江苏专用版高考数学大一轮复习第六章数列61数列的概念与简单表示法教师用书文苏教版Word格式.docx

江苏专用版高考数学大一轮复习第六章数列61数列的概念与简单表示法教师用书文苏教版Word格式.docx

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【知识拓展】

1.若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，

则an＝

2.在数列{an}中，若an最大，则

若an最小，则

3.数列与函数的关系

数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×

”）

（1）所有数列的第n项都能使用公式表达.（　×

　）

（2）根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.（　√　）

（3）1,1,1,1，…，不能构成一个数列.（　×

（4）任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.（　×

（5）如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.（　√　）

1.（教材改编）下列有四种说法，其中正确的说法是.（填序号）

①数列a，a，a，…是无穷数列；

②数列0，－1，－2，－3，…不一定是递减数列；

③数列{f（n）}可以看作是一个定义域为正整数N*或它的有限子集{1,2，…，n}的函数值；

④已知数列{an}，则数列{an＋1－an}也是一个数列.

答案　①②④

解析　题中①④显然正确；

对于②，数列只给出前四项，后面的项是不确定的，所以不一定是递减数列；

对于③，数列可以看作是一个定义域为正整数N*或它的有限子集{1,2，…，n}的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，所以③不正确.

2.（教材改编）数列1,2，

，

，…中的第26项为.

答案　2

解析　∵a1＝1＝

，a2＝2＝

a3＝

，a4＝

，a5＝

∴an＝

∴a26＝

＝

＝2

.

3.（教材改编）在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋

（n≥2），则a5＝.

答案　

解析　a2＝1＋

＝2，

a3＝1＋

＝1＋

a4＝1＋

＝3，a5＝1＋

4.（教材改编）已知数列{an}中，a1＝

，an＋1＝1－

（n≥2），则a16＝.

解析　由题意知a2＝1－

＝－1，a3＝1－

＝2，a4＝1－

，∴此数列是以3为周期的周期数列，a16＝a3×

5＋1＝a1＝

5.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝.

解析　当n＝1时，a1＝S1＝2，

当n≥2时，

an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[（n－1）2＋1]＝2n－1，

故an＝

题型一　由数列的前几项求数列的通项公式

例1　

（1）（2016·

南京模拟）数列1,3,6,10，…的通项公式是.

（2）数列{an}的前4项是

，1，

，则这个数列的通项公式是an＝.

答案　

（1）an＝

（2）

解析　

（1）观察数列1,3,6,10，…可以发现

1＝1，

3＝1＋2，

6＝1＋2＋3，

10＝1＋2＋3＋4，

…

第n项为1＋2＋3＋4＋…＋n＝

（2）数列{an}的前4项可变形为

，故an＝

思维升华　由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略

（1）常用方法：

观察（观察规律）、比较（比较已知数列）、归纳、转化（转化为特殊数列）、联想（联想常见的数列）等方法.

（2）具体策略：

①分式中分子、分母的特征；

②相邻项的变化特征；

③拆项后的特征；

④各项的符号特征和绝对值特征；

⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；

⑥对于符号交替出现的情况，可用（－1）k或（－1）k＋1，k∈N*处理.

　根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式.

（1）－1,7，－13,19，…；

（2）0.8,0.88,0.888，…；

（3）

，－

，….

解　

（1）数列中各项的符号可通过（－1）n表示，从第2项起，每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6，故通项公式为an＝（－1）n（6n－5）.

（2）数列变为

，…，

（3）各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的绝对值的分子分别比分母小3.

因此把第1项变为－

原数列化为－

故an＝（－1）n

题型二　由an与Sn的关系求通项公式

例2　

（1）（2016·

南通模拟）若数列{an}的前n项和Sn＝

an＋

，则{an}的通项公式an＝.

答案　（－2）n－1

解析　由Sn＝

，得当n≥2时，Sn－1＝

an－1＋

，两式相减，整理得an＝－2an－1，又当n＝1时，S1＝a1＝

a1＋

，∴a1＝1，∴{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，故an＝（－2）n－1.

（2）已知下列数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式.

①Sn＝2n2－3n；

②Sn＝3n＋b.

解　①a1＝S1＝2－3＝－1，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1

＝（2n2－3n）－[2（n－1）2－3（n－1）]＝4n－5，

由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.

②a1＝S1＝3＋b，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n＋b）－（3n－1＋b）

＝2·

3n－1.

当b＝－1时，a1适合此等式；

当b≠－1时，a1不适合此等式.

∴当b＝－1时，an＝2·

3n－1；

当b≠－1时，an＝

思维升华　已知Sn，求an的步骤

（1）当n＝1时，a1＝S1；

（2）当n≥2时，an＝Sn－Sn－1；

（3）对n＝1时的情况进行检验，若适合n≥2的通项则可以合并；

若不适合则写成分段函数形式.

（1）已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－3，则数列{an}的通项公式为.

（2）已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，则其通项an＝；

若它的第k项满足5<

ak<

8，则k＝.

（2）2n－10　8

解析　

（1）当n＝1时，a1＝S1＝－1；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，

（2）∵an＝

又∵－8也适合an＝2n－10，∴an＝2n－10，n∈N*.

由5<

2k－10<

8，∴7.5<

k<

9，∴k＝8.

题型三　由数列的递推关系求通项公式

例3　根据下列条件，确定数列{an}的通项公式.

（1）a1＝2，an＋1＝an＋ln（1＋

）；

（2）a1＝1，an＋1＝2nan；

（3）a1＝1，an＋1＝3an＋2.

解　

（1）∵an＋1＝an＋ln（1＋

），

∴an－an－1＝ln（1＋

）＝ln

（n≥2），

∴an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＋a1

＝ln

＋ln

＋…＋ln

＋ln2＋2

＝2＋ln（

·

…·

2）

＝2＋lnn（n≥2）.

又a1＝2适合上式，故an＝2＋lnn（n∈N*）.

（2）∵an＋1＝2nan，∴

＝2n－1（n≥2），

a1

＝2n－1·

2n－2·

2·

1＝21＋2＋3＋…＋（n－1）＝

又a1＝1适合上式，故an＝

（3）∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3（an＋1），

又a1＝1，∴a1＋1＝2，

故数列{an＋1}是首项为2，公比为3的等比数列，

∴an＋1＝2·

3n－1，故an＝2·

3n－1－1.

思维升华　已知数列的递推关系求通项公式的典型方法

（1）当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列.

（2）当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列.

（3）当出现an＝an－1＋f（n）时，用累加法求解.

（4）当出现

＝f（n）时，用累乘法求解.

（1）已知数列{an}满足a1＝1，an＝

an－1（n≥2且n∈N*），则an＝.

（2）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1（n∈N*），则a5＝.

答案　

（1）

（2）16

解析　

（1）∵an＝

an－1（n≥2），

∴an－1＝

an－2，…，a2＝

a1.

以上（n－1）个式子相乘得

an＝a1·

当n＝1时也满足此等式，∴an＝

（2）当n＝1时，S1＝2a1－1，∴a1＝1.

当n≥2时，Sn－1＝2an－1－1，

∴an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，∴an＝2an－1.

∴{an}是等比数列且a1＝1，q＝2，

故a5＝a1×

q4＝24＝16.

题型四　数列的性质

命题点1　数列的单调性

例4　已知an＝

，那么数列{an}是数列.（填“递减”“递增”或“常”）

答案　递增

解析　an＝1－

，将an看作关于n的函数，n∈N*，易知{an}是递增数列.

命题点2　数列的周期性

例5　数列{an}满足an＋1＝

，a8＝2，则a1＝.

解析　∵an＋1＝

∴an＋1＝

＝1－

＝1－（1－an－2）＝an－2，n≥3，

∴周期T＝（n＋1）－（n－2）＝3.

∴a8＝a3×

2＋2＝a2＝2.

而a2＝

，∴a1＝

命题点3　数列的最值

例6　若数列{an}的通项an＝

，则数列{an}中的最大项的值是.

解析　令f（x）＝x＋

（x>

0），运用基本不等式得f（x）≥2

，当且仅当x＝3

时等号成立.因为an＝

，所以

≤

，由于n∈N*，不难发现当n＝9或n＝10时，an＝

最大.

思维升华　

（1）解决数列的单调性问题可用以下三种方法

①用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列.

②用作商比较法，根据

（an＞0或an＜0）与1的大小关系进行判断.

③结合相应函数的图象直观判断.

（2）解决数列周期性问题的方法

先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.

（3）数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解.

（1）（2016·

哈尔滨模拟）若数列{an}满足an＋1＝

a1＝

，则数列的第2015项为.

（2）设an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}中的最大项的值是.

（2）0

解析　

（1）由已知可得，a2＝2×

－1＝

a3＝2×

a4＝2×

a5＝2×

∴{an}为周期数列且T＝4，

∴a2015＝a503×

4＋3＝a3＝

（2）∵an＝－3

2＋

，由二次函数性质，得当n＝2或3时，an最大，最大值为0.

12.解决数列问题的函