向量共线与平面向量的基本定理教师版Word文件下载.docx
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计算：
（1）3（6a＋b）－9（a＋
b）；
（2）
[（3a＋2b）－（a＋
b）]－2（
a＋
（3）2（5a－4b＋c）－3（a－3b＋c）－7a.
【自主解答】
（1）原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.
（2）原式＝
（2a＋
b）－a－
b＝a＋
b－a－
b＝0.
（3）原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.
1．向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”、“提取公因式”，但这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
2．对于线性运算，把握运算顺序为：
运算律去括号→数乘向量→向量加减．
（1）化简
[（4a－3b）＋
b－
（6a－7b）]；
（2）设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求（
a－b）－（a－
b）＋（2b－a）．
【解】
（1）原式＝
[4a－3b＋
b]＝
[（4－
）a＋（－3＋
＋
）b]
＝
（
a－
b）＝
b.
a－b－a＋
b＋2b－a＝（
－1－1）a＋（－1＋
＋2）b
＝－
b＝－
（3i＋2j）＋
（2i－j）
＝（－5＋
）i＋（－
－
）j＝－
i－5j.
共线向量定理及应用
已知两个非零向量a、b不共线，
＝a＋b，
＝a＋2b，
＝a＋3b.
（1）证明：
A、B、C三点共线．
（2）试确定实数k，使ka＋b与a＋kb共线．
【思路探究】
（1）
→
→找出
与
的等量关系
（2）令ka＋b＝λ（a＋kb）→利用a与b不共线，求λ、k
【自主解答】
（1）证明 由于
＝a＋3b，
则
＝a＋2b－a－b＝b，而
＝a＋3b－a－b＝2b，
于是
＝2
，即
共线，又∵
有公共点A，∴A、B、C三点共线．
（2）解 由于a、b为非零向量且不共线，∴a＋kb≠0.
若ka＋b与a＋kb共线，则必存在唯一实数λ使ka＋b＝λ（a＋kb），
整理得：
（k－λ）a＝（λk－1）b，
因为非零向量a、b不共线，
因此
，∴
，或
，
即存在实数λ＝1，使ka＋b与a＋kb共线，
此时k＝1.或存在实数λ＝－1，使ka＋b与a＋kb共线，
此时k＝－1，因此，k＝±
1都满足题意．
1．本题中证明点共线的关键是由点构成的向量要有公共点，并且共线．
2．证明两个向量a与b共线时，只需证明a＝λb（b≠0）．若已知a与b（b≠0）共线，则可利用两向量共线的性质，得到λ1a＝λ2b.
利用向量共线定理可以解决点共线、线共点及两直线平行等问题，如要证A，B，C三点共线，只需证
＝λ
或
＝k
（λ，k∈R）等；
要证AB∥CD，只需证
（λ∈R）．也可解决相关求参问题．
已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1.若a与b共线，则（ ）
A．λ＝0 B．e2＝0
C．e1∥e2D．λ＝0或e1∥e2
【解析】 e1∥e2时，显然a与b共线；
若e1，e2不共线，设a＝kb，则有（1－2k）e1＋λe2＝0，于是
【答案】 D
向量线性运算的综合应用
图2－3－1
如图所示，已知▱ABCD的边BC，CD上的中点分别为K，L，且
＝e1，
＝e2，试用e1，e2表示
.
【思路探究】 解答本题可先将
视为未知量，再利用已知条件找等量关系，列方程（组），通过解方程（组）求出
【自主解答】 法一 设
＝x，则
x，
＝e1－
e1－
又
＝x，由
得x＋
x＝e2，解方程得x＝
e2－
e1，
即
e1，由
x，得
e1＋
e2.
法二 设
＝x，
＝y，则
y.
由
得
用2乘以②与①相减得
x－2x＝e1－2e2，解得
x＝
（2e2－e1），即
（2e2－e1），同理得y＝
（－2e1＋e2），即
1．由已知向量表示未知向量时，要善于利用三角形法则、平行四边形法则以及向量线性运算的运算律，还应重视平面几何定理的应用．
2．当用已知向量表示未知向量比较困难时，应考虑方程思想，利用方程的观点进行求解．
（2013·
大连高一检测）如图所示，D，E分别是△ABC中边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知
＝a，
＝b，试用a、b分别表示
、
【解】 由三角形中位线定理，知DE綊
BC，故
a.
＝－a＋b＋
a＝－
a＋b.
a－b＋
a＝
a－b.
数形结合思想在向量线性运算中的应用
（12分）如图所示，在△ABC中，
，DE∥BC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于N，设
＝b，用a，b表示向量
图2－3－3
【思路点拨】 利用DE∥BC等条件进行转化．
【规范解答】 ∵DE∥BC，
，1分
∴
b，
＝b－a.4分
由△ADE∽△ABC，得
（b－a）.6分
又∵AM是△ABC底边BC的中线，DE∥BC，
（b－a）.8分
＝a＋
（b－a）＝
（a＋b）.10分
∵△ADN∽△ABM，
（a＋b）.12分
建立已知向量与未知向量之间的关系时，应注意结合几何图形，利用平面几何中的一些结论，转化为相等向量、相反向量、共线向量及比例关系．
课堂小结
1．学习了数乘向量的概念以及数乘的运算律，明确了λa的大小、方向以及几何意义．
2．学习了向量共线的判定定理和性质定理．
3．掌握了向量加、减、数乘的线性运算，从而进行化简求值．
4．能够应用向量共线的判定定理证明三点共线或两直线平行．
1．设a是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的有（ ）
（1）a与－λa的方向相反；
（2）|－λa|≥|a|；
（3）a与λ2a方向相同；
（4）|－2λa|＝2|λ|·
|a|.
A．1个 B．2个C．3个D．4个
【解析】 由向量数乘的几何意义知（3）（4）正确．【答案】 B
2．下列各式计算正确的是（ ）
A．a＋b－（a＋b）＝2aB．2（a＋b）＋c＝2a＋b＋c
C．3（a－b）＋3（a＋b）＝0D．a＋b－（b－3c）＝a＋3c
【解析】 A，不正确，结果应为0；
B不正确，C不正确；
D正确，故选D.
3．（2013·
郑州高一检测）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若
＝b，则
＝（ ）
A.
bB.
bC.
bD.
b
【解析】 如图所示：
作OG∥EF交DC于G，由于DE＝EO，得DF＝FG.
又由AO＝OC得FG＝GC，于是
（－
b＋
a），
那么
＝（
b）＋
a）＝
b.【答案】 B
4．如果向量
＝i－2j，
＝i＋mj，其中向量i、j不共线，试确定实数m的值，使A、B、C三点共线．
【解】 ∵A、B、C三点共线，即
共线，∴存在实数λ使得
即i－2j＝λ（i＋mj）．∴i－2j＝λi＋λmj.
解得m＝－2，
即m＝－2时，A、B、C三点共线.
一、选择题
1．已知|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，若a＝λb，则λ的值为（ ）
A.
B．－
C.
D．－
【解析】 由于
，且a，b反向，所以a＝－
b，故选B.【答案】 B
2．如图，已知AM是△ABC的边BC上的中线，若
等于（ ）
（a－b）B．－
（a－b）C.
（a＋b）D．－
（a＋b）
【解析】 ∵M是BC的中点，∴
（a＋b）．【答案】 C
3．在四边形ABCD中，
＝－4a－b，
＝－5a－3b，且a、b不共线，则四边形ABCD的形状是（ ）
A．梯形 B．平行四边形C．菱形D．矩形
【解析】 ∵
＝a＋2b－4a－b－5a－3b＝－8a－2b＝2（－4a－b）＝2
∥
，又∵
不平行，所以四边形ABCD为梯形，故选A.【答案】 A
4．已知向量a、b，且
＝－5a＋6b，
＝7a－2b，则一定共线的三点是（ ）
A．A、B、DB．A、B、C
C．B、C、DD．A、C、D
【解析】
＝2a＋4b＝2（a＋2b）＝2
共线，∴A、B、D三点共线．【答案】 A
5．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若
＋λ
，则λ等于（ ）
B.
C．－
）＝
.所以λ＝
.【答案】 A
二、填空题
6．设a、b是两个非零向量，若8a－kb与－ka＋b共线，则实数k＝________.
【解析】 由题意知8a－kb＝λ（－ka＋b），
∴k＝±
2
.【答案】 ±
7．在▱ABCD中，
＝b，
＝3
，M为BC的中点，则
＝________.（用a、b表示）
【解析】 由
，得4
＝3（a＋b）．又∵
所以
（a＋b）－（a＋
b）＝－
b.【答案】 －
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