信息经济学部分习题解答优质PPT.ppt

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,根据n个企业之间的对称性，可知必然成立。

代入上述反应函数可解得：

因此该博弈的纳什均衡是所有n个企业都生产产量。

6.（伯川德博弈）假定两个寡头企业之间进行价格竞争（而不是产量竞争），两个企业生产的产品是完全替代的，并且单位生产成本相同且不变，企业1的价格为p1，企业2的价格为p2。

如果p1p2，企业1的需求函数为0，企业2的需求函数为q2=a-p2；

如果p1=p2=p，市场需求在两个企业之间平分，即qi=（a-p）/2，什么是纳什均衡价格？

假设单位成本为c。

企业i的需求函数为从上述需求函数可以看出，企业i绝不会将其价格定的高于企业j。

由于对称性，可知博弈的均衡结果必然是两企业的价格相同，即p1=p2。

如果pic，企业i的利润i=qi（pi-c）=（pi-c）（a-pi）/20。

因此，只要企业i将其价格略微降低一点点（0），则可获得整个市场的需求，利润为（pi-c）（a-pi）（pi-c）（a-pi）/2。

另一企业也会采取相同的战略，直到其利润为0。

此时均衡的结果为p1=p2=c。

7.（产品有差异时的价格竞争）现在假定两个企业的成本并不完全相同，企业1的需求函数为q1（p1,p2）=a-p1+p2，业2的需求函数是q2（p1,p2）=a-p2+p1。

求两个企业同时选择价格时的纳什均衡。

两企业的利润函数分别为求各自价格的一阶偏导数，令其等于0，得：

分别得到两个企业的反应函数：

求解方程得：

9.（投票博弈）假定有三个参与人（1,2,3）要在三个项目（A,B,C）中投票选择一个。

三个参与人同时投票，不允许弃权，因此，战略空间为Si=A,B,C。

得票最多的项目被选中，如果没有任何其他项目得到多数票，项目A被选中。

参与人的支付函数如下：

u1（A）=u2（B）=u3（C）=2u1（B）=u2（C）=u3（A）=1u1（C）=u2（A）=u3（B）=0找出这个博弈的所有的纳什均衡。

所有战略组合的支付函数如下,纳什均衡为（A,A,A）、（A,B,A）、（B,B,B）、（A,C,C）、（C,C,C）,10.模型化下述划拳博弈：

两个老朋友在一起划拳喝酒，每个人有四个纯战略：

杆子、老虎、鸡、虫子。

输赢规则是：

杆子降老虎、老虎降鸡、鸡降虫子、虫子降杆子。

两个人同时出令、如果一个打败另一个，赢着的效用为1，输者的效用为-1；

否则，效用都为0。

写出这个博弈的支付矩阵。

这个博弈有纯战略纳什均衡吗？

计算出混合战略纳什均衡。

补充1：

求出下图中的博弈的混合战略纳什均衡解：

设参与人1采用战略T的概率为p；

参与人2采用战略L的概率为q。

分别计算两个参与人采用各自两个纯战略的期望效用，并令它们相等得：

2q=q+3（1-q）p+2（1-p）=2p求解得：

p=2/3，q=3/4,p,1-p,q,1-q,2完全信息动态博弈,1.参与人1（丈夫）和参与人2（妻子）必须独立地决定出门时是否带伞。

他们知道下雨和不下雨的可能性相同（即50:

50）。

支付函数如下：

如果只有一人带伞，下雨时带伞者的效用为-2.5，不带伞者（搭便车者）的效用为-3；

不下雨时带伞者的效用为-1，不带伞者的效用为0；

如果两人都带伞，下雨时每人的效用为-2，不下雨时每人的效用为1；

如果两人都不带伞，下雨时每人的效用为-5，不下雨时每人的效用为1。

给出以下两种情况下的扩展式表述（博弈树）和战略式表述：

（1）两人出门前都不知道是否会下雨，并且两人同时决定是否带伞（即每一方在决策时都不知道对方的决策）；

（2）两人出门前都不知道是否会下雨，但丈夫先决策，妻子在观察到丈夫是否带伞后才决定自己是否带伞；

（3）丈夫出门前知道是否会下雨，妻子不知道，但丈夫先决策，妻子后决策；

（4）同（3），但妻子先决策，丈夫后决策。

扩展式表述：

假设用N代表自然，H代表丈夫，W代表妻子。

（1）,

（2）,（3）,（4）,战略式表述：

（麻烦，自己写）,3.下面的两人博弈可以解释为两个寡头企业的价格竞争博弈，其中p是企业1的价格，q是企业2的价格。

企业1的利润函数是：

1=-（p-aq+c）2+q企业2的利润函数是：

2=-（q-b）2+p求解：

（1）两个企业同时决策时的（纯战略）纳什均衡

（2）企业1先决策时的子博弈精炼纳什均衡（3）企业2先决策时的子博弈精炼纳什均衡（4）是否存在某些参数值（a,b,c），使得每一个企业都希望自己先决策？

解:

（1）根据两个企业的利润函数，得各自的反应函数为：

求解得纳什均衡：

（2）企业1先决策根据逆推归纳法，先求企业2的反应函数代入企业1的利润函数，得再求企业1的反应函数，得,（3）企业2先决策根据逆推归纳法，先求企业1的反应函数代入企业2的利润函数，得再求企业2的反应函数，得再代入企业1的反应函数，得,（4）因为只有先决策的利润大于后决策的利润时企业才希望先决策，因此得两个企业都希望先决策的条件为,4.考虑如下的双寡头市场的战略性投资模型：

企业1和企业2目前情况下的单位生产成本是c=2。

企业1可以引进一项新技术使单位生产成本降低到c=1，该项技术需要的投资为f。

企业2可以观察到企业1的投资决策。

在企业1做出是否投资的决策之后，两个企业同时选择产量（库诺特博弈）。

因此，这是个两阶段博弈。

假定需求函数为p（q）=14-q，其中p是市场价格，q是两个企业的总产量。

问题：

当f取什么值时，企业1将投资引进新技术？

分企业1第一阶段未引进和引进投资两种情况，每种情况都用逆推归纳法进行分析。

假设企业1第一阶段未投资引进新技术。

此时两个企业的边际成本都为2，利润函数为：

一阶最优条件为求解可得,假设企业1第一阶段投资引进新技术。

此时两个企业的边际成本下降到1，利润函数为：

一阶最优条件为求解可得故当时，引进新技术,8.下表所示博弈重复两次，第二次开始之前第一次的行动能被双方观察到。

假定参与人对未来收入不贴现。

支付向量（4,4）能否作为子博弈精炼均衡结果在第一阶段出现（假定参与人只选择纯战略）？

如果能，请给出支持这一结果的战略；

如果不能，解释为什么。

上述静态博弈有两个纯战略纳什均衡（T,L）和（M,C）。

由于战略组合（B,R）实现的收益（4,4）对参与人2来说已经是最理想的，所以参与人2不会有偏离动机，只有参与人1有偏离动机，因此可以设计如下制约参与人1行为的触发战略：

参与人1：

第一阶段选B；

第二阶段选T参与人2：

第一阶段选R；

第二阶段，如果第一阶段的结果是（B,R），则选L，否则选C。

三寡头垄断市场有倒转的需求函数为p（Q）=a-Q，其中Q=q1+q2+q3，qi是厂商i的产量。

每一个厂商生产的边际成本为常数c，没有固定成本。

如果厂商1先选择q1，厂商2和3观察到q1后同时选择q2和q3，问它们各自的产量是多少？

用逆推归纳法先分析第二阶段厂商2和厂商3的静态博弈，再讨论第一阶段厂商1的选择。

三个厂商的利润函数为：

先分析第二阶段厂商2和3的决策。

最优一阶条件为：

联立解得厂商2和3对厂商1产量的反应函数为：

再分析第一阶段的决策。

将反应函数代入厂商1的利润函数得：

最优一阶条件,补充2：

某人正在打一场官司，不请律师肯定会输，请律师后的结果与律师的努力程度有关。

假设当律师努力工作努力工作（100小时）时有50%的概率能赢，律师不努力工作（10小时）则只有15%的概率能赢。

如果诉讼获胜可得到250万元赔偿，失败则没有赔偿。

因为委托方无法监督律师的工作，因此双方约定根据结果付费，赢官司律师可获赔偿金额的10%，失败则律师一分钱也得不到。

律师的效用函数为m-0.05e，其中m是报酬，e是努力小时数，且律师有机会成本5万元。

求这个博弈的均衡。

输（0.85）,赢（0.15）,输（0.5）,赢（0.5）,3不完全信息静态博弈,2.考虑如下贝叶斯博弈：

（1）自然决定支付矩阵如表a或b，概率分别为和1-；

（2）参与人1知道自然选择了a还是b，但参与人2不知道；

（3）参与人1和参与人2同时行动（参与人1选择T或B，参与人2选择L或R）。

给出这个博弈的扩展式表述（博弈树）并求纯战略贝叶斯纳什均衡。

表a,表b,解：

在这个静态贝叶斯博弈中，参与人1的战略是私人信息类型的函数：

当自然选择表a时选择T，当自然选择表b时选择B。

参与人2的战略则根据期望利润最大化决定。

参与人2选择L的期望收益为0.51+0.50=0.5，选择R的期望收益为0.50+0.52=1，因此参与人选择R。

3.在3.2节的第2部分中，假定参与人1的成本也有两种可能，分别以相同的概率取c1=3/4和c1=5/4，求贝叶斯均衡产量。

4.两个企业同时决定是否进入一个市场。

企业i的进入成本i0,）是私人信息，来自独立的分布函数P（i）（密度函数p（.）严格大于0）。

如果只有一个企业进入，进入企业i的利润函数为m-i；

如果两个企业都进入，企业i的利润函数为d-i；

如果没有企业进入，利润为0。

假定m和d是共同知识，且md0。

（1）指出这个博弈与3.2节第二部分的相同之处和不同之处；

（2）计算贝叶斯均衡并证明均衡是唯一的。

根据问题的假设，该博弈的得益矩阵为：

假设企业1采用如下的临界值战略：

当1w时，采用“进入”战略；

当1w时，采用“不进入”战略。

假设企业2采用如下的临界值战略：

当2t时，采用“进入”战略；

当2t时，采用“不进入”战略。

因此企业1采用进入战略的概率是p（w），不进入的概率是1-p（w）；

因此企业2采用进入战略的概率是p（t），不进入的概率是1-p（t）；

从企业1的角度来看，选择进入和不进入的期望收益分别为：

p（t）（d-1）+1-p（t）（m-1）=p（t）（d-m）+m-1p（t）0+1-p（t）0=0当进入的期望收益大于不进入的期望收益时企业1会采用进入。

所以企业1的进入条件是：

p（t）（d-m）+m-10或1p（t）（d-m）+m这样就得到企业1进入的临界值：

w=p（t）（d-m）+m,从企业2的角度来看，选择进入和不进入的期望收益分别为：

p（w）（d-2）+1-p（w）（m-2）=p（w）（d-m）+m-2p（w）0+1-p（w）0=0当进入的期望收益大于不进入的期望收益时企业2会采用进入。

所以企业2的进入条件是：

p（w）（d-m）+m-20或2p（w）（d-m）+m这样就得到企业2进入的临界值：

t=p（w）（d-m）+m在已知分布函数为P（i）的情况下，可从联立方程求得t和w，以这两个临界值构造的临界值战略，就是该博弈的贝叶斯均衡。

用柠檬原理和逆向选择的思想解释老年人投保困难的原因。

解：

“柠檬原理”是在信息不完美且消费者缺乏识别能力的市场中