对于一线三垂直模型其在平面几何中的应用Word文档格式.docx

对于一线三垂直模型其在平面几何中的应用Word文档格式.docx

《对于一线三垂直模型其在平面几何中的应用Word文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《对于一线三垂直模型其在平面几何中的应用Word文档格式.docx（7页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

从要证明的结论来看，需要把AD这条线段“转变”到直线CF上。

如图，过点B作

BG⊥CB，交CF的延伸线于点G。

则易证△ACD≌△CBG，于是AD=CG=CF+FG；

BG=CD=BD，BF=BF，∠DBF=∠GBF=45o，

故△BDF≌△BGF，于是FD=FG，因此AD=CF+DF。

对于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用

（二）

【例3】如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90o，分别过B，C向过A点的直线作

垂线，垂足分别为E，F。

（1）如图1，过点A的直线与斜边BC不订交时，求证：

EF=EB+CF；

（2）如图2，过点A的直线与斜边BC订交时，其余条件不变，若BE=10，CF=3.求

EF的长。

【提示】

（1）图1是“一线三垂直”的基础模型，△ABE≌CAF；

（2）图2是“一线三垂直”的变形4，和【例1】同样。

【例4】如图，已知△AEB中，∠AEB=90o，以AB为边向外作正方形ABCD，连结

AC、BD，交于点O，连结EO。

若BE=2，EO=3√2，求五边形AEBCD的面积。

【分析】由于∠ABC=∠AEB=90o，故结构“一线三垂直”模型，如图。

过点C作CP⊥EB，交EB延伸线于点P，连结OP。

则依据“一线三垂直”模型的性质，△AEB≌△BPC，

∴BP=AE；

∵∠AOB=∠AEB=90o，

∴A、E、B、O四点共圆（详见），

∴∠BEO=∠BAO=45o；

同理∠BPO=∠BCO=45o，故△EOP为等腰直角三角形；

∵EO=3√2，∴EP=6，BP=4，

依据勾股定理，AB2=16+4=20，即S正方形ABCD=20，

S△AEB=4×

2÷

2=4，∴S五边形AEBCD=20+4=24.

对于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用（三）

【例5】已知△ABC中，∠ACB=90o，AC=BC，CD为AB边上的中线，点E为BC

边上随意一点（不与A、D、B重合），BF⊥CE于点F，交CD于点G，AH⊥CE，

交CE延伸线于点H，交CD延伸线于点M。

（1）CG=AE；

（2）DE=DM。

（1）依据“一线三垂直”模型，△ACH≌△CBF，

∴∠ACE=∠CBG，又∠CAE=∠BCG=45o，AC=BC，

∴△ACE≌△BCG；

（2）由“一线三垂直”模型可知，∠ACE=∠CBG，BF=CH，

∴∠HCM=∠FBE，又∠BFE=∠CHM=90o，

∴△CHM≌△BFE，BE=CM，进而DE=DM。

同时我们也应当注意到：

△ACM≌△CBE；

△ADM≌△CDE≌△BDG；

△AHE≌△CFG；

DM=DG=DE；

△GEM为等腰直角三角形等。

结构“一线三垂直”模型，是作协助线常用的一种手段。

【例6】如图，直线l1∥l2∥l3，且l1到l2的距离为3，l2到l3的距离为4，等腰直

角△ABC的直角极点C在l2上，点A、B分别在l1、l3上。

求△ABC的面积。

【提示】过点C作l2的垂线，分别交l1和l3于点D、E，结构“一线三垂直”模型，

则CD=3，AD=CE=4，AC=5.

对于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用（四）

【例7】

（2018初二希望杯练习题）如图，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，

∠BCD=90o，AB=BC+AD，∠DAC=45o，E为CD上一点，且∠BAE=45o，若CD=4，

求△ABE的面积。

【分析】如图，过点E作EG⊥AE，交AB延伸线于点G，过点G作GH⊥DC，交

DC延伸线于点H，结构“一线三垂直”模型；

过点G作GK⊥BC于点K，过点B作

BF⊥AD于点F。

则△ADE≌△EHG，DE=GH；

AD=EH=CD，

∴DE=CH，故四边形CKGH为正方形。

AF=4-BC，AB=4+BC，BF=4，

∴（4+BC）2=（4-BC）2+42，

解得：

BC=1，因此AB=5；

设DE=x，则BK=1-x，GK=x，AE2=x2+42

∵△AEG为等腰直角三角形，∴AG2=2AE2，

（5+BG）2=2（x2+42），将BG代入，化简得：

（7x-4）2=0，x=4/7，

∴△ABE面积=梯形ABCD面积-△ADE面积-△BCE面积

=（1+4）×

4÷

2-4×

4/7÷

2-1×

（4-4/7）2÷

=50/7。

在直角坐标系中结构“一线三垂直”模型，是解决坐标问题的一种有效手段。

【例8】如图，在直角坐标系中，点A（1，2），点B（0，-1），已知△ABC为等腰

直角三角形，求点C的坐标。

【分析】设C（m，p）。

（1）当∠BAC为直角时：

①当点C在AB右边时，如图1。

过点A作DE∥x轴，交y轴于点D，过点C作CE⊥DE

于点E。

依据“一线三垂直”模型，△ABD≌△ACE，

∴DB=AE，CE=DA，即：

m-1=3，2-p=1，

m=4，p=1，∴C（4，1）；

②当点C在AB左边时，如图2。

依据“一线三垂直”模型，△ABD≌△ACE，∴DB=AE，CE=DA，即：

1-m=3，p

-2=1，解得：

m=-2，p=3，∴C（-2，3）；

（或许用以下方法：

此时，点C和①中的C对于点A对称，故m=2×

1-4=-2，p=2×

2

－1=3.）

（2）当∠ABC为直角时：

①当点C在AB右边时，如图3。

过点A作AE∥x轴，交y轴于点E，过点C作CD⊥y

轴于点D。

依据“一线三垂直”模型，△ABE≌△BCD，∴DB=AE，BE=CD，即：

-1-p=1，

m=3，解得：

m=3，p=-2，∴C（3，-2）；

②当点C在AB左边时，如图4。

过点B作DE∥x轴，过点C作CD⊥DE于点D，过点A作AE⊥DE于点E。

依据“一线三垂直”模型，△ABE≌△BCD，

∴BE=CD，BD=AE，即：

0-m=3，p-（-1）=1，

m=-3，p=0，∴C（-3，0）；

此时，点C和①中的C对于点B对称，故m=2×

0-3=-3，p=-1×

－（-2）=0.）

（3）当∠ACB为直角时：

①当点C在AB右边时，如图5。

过点C作CD∥x轴，过点A作AD⊥CD于点D，

CD交y轴于点E。

依据“一线三垂直”模型，△ACD≌△CBE，

∴BE=CD，CE=DA，即：

m=2-p，p-（-1）=m-1，

m=2，p=0，即CD与x轴重合，点E与O重合，

∴C（2，0）；

②当点C在AB左边时，如图6。

1-m=p-（-1），2-p=0-m，

m=-1，p=1，∴C（-1，1）。

此时，点C和①中的C对于AB的中点对称，AB的中点坐标为

（，），故m=2×

0.5-2=-1，×

2－0=1.）

综上所述：

切合条件的点C的坐标有6个：

（4，1）；

（-2，3）；

（3，-2）；

（-3，0）；

（2，0）；

（-1，1）。

对于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用（五）

前面议论的是对于“一线三垂直模型”有两条边相等时的状况。

假如不存在两条边

相等，那么“一线三垂直模型”的性质是必然存在一对或几对相像三角形，这个性质在

初中平面几何中的应用也是十分宽泛，特别在直角坐标系中的函数图像与平面几何的

综合应用题或压轴题常常获得应用，也是作协助线的思想方法。

常常出现的图例跟前面介绍的同样（），不过直角的两条边不必定相等。

【例9】如图，在直角坐标系中，点A（1，3），点B（2，-1），坐标轴上能否存在

点C，使得∠ACB为直角？

若存在，恳求出点C的坐标；

若不存在，请说明原因。

【分析】

（1）当点C在y轴上时：

如图1，设C（0，c），分别过点A、B作x轴的平行线，交y轴于点D、E。

则依据“一线三垂直模型”，△ACD∽△CBE，

∴AD∶CE=CD∶BE，即：

1∶（c+1）=（3-c）∶2，

c1=1+√2，c2=1-√2，

故C（0，1+√2）；

或C（0，1-√2）；

（2）当点C在x轴上时：

如图2，设C（c，0），分别过点A、B作y轴的平行线，交x轴于点D、E。

则依据“一线三垂直模型”，△ACD∽△CBE，

3∶（2-c）=（1-c）∶2，

或3∶（c-2）=（c