一元二次方程及其应用教师版Word文档格式.docx

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ax2＋bx＋c＝0（a≠0）

提醒：

在一元二次方程的一般形式中要注意强调ax2＋bx＋c＝0（a≠0）;

还要注意各项系数的符号

考点2一元二次方程的四种解法

直接开平方法：

适合于（x＋a）2＝b（b≥0）或（ax＋b）2＝（cx＋d）2形式的方程

因式分解法：

思路：

把方程化成ab＝0的形式，得a＝0或b＝0

方法：

常用的方法主要运用提公因式法、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法型因式分解

公式法：

（求根公式）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0,且b2－4ac≥0时，则x1，2＝

公式法的步骤：

（1）将方程化成ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的形式；

（2）确定a，b，c的值；

（3）若b2－4ac≥0，则代入求根公式，得x1，x2，若b2－4ac<

0，则方程无实数根

配方法：

通过配成完全平方的形式解一元二次方程

配方法的步骤：

①化二次项系数为1；

②把常数项移到方程的另一边；

③在方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

④把方程整理成（x＋a）2＝b的形式；

⑤运用直接开平方解方程

考点3一元二次方程的根的判别式

根的判别式定义：

关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式为b2－4ac.也把它记作Δ＝b2－4ac

判别式与根的关系：

（1）b2－4ac>

0⇔方程有2个不相等的实数根；

（2）b2－4ac＝0⇔方程有2个相等的实数根；

（3）b2－4ac<

0⇔方程没有实数根

防错提醒：

在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件

考点4一元二次方程的根与系数的关系

关系式：

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－

，x1x2＝

利用一元二次方程根与系数的关系时，要注意判别式Δ≥0

应用：

考点5一元二次方程的应用

增长率问题

（1）增长率＝增量÷

基础量

（2）设a为原来的量，m为增长率，b为连续两次增长后的量，则a（1＋m）2＝b，当m为平均下降率时，则a（1－m）2＝b

利率问题：

（1）本息和＝本金＋利息

（2）利息＝本金×

利率×

期数

销售利润问题：

（1）毛利润＝售出价－进货价

（2）纯利润＝售出价－进货价－其他费用

三、典型例题

1、（2011湖北荆州）关于

的方程

有两个不相等的实根

、

，且有

，则

的值是

A．1　　B．－1　　　C．1或－1　　　D．　2　【答案】B考点：

根与系数的关系

2、（2011山东威海）关于x的一元二次方程

有两个相等的实数根，则m的值是（）

A．

B．

C．

D．

或

【答案】D考点：

根的判别式

3、（2011江西，6，3分）

已知x=1是方程x2+bx-2=0的一个根，则方程的另一个根是（）

A.1B.2C.-2D.-1

【答案】C考点：

一元二次方程的解法

4、（2011四川绵阳12，3）若x1,x2（x1＜x2）是方程（x-a）（x-b）=1（a<

b）的两个根，则实数x1,x2,a,b的大小关系为

A．x1＜x2＜a＜b

B．x1＜a＜x2＜b

C．x1＜a＜b＜x2

D．a＜x1＜b＜x2

【答案】C

5、（2011年北京四中三模）已知方程x2-3

x+1=0，求作一个一元二次方程使它的根分别是原方程各根的倒数，则这个一元二次方程是（）

A．x2+3

x+1=0;

B．x2+3

x-1=0

C．x2-3

x+1=0D．x2-3

x-1=0

答案：

C

6、（2011江苏扬州，14,3分）某公司4月份的利润为160万元，要使6月份的

利润达到250万元，则平均每月增长的百分率是（）。

【答案】25%

7、（2011甘肃兰州，19，4分）关于x的方程

的解是x1=－2，x2=1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程

的解是（）。

【答案】x1=－4，x2=－1

8、已知：

关于x的方程kx2－（3k－1）x+2（k－1）=0

（1）求证：

无论k为何实数，方程总有实数根；

（2）若此方程有两个实数根x1，x2,且│x1－x2│=2,求k的值.

（1）证明：

①当k=0时，方程是一元一次方程，有实数根；

②当k≠0时，方程是一元二次方程，

∵△=（3k-1）2-4k×

2（k-1）=（k+1）2≥0，

∴无论k为何实数，方程总有实数根．

（2）解：

∵此方程有两个实数根x1，x2，

∴x1+x2=，x1x2=∵|x1-x2|=2，

∴（x1-x2）2=4，

∴（x1+x2）2-4x1x2=4，即=4，

解得：

k=1或k=-7.

9、（2011北京四中模拟7）已知关于x的方程

只有整数根，且关于y的一元二次方程

有两个实数根

（1）当k为整数时，确定k的值；

（2）在

（1）的条件下，若m>

－2，用关于m的代数式表示

答案

（1）当k=0时，方程

（1）化为－x－1=0，x=－1，方程有整数根

当k≠0时，方程

（1）可化为（x＋1）（kx＋k－1）=0

解得

∵方程

（1）的根是整数，所以k为整数的倒数。

∴k是整数

∴k=1舍去∴k=0，k=－1

（2）当k=0时，方程

（2）化为

∵方程

（2）有两个实数根

，方程两个实数根

10、（2011浙江杭州义蓬一模）随着人民生活水平的不断提高，萧山区家庭轿车的拥有量逐年增加.据统计，家景园小区2008年底拥有家庭轿车144辆，2010年底家庭轿车的拥有量达到225辆.

（1）若该小区2008年底到2010年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到2011年底家庭轿车将达到多少辆？

（2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资25万元再建造若干个停车位.据测算，建造费用分别为室内车位6000元/个，露天车位2000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的3倍，但不超过室内车位的4.5倍，求该小区最多可建两种车位各多少个？

试写出所有可能的方案.

（1）设每年的平均增长率为x,144（1+x）

=225,x=1/4或x=-9/4（舍去）

225×

（1+1/4）=281

（2）设可建室内车位a个，露天车位b个，3a≤b≤4.5a

6000a+2000b=250000

≤a≤

a=17,b=74;

a=18,b=71;

a=19,b=68;

a=20,b=65

11、（2013•铜仁）铜仁市某电解金属锰厂从今年1月起安装使用回收净化设备（安装时间不计），这样既改

善了环境，又降低

了原料成本，根据统计，在使用回收净化设备后的1至x月的利润的月平均值w（万元）满足w=10x+9

0．

（1）设使用回收净化设备后的1至x月的利润和为y，请写出y与x的函数关系式．

（2）请问前多少个月的利润和等于1620万元?

解：

（1）y=w·

x=（10x+90）x=10x2+90x（x为正整数）……………………5分

（2）设前x个月的利润和等于1620万元，……………………………6分

10x2+90x=1620…………………………………………………………9分

即：

x2+9x-162=0

得x=

x1=9,x2=-18（舍去）……………………………………11分

答：

前9个月的利润和等于1620万元

四、课堂练习

1、（2011山东济宁，5，3分）已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0有一个根是－a（a≠0），则a－b的值为

A．－１B．0

C．1D．2

【答案】A

2、（2011台湾台北）若一元二次方程式

的两根为0、2，则

之值为何？

A．2　　　B．5　　　C．7　　　D．8

【答案】B

3、（2011四川成都，6,3分）已知关于

的一元二次方程

有两个实数根，则下列关于判别式的判断正确的是（）

（A）

（B）

（C）

（D）

【

答案】D

4、若a为方程（x

）2=100的一根，b为方程（y3）2=17的一根，且a、b都是正数，则ab的值为（）

A．13B．7C．－7D．13

B

5、（2011浙江杭州模拟）下列命题：

①若b=2a+

c,则一元二次方程a

+bx+c=O必有一根为-2；

②若ac<

0,则方程c

+bx+a=O有两个不等实数根；

③若

-4ac=0,则方程c

+bx+a=O有两个相等实数根；

其中正确的个数是（）

A．O个B.l个C.2个D．3个

6、（2011深圳市三模）阅读材料：

设一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：

x1+x2＝－

，x1·

x2＝

.根据该材料填空：

已知x1，x2是方程x2+6x+3＝0的两实数根，则

+

的值为（）

A.4　　　　　B.6　　　　　C.8　　　　　D.10

7、（2010湖北孝感）已知关于x的方程x2－2（k－1）x+k2=0有两个实数根x1，x2.

（1）求k的取值范围；

（4分）

（2）若

，求k的值.（6分）

【答案】解：

（1）依题意，得

即

，解得

.

（2）解法一：

依题意，得

以下分两种情况讨论：

①当

时，则有

，即

∵

∴

不合题意，舍去

②

，∴

综合①、②可知k=﹣3.

解法二：

依题意可知

由

（1）可知

8、（2013•达州）今年，6月12日为端午节。

在端午节前夕，三位同学到某超市调研一种进价为2元的粽子的销售情况。

请根据小丽提供的信息，解答小华和小明提出的问题。

（1）小华的问题解答：

解析：

（1）解：

设实现每天800元利润的定价为x元/个，根据题意，得

（x-2）（500-

×

10）=800.………………………（2分）

整理得：

x2-10x+24=0.

解之得：

x1=4,x2=6.………………………（3分）

∵物价局规定，售价不能超过进价的240%，即2×

240%=4.8（元）.

∴x2=6不合题意,舍去,得x=4.

应定价4元/个，才可获得800元的利润.………………………（4分）

设每天利润为W元，定价为x元/个，得

W=（x-2）（500-

10）

=-100x2+1000x-1600

=-100（x-5）2+900.………………………（6分）

∵x≤5时W随x的增大而增大,且x≤4.8，

∴当x=4.8时，W最大，

W最大=-100×

（4.8-5）2+900=896＞800.………………………（7分）

故800元不是最大利润.当定价为4.8元/个时，每天利润最大.………………………（8分）

9、（2011年北京四中三模）

已知，△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2