新人教版必修二高中数学空间点直线平面之间的位置关系教案Word文档格式.docx
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平面与平面之间的位置关系
2.2.1
直线与平面平行的判定
2.2.3
直线与平面平行的性质
2.2.2
2.2.4
平面与平面平行的判定平面与平面平行的性质
2.3.1
直线与平面垂直的判定
2.3.2
平面与平面垂直的判定
2.3.3
直线与平面垂直的性质
2.3.4
平面与平面垂直的性质
本章复习
§
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1平面
一、教材分析
平面是最基本的几何概念,教科书以课桌面、黑板面、海平面等为例,对它只是加以描述而不定义.立体几何中的平面又不同于上面的例子,是上面例子的抽象和概括,它的特征是无限延展性.为了更准确地理解平面,教材重点介绍了平面的基本性质,即教科书中的三个公理,这也是本节的重点.另外,本节还应充分展现三种数学语言的转换与翻译,特别注意图形语言与符号语言的转换.
二、教学目标
1.知识与技能
(1)利用生活中的实物对平面进行描述;
(2)掌握平面的表示法及水平放置的直观图
(3)掌握平面的基本性质及作用;
(4)培养学生的空间想象能力.
2.过程与方法
(1)通过师生的共同讨论,使学生对平面有了感性认识;
(2)让学生归纳整理本节所学知识.
3.情感、态度与价值观
使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间,进而增强了学习的兴趣.
三、重点难点
三种数学语言的转换与翻译,利用三个公理证明共点、共线、共面问题.
四、课时安排
1课时
五、教学过程
(一)导入新课
思路1.(情境导入)
大家都看过电视剧《西游记》吧,如来佛对孙悟空说:
“你一个跟头虽有十万八千里,但不会跑出我的手掌心”.结果孙悟空真没有跑出如来佛的手掌心,孙悟空可以看作是一个点,他的运动成为一条直线,大家说如来佛的手掌像什么?
对,像一个平面,今天我们开始认识数学中的平面.
思路2.(事例导入)
观察长方体(图1),你能发现长方体的顶点、棱所在的直线,以及侧面、底面之间的关系吗?
图1
长方体由上、下、前、后、左、右六个面围成.有些面是平行的,有些面是相交的;
有些棱所在的直线与面平行,有些棱所在的直线与面相交;
每条棱所在的直线都可以看成是某个面内的直线等等.空间中的点、直线、平面之间有哪些位置关系呢?
本节我们将讨论这个问题.
(二)推进新课、新知探究、提出问题
①怎样理解平面这一最基本的几何概念;
②平面的画法与表示方法;
③如何描述点与直线、平面的位置关系?
④直线与平面有一个公共点,直线是否在平面内?
直线与平面至少有几个公共点才能判断直线在平面内?
⑤根据自己的生活经验,几个点能确定一个平面?
⑥如果两个不重合的平面有一个公共点,它们的位置关系如何?
请画图表示;
⑦描述点、直线、平面的位置关系常用几种语言?
⑧自己总结三个公理的有关内容.
活动:
让学生先思考或讨论,然后再回答,经教师提示、点拨,对回答正确的学生及时表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.对有困难的学生可提示如下:
①回忆我们学过的最基本的概念(原始概念),如点、直线、集合等.
②我们的桌面看起来像什么图形?
表示平面和表示点、直线一样,通常用英文字母或希腊字母表示.
③点在直线上和点在直线外;
点在平面内和点在平面外.
④确定一条直线需要几个点?
⑤引导学生观察教室的门由几个点确定.
⑥两个平面不可能仅有一个公共点,因为平面有无限延展性.
⑦文字语言、图形语言、符号语言.
⑧平面的基本性质小结.
讨论结果:
①平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是最基本的概念(不加定义的原始概念),只能通过对它描述加以理解,可以用它定义其他概念,不能用其他概念来定义它,因为它是不加定义的.平面的基本特征是无限延展性,很像如来佛的手掌(吴承恩的立体几何一定不错).
②我们的桌面看起来像平行四边形,因此平面通常画成平行四边形,有些时候我们也可以用圆或三角形等图形来表示平面,如图2.平行四边形的锐角通常画成45°
,且横边长等于其邻边长的2倍.如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,我们常把它遮挡的部分用虚线画出来,如图3.
图2图3
平面的表示法有如下几种:
(1)在一个希腊字母α、β、γ的前面加“平面”二字,如平面α、平面β、平面γ等,且字母通常写在平行四边形的一个锐角内(图4);
(2)用平行四边形的四个字母表示,如平面ABCD(图5);
(3)用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示,如平面AC(图5).
图4图5
③下面我们总结点与直线、平面的位置关系如下表:
点A在直线a上(或直线a经过点A)
A∈a
元素与集合间的关系
点A在直线a外(或直线a不经过点A)
Aa
点A在平面α内(或平面α经过点A)
A∈α
点A在平面α外(或平面α不经过点A)
Aα
④直线上有一个点在平面内,直线没有全部落在平面内(图7),直线上有两个点在平面内,则直线全部落在平面内.例如用直尺紧贴着玻璃黑板,则直尺落在平面内.
公理1:
如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内.
这是用文字语言描述,我们也可以用符号语言和图形语言(图6)描述.
空间图形的基本元素是点、直线、平面.从运动的观点看,点动成线,线动成面,从而可以把直线、平面看成是点的集合,因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外,还可借用集合中的符号语言来表示.规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示,点用一个大写的英文字母表示,而平面则用一个小写的希腊字母表示.公理1也可以用符号语言表示:
若A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,则aα.
图6图7
请同学们用符号语言和图形语言描述直线与平面相交.
若A∈a,B∈a,且Aα,B∈α,则aα.如图(图7).
⑤在生活中,我们常常可以看到这样的现象:
三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等.
上述事实和类似的经验可以归纳为下面的公理.
公理2:
经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面.
如图(图8).
图8
公理2刻画了平面特有的性质,它是确定一个平面位置的依据之一.
⑥我们用平行四边形来表示平面,那么平面是不是只有平行四边形这么个范围呢?
不是,因为平面是无限延展的.直线是可以落在平面内的,因为直线是无限延伸的,如果平面是有限的,那么无限延伸的直线又怎么能在有限的平面内呢?
所以平面具有无限延展的特征.
现在我们根据平面的无限延展性来观察一个现象(课件演示给学生看).
问:
两个平面会不会只有一个公共点?
不会,因为平面是无限延展的,应当有很多公共点.正因为平面是无限延展的,所以有一个公共点,必有无数个公共点.那么这无数个公共点在什么位置呢?
可见,这无数个公共点在一条直线上.
这说明,如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.此时,就说两平面相交,交线就是公共点的集合,这就是公理3.如图(图9),用符号语言表示为:
P∈α,且P∈βα∩β=l,且P∈l.
图9
公理3告诉我们,如果两个不重合的平面有一个公共点,那么这两个平面一定相交,且其交线一定过这个公共点.也就是说,如果两个平面有一个公共点,那么它们必定还有另外一个公共点,只要找出这两个平面的两个公共点,就找出了它们的交线.
由此看出公理3不仅给出了两个平面相交的依据,还告诉我们所有交点在同一条直线上,并给出了找这条交线的方法.
⑦描述点、直线、平面的位置关系常用3种语言:
文字语言、图形语言、符号语言.
⑧“平面的基本性质”小结:
名称
作用
公理1
判定直线在平面内的依据
公理2
确定一个平面的依据
公理3
两平面相交的依据
(三)应用示例
思路1
例1如图10,用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.
图10
学生自己思考或讨论,再写出(最好用实物投影仪展示写的正确的答案).教师在学生中巡视,发现问题及时纠正,并及时评价.
解:
在
(1)中,α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.
在
(2)中,α∩β=l,aα,bβ,a∩l=P,b∩l=P.
变式训练
1.画图表示下列由集合符号给出的关系:
(1)A∈α,Bα,A∈l,B∈l;
(2)aα,bβ,a∥c,b∩c=P,α∩β=c.
如图11.
图11
2.根据下列条件,画出图形.
(1)平面α∩平面β=l,直线ABα,AB∥l,E∈AB,直线EF∩β=F,Fl;
(2)平面α∩平面β=a,△ABC的三个顶点满足条件:
A∈a,B∈α,Ba,C∈β,Ca.
答案:
如图12.
图12
点评:
图形语言与符号语言的转换是本节的重点,主要有两种题型:
(1)根据图形,先判断点、直线、平面的位置关系,然后用符号表示出来.
(2)根据符号,想象出点、直线、平面的位置关系,然后用图形表示出来.
例2已知直线a和直线b相交于点A.求证:
过直线a和直线b有且只有一个平面.
图13
证明:
如图13,点A是直线a和直线b的交点,在a上取一点B,b上取一点C,
根据公理2经过不在同一直线上的三点A、B、C有一个平面α,
因为A、B在平面α内,根据公理1,直线a在平面α内,
同理直线b在平面α内,即平面α是经过直线a和直线b的平面.
又因为A、B在a上,A、C在b上,所以经过直线a和直线b的平面一定经过点A、B、C.
于是根据公理2,经过不共线的三点A、B、C的平面有且只有一个,
所以经过直线a和直线b的平面有且只有一个.
求证:
两两相交且不共点的四条直线在同一平面内.
如图14,直线a、b、c、d两两相交,交点分别为A、B、C、D、E、F,
图14
∵直线a∩直线b=A,∴直线a和直线b确定平面设为α,即a,bα.
∵B、C∈a,E、F∈b,∴B、C、E、F∈α.
而B、F∈c,C、E∈d,∴c、dα,
即a、b、c、d在同一