求a,b。
(答案:
a=-2,b=0)
在解有关不等式解集一类集合问题,应注意用数形结合的方法,作出数轴来解之。
设M={x|x2-2x-3=0},N={x|ax-1=0},若M∩N=N,求所有满足条件的a的集合。
M={-1,3},∵M∩N=N,∴NM
①当时,ax-1=0无解,∴a=0②
综①②得:
所求集合为{-1,0,}
【例5】已知集合,函数y=log2(ax2-2x+2)的定义域为Q,若P∩Q≠Φ,求实数a的取值范围。
先将原问题转化为不等式ax2-2x+20在有解,再利用参数分离求解。
(1)若,在内有有解
令当时,
所以a-4,所以a的取值范围是
若关于x的方程有实根,求实数a的取值范围。
集合的相关知识点总结
一、集合的含义及其表示
集合的含义:
一般的,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合。
u通常用大写拉丁字母A,B,C,……表示集合,用小写拉丁字母a,b,c……表示集合中的元素。
集合与元素的关系:
如果a是集合A的元素,则a属于集合A,记作a∈A,如果a不是集合A的元素,则a不属于A,记作A
集合的表示方法:
列举法:
将集合的元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法。
例如:
地球上的四大洋组成的集合表示为{太平洋,大西洋,北冰洋,印度洋}
描述法:
用集合的共同特征来表示集合的方法,例如:
所有奇数的集合表示为
D={x∈Z|x=2k+1,k∈Z}.
集合的性质(常用来判断是否是集合):
确定性,互异性,无序性
二、集合间的基本关系
包含关系:
一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作B,读作A含于B或者是B包含A。
常用Veen图表示集合的包含关系。
集合的相等关系:
如果集合A和集合B中的元素是一样的,则称集合A与集合B相等,记作A=B
真子集:
如果集合A-B,,但存在元素x∈B且x_A,我们就称集合A是集合B的真子集。
空集:
不含任何元素的集合。
空集是任何集合的子集。
集合元素与子集,真子集的关系:
(经常考到)如果一个集合有n个元素,则它的子集个数为2
个;
它的真子集有2
-1个,即除去它本身那个子集;
非空真子集有2
-2个,即除去它本身的子集和空集得到。
三、集合的基本运算
并集:
由所有属于集合A或者是属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记作A∪B,即A∪B={x|x∈A或x∈B}
交集:
一般地,由属于集合A并且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集,记作A∩B,
即A∩B={x|x∈A且x∈B}
补集
全集:
一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U
补集:
对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合就称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集,记作CuA,即
CuA={x|x∈U且x_4A}
高一数学集合知识点归纳
一、知识点总结
1.集合的有关概念。
②集合中的元素具有确定性、互异性和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。
2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。
3.弄清集合与元素、集合与集合的关系,掌握有关的术语和符号。
4.有关子集的几个等价关系
5.交、并集运算的性质
①A∩A=A,A∩B=B∩A;
②A∪A=A,A∪B=B∪A;
6.有限子集的个数:
二、集合知识点整合
集合具有某种特定性质的事物的总体。
这里的“事物”可以是人,物品,也可以是数学元素。
例如:
1、分散的人或事物聚集到一起;
使聚集:
紧急~。
2、数学名词。
一组具有某种共同性质的数学元素:
有理数的~。
3、口号等等。
集合在数学概念中有好多概念,如集合论:
集合是现代数学的基本概念,专门研究集合的理论叫做集合论。
康托(Cantor,G.F.P.,1845年—1918年,德国数学家先驱,是集合论的创始者,目前集合论的基本思想已经渗透到现代数学的所有领域。
集合,在数学上是一个基础概念。
什么叫基础概念?
基础概念是不能用其他概念加以定义的概念。
集合的概念,可通过直观、公理的方法来下“定义”。
集合是把人们的直观的或思维中的某些确定的能够区分的对象