高考数学一轮复习第6单元不等式推理与证明听课学案理Word下载.docx

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高考数学一轮复习第6单元不等式推理与证明听课学案理Word下载.docx

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1.[教材改编]设a=,b=-,c=-,则a,b,c中最大者为　　　　.

2.[教材改编]若f=2x2-2x,g=x2-2,则f与g的大小关系是　　　　.

3.[教材改编]已知下列四个条件:

①b>

②0>

③a>

④a>

0.不能推出<

成立的序号是　　　　.

题组二　常错题

◆索引:

求范围时乱用不等式的加法原理;

乘法运算不注意符号的影响;

除法运算受定势的影响,不注意不等式两端的符号.

4.已知-1<

2,-3<

5,则2a-b的取值范围是　　　　.

5.已知a,b,c∈R+,设S=++,则S与1的大小关系是　　　　.

6.已知2<

3,-3<

-2,则的取值范围是　　　　.

课堂考点探究

探究点一　比较两个数（式）的大小

（1）已知a>

0,P=,Q=,则P,Q的大小关系为　　　　.

（2）已知a,b,c为正数,且3a=4b=6c,则下列正确的是（　　）

A.6c<

3a<

4bB.6c<

4b<

C.3a<

6cD.4b<

[总结反思]

（1）判断两个式子的大小关系的方法:

作差、作商法;

不等式性质法;

单调性法;

中间量法;

特殊值法;

数形结合法等.

（2）作差法的一般步骤:

作差,变形,定号,得出结论.

式题

（1）已知p∈R,M=（2p+1）（p-3）,N=（p-6）（p+3）+10,则M,N的大小关系为　　　　.

（2）若a>

0,且a≠7,则（　　）

A.77aa<

7aa7

B.77aa=7aa7

C.77aa>

D.77aa与7aa7的大小不确定

探究点二　不等式的性质

（1）[xx·

淮北一中四模]若a<

0,给出下列不等式:

①a2+1>

b2;

②|1-a|>

|b-1|;

③>

其中正确的个数是（　　）

A.0B.1

C.2D.3

（2）设0<

1,b>

0,则下列结论不正确的是（　　）

A.ab<

B.ba>

C.logab<

logac

D.>

[总结反思]解决此类题目常用的三种方法:

（1）直接利用不等式的性质逐个验证,利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件;

（2）利用特殊值法排除错误答案;

（3）利用函数的单调性,当直接利用不等式的性质不能比较大小时,可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断.

式题

（1）若a<

0,则下列不等式不能成立的是（　　）

A.>

B.a2>

C.>

D.>

（2）[xx·

北京朝阳区二模]已知x>

y,则下列不等式一定成立的是（　　）

A.<

B.log2（x-y）>

C.x2>

D.<

探究点三　不等式性质的应用

（1）[xx·

衡水中学三调]三个正数a,b,c满足a≤b+c≤2a,b≤a+c≤2b,则的取值范围是（　　）

（2）已知-≤2x+y≤,-≤3x+y≤,则9x+y的取值范围是　　　　.

[总结反思]运用不等式的性质解决问题时,常用的方法是正确使用不等式的性质直接推导,并注意不等式性质成立的条件以及等价转化的思想,比如减法可以转化为加法,除法可以转化为乘法等.但应注意两点:

一是必须严格运用不等式的性质;

二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围,解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系,再通过“一次性”不等关系的运算求解范围.

式题已知f（a,b）=ax+by,如果1≤f（1,1）≤2,且-1≤f（1,-1）≤1,则f（2,1）的取值范围是　　　　.

第34讲　一元二次不等式及其解法

课前双击巩固

1.一元二次不等式

只含有一个未知数,并且未知数的最高次数为2的不等式叫作一元二次不等式.

2.一元二次不等式的解集

判别式

Δ=b2-4ac

Δ>

Δ=0

Δ<

二次函数

y=ax2+bx+c

（a>

0）的图像

一元二次方程

ax2+bx+c=0

0）的根

有两相异实根

x1,x2（x1<

x2）

有两相等实根

x1=x2=-

没有实数根

ax2+bx+c>

0）的解集

ax2+bx+c<

常用结论

（1）“ax2+bx+c>

0（a≠0,x∈R）恒成立”的充要条件是“a>

0且b2-4ac<

0”.

（2）“ax2+bx+c<

0（a≠0）恒成立”的充要条件是“a<

（1）对于不等式ax2+bx+c>

0,求解时不要忘记讨论a=0时的情形.

（2）注意区分Δ<

0时,ax2+bx+c>

0（a≠0）的解集为R还是⌀.

1.[教材改编]不等式x2-3x-10≤0的解集为　　　　.

2.[教材改编]已知一元二次方程x2+2ax+（7a-6）=0（a∈R）有两个不等的实数根,则实数a的取值范围是　　　　.

3.[教材改编]已知集合A={x|x2-2x-3<

0},B={-1,0,1,2,3},则A∩B=　　　　.

解不等式时变形必须等价;

注意二次项的系数符号;

对参数的讨论不要忽略二次项系数为0的情况.

4.不等式2x（x-7）>

3（x-7）的解集为　　　　　　　.

5.不等式（x+3）（1-x）≥0的解集为　　　　　　.

6.对于任意实数x,不等式mx2+mx-1<

0恒成立,则实数m的取值范围是　　　　.

探究点一　一元二次不等式的解法

（1）[xx·

河南新乡三模]若集合M={x|x2+5x-14<

0},N={x|1<

4},则M∩N等于（　　）

A.⌀B.

C.D.

（2）已知不等式ax2-5x+b>

0的解集为{x|-3<

2},则不等式bx2-5x+a>

0的解集为（　　）

A.x-<

B.xx<

-或x>

C.{x|-3<

D.{x|x<

-3或x>

[总结反思]解一元二次不等式的一般步骤:

①化为标准形式（二次项系数大于0）;

②确定判别式Δ的符号（若Δ≥0,则求出该不等式对应的二次方程的根,若Δ<

0,则对应的二次方程无根）;

③结合二次函数的图像得出不等式的解集.

式题

（1）已知集合A={x∈Z|x2-3x-4≤0},B={x∈Z|2x2-x-6>

0},则A∩B的真子集的个数为　　　　.

（2）已知一元二次不等式f<

0的解集为-∞,∪,+∞,则不等式f>

0的解集为　　　　.

探究点二　一元二次不等式恒成立问题

考向1　形如f（x）≥0（x∈R）

2不等式（a-2）x2+2（a-2）x-4<

0对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是　　　　.

[总结反思]

（1）若不等式ax2+bx+c>

0（a≠0）恒成立,则满足

（2）若不等式ax2+bx+c<

（3）若不等式ax2+bx+c>

0恒成立,则要考虑a=0时是否满足.

考向2　形如f（x）≥0（x∈[a,b]）

3若对任意的x∈[-1,2],都有x2-2x+a≤0（a为常数）,则a的取值范围是（　　）

A.（-∞,-3]B.（-∞,0]

C.[1,+∞）D.（-∞,1]

[总结反思]一元二次不等式在指定范围内恒成立,其本质是这个不等式的解集包含着指定的区间.恒大于0就是相应的二次函数图像在给定的区间上全部在x轴上方;

恒小于0就是相应的二次函数图像在给定的区间上全部在x轴下方.

考向3　形如f（x）≥0（参数m∈[a,b]）

4对任意a∈[-1,1],函数f（x）=x2+（a-4）x+4-2a的值总大于零,则x的取值范围是　　　　.

[总结反思]解决一元二次不等式在给出参数取值范围恒成立问题时一定要搞清谁是主元,谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数.

强化演练

1.【考向1】[xx·

南充检测]关于x的不等式x2-ax+a>

0（a∈R）在R上恒成立的充分不必要条件是（　　）

A.a<

0或a>

4B.0<

C.0<

4D.0<

2.【考向2】[xx·

吉林实验中学模拟]若对任意x∈[1,2],有x2-a≤0恒成立,则实数a的取值范围是（　　）

A.a≤4B.a≥4

C.a≤5D.a≥5

3.【考向1】若函数f=的定义域为实数集R,则实数a的取值范围为（　　）

B.∪

C.∪

4.【考向3】不等式（a-3）x2<

（4a-2）x对a∈（0,1）恒成立,则x的取值范围是　　　　.

探究点三　一元二次不等式的应用

5[xx·

芜湖一中月考]某厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10）,每小时可获得的利润是505x-+1元.

（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于1500元,求x的取值范围.

（2）要使生产480千克该产品获得的利润最大,问:

该厂应该选取何种生产速度?

并求此最大利润.

[总结反思]对于不等式应用问题,一般可按四步进行:

一是理解题意,把握问题中的关键量;

二是引进数学符号,用不等关系构造不等式;

三是解不等式;

四是回答实际问题.

式题学校里两条互相垂直的道路AM,AN旁有一矩形花园ABCD,现欲将其扩建成一个更大的三角形花园APQ,要求点B,P在AM上,点D,Q在AN上,且PQ过点C,其中AM=AN=100m,AB=30m,AD=20m,如图6-34-1,记三角形花园APQ的面积为Sm2.

（1）设DQ=xm（x>

0）,建立三角形花园APQ的面积S关于x的表达式.

（2）要使三角形花园APQ的面积不小于1600m2,请问DQ的长应在什么范围内?

图6-34-1

第35讲　二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题

1.二元一次不等式（组）表示的平面区域

不等式

表示区域

Ax+By+C>

直线Ax+By+C=0某一侧的所有点组成的平面区域

不包括　　

Ax+By+C≥0

包括　　

不等式组

各个不等式所表示的平面区域的　　　

2.线性规划中的基本概念

名称

意义

约束条件

由变量x,y组成的　　　

线性约束条件

由关于x,y的　　　不等式组成的不等式组

目标函数

关于x,y的函数　　　　,如z=2x+3y等

线性目标函数

关于x,y的　　　解析式

可行解

满足线性约束条件的　　

可行域

由所有可行解组成的　　

最优解

使目标函数取得　　　或　　　的可行解

线性规划问题

在线性约束条件下求线性目标函数的　　　或　　　的问题

3.利用线性规划求最值,用图解法求解的步骤

（1）在平面直角坐标系内作出可行域.

（2）作出目标函数的

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