18版高中数学第四章导数应用章末复习课学案北师大版选修11文档格式.docx
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命题角度1 比较函数值的大小
例2 已知定义域为R的奇函数y＝f（x）的导函数为y＝f′（x），当x≠0时，f′（x）＋
<
0，若a＝
f（
），b＝－
f（－
），c＝（ln
）f（ln
），则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A．a<
c<
bB．b<
aC．a<
b<
cD．c<
a<
b
反思与感悟 本例中根据条件构造函数g（x）＝xf（x），通过g′（x）确定g（x）的单调性，进而确定函数值的大小，此类题目的关键是构造出恰当的函数．
跟踪训练2 设f（x）、g（x）是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′（x）g（x）－f（x）g′（x）<
0，则当a<
x<
b时有（ ）
A．f（x）g（x）>
f（b）g（b）
B．f（x）g（a）>
f（a）g（x）
C．f（x）g（b）>
f（b）g（x）
D．f（x）g（x）>
f（a）g（a）
命题角度2 求解不等式
例3 定义域为R的可导函数y＝f（x）的导函数f′（x），满足f（x）<
f′（x），且f（0）＝2，则不等式f（x）>
2ex的解集为（ ）
A．（－∞，0）B．（－∞，2）
C．（0，＋∞）D．（2，＋∞）
反思与感悟 根据所求结论与已知条件，构造函数g（x）＝
，通过导函数判断g（x）的单调性，利用单调性得到x的取值范围．
跟踪训练3 函数f（x）的定义域为R，f（－1）＝2，对任意x∈R，f′（x）>
2，则f（x）>
2x＋4的解集为（ ）
A．（－1,1）B．（－1，＋∞）
C．（－∞，－1）D．（－∞，＋∞）
类型三 利用导数研究函数的极值与最值
例4 已知函数f（x）＝x3＋ax2＋b的图像上一点P（1,0），且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在区间[0，t]（0<
t<
3）上的最大值和最小值；
（3）在
（1）的结论下，关于x的方程f（x）＝c在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围．
反思与感悟
（1）求极值时一般需确定f′（x）＝0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点．
（2）求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得．
跟踪训练4 已知函数f（x）＝ax3＋（a－1）x2＋48（a－2）x＋b的图像关于原点成中心对称．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）的单调区间及极值；
（3）当x∈[1,5]时，求函数的最值．
类型四 导数的综合应用
例5 已知函数f（x）＝x3－ax－1.
（1）若f（x）在实数集R上单调递增，求a的取值范围；
（2）是否存在实数a，使f（x）在（－1,1）上是减少的，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．
反思与感悟 在已知函数f（x）是增函数（或减函数）求参数的取值范围时，应令f′（x）≥0（或f′（x）≤0）恒成立，解出参数的取值范围（一般可用不等式恒成立理论求解），然后检验参数的取值能否使f′（x）恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去；
若f′（x）不能恒等于0，则由f′（x）≥0（或f′（x）≤0）恒成立解出的参数的取值范围来确定．
跟踪训练5
（1）若函数f（x）＝4x3－ax＋3的单调递减区间是
，则实数a的值是多少？
（2）若函数f（x）＝4x3－ax＋3在
上是单调函数，则实数a的取值范围为多少？
1．已知函数f（x）＝x3＋bx2＋cx的图像如图所示，则x
＋x
等于（ ）
A.
B.
C.
D.
2．已知f（x）是定义在（0，＋∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）＋f（x）≤0，对任意的正数a，b，若a<
b，则必有（ ）
A．bf（b）≤af（a）B．bf（a）≤af（b）
C．af（a）≤bf（b）D．af（b）≤bf（a）
3．设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y＝f（x）和y＝f′（x）的图像画在同一个直角坐标系中，则不可能正确的是（ ）
4．已知函数f（x）＝
在（－2，＋∞）内是减少的，则实数a的取值范围为________．
5．已知函数f（x）＝2lnx＋
（a>
0），若当x∈（0，＋∞）时，f（x）≥2恒成立，则实数a的取值范围是________．
导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决．不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法．
答案精析
知识梳理
知识点一
1．f′（x）>
0 f′（x）<
2．
（1）f′（x）>
0
（2）f′（x）<
0 f′（x）>
知识点二
1．极值
2．端点处函数值f（a），f（b）
题型探究
例1 C [当0<
1时，xf′（x）<
0，
∴f′（x）<
0，故y＝f（x）在（0,1）上为减函数，
排除A、B选项．
当1<
2时，xf′（x）>
∴f′（x）>
故y＝f（x）在（1,2）上为增函数，
因此排除D.]
跟踪训练1 B [函数f（x）＝lnx－
x2的定义域为（0，＋∞），
f′（x）＝
－x＝
＝
.
令f′（x）>
0，得
>
0.
又因为x>
0，所以（1＋x）（1－x）>
所以0<
1.
同理，令f′（x）<
0，解得x>
于是当0<
1时，函数f（x）是增函数；
当x>
1时，函数f（x）是减函数；
当x＝1时，f（x）＝－
0.结合以上特征可知应选B.]
例2 B [令g（x）＝xf（x），
则g（－x）＝（－x）f（－x）＝xf（x），
∴g（x）是偶函数．
g′（x）＝f（x）＋xf′（x），
∵f′（x）＋
∴当x>
0时，xf′（x）＋f（x）<
当x<
0时，xf′（x）＋f（x）>
∴g（x）在（0，＋∞）上是减函数．
∵
ln2<
1<
，
∴g（
）<
g（ln2）<
g（
）．
∵g（x）是偶函数，
∴g（－
）＝g（
），g（ln
）＝g（ln2），
g（ln
故选B.]
跟踪训练2 C [由条件，得[
]′
∴
在（a，b）上是减函数．
∴f（x）g（b）>
f（b）g（x）．]
例3 C [设g（x）＝
则g′（x）＝
∵f（x）<
f′（x），∴g′（x）>
即函数g（x）单调递增．
∵f（0）＝2，∴g（0）＝f（0）＝2，
则不等式等价于g（x）>
g（0）．
∵函数g（x）单调递增，
∴x>
0，即不等式的解集为（0，＋∞），
故选C.]
跟踪训练3 B [令g（x）＝f（x）－2x－4，∵f′（x）>
2，
则g′（x）＝f′（x）－2>
又由g（－1）＝f（－1）－2×
（－1）－4＝0，
得g（x）>
即g（x）>
g（－1）的解为x>
－1，
∴f（x）>
2x＋4的解集为（－1，＋∞）．]
例4 解
（1）因为f′（x）＝3x2＋2ax，曲线在P（1,0）处的切线斜率为f′
（1）＝3＋2a，即3＋2a＝－3，a＝－3.
又函数过（1,0）点，即－2＋b＝0，b＝2.
所以a＝－3，b＝2，f（x）＝x3－3x2＋2.
（2）由f（x）＝x3－3x2＋2，得
f′（x）＝3x2－6x.
由f′（x）＝0，得x＝0或x＝2.
①当0<
t≤2时，在区间（0，t）上，f′（x）<
0，f（x）在[0，t]上是减函数，所以f（x）max＝f（0）＝2，f（x）min＝f（t）＝t3－3t2＋2.
②当2<
3时，当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况如下表：
x
（0,2）
2
（2，t）
t
f′（x）
－
＋
f（x）
－2
t3－3t2＋2
f（x）min＝f
（2）＝－2，
f（x）max为f（0）与f（t）中较大的一个．
因为f（t）－f（0）＝t3－3t2＝t2（t－3）<
所以f（x）max＝f（0）＝2.
（3）令g（x）＝f（x）－c＝x3－3x2＋2－c，
则g′（x）＝3x2－6x＝3x（x－2）．
当x∈[1,2）时，g′（x）<
0；
当x∈（2,3]时，g′（x）>
要使g（x）＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根，
则
解得－2<
c≤0.
即实数c的取值范围为（－2,0]．
跟踪训练4 解
（1）∵函数f（x）的图像关于原点成中心对称，
则f（x）是奇函数，
∴f（－x）＝－f（x），
即－ax3＋（a－1）x2－48（a－2）x＋b
＝－ax3－（a－1）x2－48（a－2）x－b，
于是2（a－1）x2＋2b＝0恒成立，
解得a＝1，b＝0.
（2）由
（1）得f（x）＝x3－48x，
∴f′（x）＝3x2－48＝3（x＋4）（x－4），
令f′（x）＝0，得x1＝－4，x2＝4.
令f′（x）<
0，得－4<
4；
得x<
－4或x>
4.
∴f（x）的递减区间为（－4,4），递增区间为（－∞，－4）和（4，＋∞）．
∴f（x）极大值＝f（－4）＝128，
f（x）极小值＝f（4）＝－128.
（3）由（2
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