高考数学大一轮复习 第四章 平面向量数系的扩充与复数的引入课时作业30 理 新人教A版Word下载.docx
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|.
又|
|＝10，而
－
，
|＝10⇒（
）2＝100，
即|
|2＋|
|2－2
＝100.
因为
＝－16，所以|
|2＝68，
故（
）2＝68－32＝36，
|＝6，即|
|＝3，故选D.
D
3．a，b，c是单位向量，且a·
b＝0，则（a－c）·
（b－c）的最小值为（ ）
A．－2B.
－2
C．－1D．1－
（a－c）·
（b－c）＝c2－c·
（a＋b）≥1－|c||a＋b|＝1－
＝1－
.
4．已知△ABC的重心为G，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a
＋b
c
＝0，则角A为（ ）
A.
B.
C.
D.
由题意可知
＝0，
∴
＝－（
）．
又∵a
∴a－
c＝0，b－
c＝0，∴a＝
c，b＝
c，
∴cosA＝
∴A＝
5．已知正数a，b，向量m＝（4,1），n＝（a，b），m·
n＝30，则
取得最小值时的实数对（a，b）是（ ）
A．（5,10）B．（6,6）
C．（10,5）D．（7,2）
因为向量m＝（4,1），n＝（a，b），m·
n＝30，所以4a＋b＝30，
）（4a＋b）＝
（4＋1＋
）≥
（5＋2
）＝
，当且仅当
即
时等号成立．故选A.
6．已知x，y满足
若
＝（x,1），
＝（2，y），且
的最大值是最小值的8倍，则实数a的值是（ ）
A．1B.
＝（2，y），所以
＝2x＋y，令z＝2x＋y，依题意，不等式组所表示的可行域如图阴影部分表示，观察图象可知，当目标函数z＝2x＋y过点C（1,1）时，zmax＝2×
1＋1＝3，目标函数z＝2x＋y过点F（a，a）时，zmin＝2a＋a＝3a，所以3＝8×
3a，解得a＝
，故选D.
二、填空题
7．（xx·
新课标全国卷Ⅰ）已知A，B，C为圆O上的三点，若
），则
与
的夹角为________．
由
）可得O为BC的中点，则BC为圆O的直径，即∠BAC＝90°
，故
的夹角为90°
90°
8．如图，A是半径为5的圆C上的一个定点，单位向量
在A点处与圆C相切，点P是圆C上的一个动点，且点P与点A不重合，则
的取值范围是________．
如图所示，以AB所在直线为x轴，AC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
设点P（x，y），B（1,0），A（0,0），
则
＝（1,0），
＝（x，y），
所以
＝（x，y）·
（1,0）＝x.
因为点P在圆x2＋（y－5）2＝25上，
所以－5≤x≤5，即－5≤
≤5.
所以应填[－5,5]．
[－5,5]
9．已知向量m＝（x＋
，2a），n＝（1，－lnx），函数f（x）＝m·
n在区间（1,2）内是增函数，则实数a的取值范围是________．
因为f（x）＝x＋
－2alnx，所以f′（x）＝1－
，由已知得1－
≥0在x∈（1,2）内恒成立，即x2－2ax－3a2≥0在x∈（1,2）内恒成立．设g（x）＝x2－2ax－3a2，则
或
或Δ＝（－2a）2＋12a2≤0，解得－1≤a≤
或∅或a＝0，所以实数a的取值范围为[－1，
]．
[－1，
]
三、解答题
10．如图，平面四边形ABCD中，AB＝13，AC＝10，AD＝5，cos∠DAC＝
＝120.
（1）求cos∠BAD；
（2）设
＝x
＋y
，求x，y的值．
解：
（1）设∠CAB＝α，∠CAD＝β，
cosα＝
，cosβ＝
∴sinα＝
，sinβ＝
∴cos∠BAD＝cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinα·
sinβ
×
（2）由
得
解得
11．已知平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（sinx,1），B（cosx,0），C（－sinx,2），点P在直线AB上，且
（1）记函数f（x）＝
，判断点（
，0）是否为函数f（x）图象的对称中心，若是，请给予证明；
若不是，请说明理由；
（2）若函数g（x）＝|
|，且x∈[－
]，求函数g（x）的最值．
（1）点（
，0）为函数f（x）图象的对称中心．
理由如下：
＝（cosx－sinx，－1），
＝（2sinx，－1），
所以f（x）＝2sinx（cosx－sinx）＋1＝sin2x＋cos2x＝
sin（2x＋
令2x＋
＝kπ，k∈Z，得x＝
，k∈Z，所以函数f（x）图象的对称中心为（
，0），k∈Z，取k＝2，可得（
（2）设点P的坐标为（xP，yP），则
＝（xP－cosx，yP），
，所以cosx－sinx＝xP－cosx，yP＝－1，所以xP＝2cosx－sinx，yP＝－1，所以点P的坐标为（2cosx－sinx，－1）．因为
＝（－sinx,2），所以
＝（2cosx－2sinx,1），
所以g（x）＝|
因为x∈[－
]，所以－
≤2x≤π，
所以－
≤sin2x≤1，
所以1≤5－4sin2x≤7，所以1≤g（x）≤
所以函数g（x）在x∈[－
]上的最小值为1，最大值为
1．平面上O，A，B三点不共线，设
＝a，
＝b，则△OAB的面积等于（ ）
A.
B.
C.
D.
由条件得cos〈a，b〉＝
所以sin〈a，b〉＝
所以S△OAB＝
|a|·
|b|sin〈a，b〉
|b|
C
2．已知平面上一定点C（2,0）和直线l：
x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且
＝0，则点P到点C的距离的最大值是________．
设P（x，y），则Q（8，y），
＝0，得
|2－
|2＝0，即（x－2）2＋y2－
（x－8）2＝0，化简得
＝1，
所以点P的轨迹是焦点在x轴的椭圆，且a＝4，b＝2
，c＝2，点C是其右焦点．故|PC|max＝a＋c＝4＋2＝6.
6
3．在平面直角坐标系xOy中，已知点A在椭圆
＝1上，点P满足
＝（λ－1）
（λ∈R），且
＝72，求线段OP在x轴上的投影长度的最大值．
＝（λ－1）
，即
＝λ
则O，P，A三点共线，又
＝72，
同向，所以|
||
|＝72.
设OP与x轴夹角为θ，
A点坐标为（x，y），B为点A在x轴上的投影，
则OP在x轴上的投影长度为|
|cosθ＝|
|·
＝72·
≤72×
＝15.
当且仅当|x|＝
时等号成立．
则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为15.
2019-2020年高考数学大一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入课时作业31理新人教A版
1．若复数z＝（a2＋2a－3）＋（a＋3）i为纯虚数（i为虚数单位），则实数a的值是（ ）
A．－3B．－3或1
C．3或－1D．1
若复数z为纯虚数，则需满足a2＋2a－3＝0且a＋3≠0，解得a＝1.不要忽视虚部不等于零的条件．
2．（xx·
重庆卷）复平面内表示复数i（1－2i）的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
i（1－2i）＝2＋i，对应点为（2,1）位于第一象限．
3．（xx·
山东卷）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则（a＋bi）2＝（ ）
A．5－4iB．5＋4i
C．3－4iD．3＋4i
由已知得，a＝2，b＝1，即a＋bi＝2＋i，所以（a＋bi）2＝（2＋i）2＝3＋4i，选D.
4．（xx·
湖南卷）满足
＝i（i为虚数单位）的复数z＝（ ）
iB.
i
C．－
iD．－
由题可得
＝i⇒z＋i＝zi⇒z（1－i）＝－i⇒z＝
i，故选B.
B
5．（xx·
安徽卷）设i是虚数单位，
表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则
＋i·
＝（ ）
A．－2B．－2i
C．2D．2i
＋i
＋i（1－i）＝1－i＋i＋1＝2.
6．（xx·
辽宁卷）设复数z满足（z－2i）（2－i）＝5，则z＝（ ）
A．2＋3iB．2－3i
C．3＋2iD．3－2i
z－2i＝
＝2＋i，故z＝2＋3i，从而选A.
四川卷）复数
＝________.
＝－2i.
－2i
8．已知a，b∈R，i是虚数单位．若（a＋i）（1＋i）＝bi，则a＋bi＝________.
（a＋i）（1＋i）＝a－1＋（a＋1）i＝bi，由复数的运算法则可得
所以a＋bi＝1＋2i.
1＋2i
9．已知定义在复数集C上的函数满足f（x）＝
则f（f（1－i））等于________．
由已知得f（1－i）＝|
|＝|
|＝|－i|＝1，
∴f
（1）＝1＋13＝2，即f（f（1－i））＝2.
2
10．实数m分别取什么数值时，复数z＝（m2＋5m＋6）＋（m2－2m－15）i.
（1）与复数2－12i相等；
（2）与复数12＋16i互为共轭复数；
（3）对应的点在x轴上方．
（1）根据复数相等的充要条件得
解得m＝－1.
（2）根据共轭复数的定义得
解得m＝1.
（3）根据复数z对应点在x轴上方可得m2－2m－15>
0，
解得m<
－3或m>
5.
11．复数z1＝
＋（10－a2）i，
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