普通高等学校招生全国统一考试模拟试题衡水金卷调研卷文数三附答案精品Word格式.docx

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即

5.命题：

若复数（为虚数单位），则复数对应的点在第二象限，命题：

若复数满足为实数，则复数一定为实数，那么（）

A.是真命题B.是真命题

C.是真命题D.是假命题

【解析】

复数对应的点在第二象限

命题为真命题

设，则

命题为假命题

则是真命题

6.执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（）

A.80B.96C.112D.120

【解析】由题设可知，输出时，

第一次循环，，

第二次循环，，

第三次循环，，

第四次循环，，

第五次循环，，

循环结束，此时输出

7.已知函数，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象对应的函数为奇函数，则的最小值为（）

【答案】C

【解析】根据题意可得：

为奇函数，

8.《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”.在如图所示的阳马中，侧棱底面，从，，，四点中任取三点和顶点所形成的四面体中，任取两个四面体，则其中一个四面体为鳖臑的概率为（）

【解析】从，，，四点中任取三点和顶点所形成个四面体

为：

其中四面体为鳖臑

在个四面体中任取个有种情况

其中一个四面体为鳖臑的情况有种

则其中一个四面体为鳖臑的概率

9.如图，为经过抛物线焦点的弦，点，在直线上的射影分别为，，且，则直线的倾斜角为（）

【解析】由抛物线定义可知：

设，

作交于，则

在中，

直线的倾斜角为

10.一个几何体的三视图如图所示，且该几何体的表面积为，则图中的（）

A.1B.C.D.

【解析】由三视图可知，该几何体的直观图如图所示：

故该几何体的表面积为

解得

11.已知数列满足，且对任意的都有，则的取值范围为（）

【解析】数列满足，

当时，

当时，，则

数列为首项为，公比为的等比数列

则的取值范围为

点睛：

本题主要考查了求数列通项和数列求和的问题，由递推关系，当给出前项的积（或和）的形式时，自需给出前项的形式进行求解，构造新的数列是等差（或等比）数列，利用公式求和，本题较为基础。

12.若存在，不等式成立，则实数的最大值为（）

A.B.C.4D.

当时，，单调递减

当时，，单调递增

存在，成立

本题利用导数求解不等式问题，在解答此类问题时的方法可以分离参量，转化为最值问题，借助导数，求出新函数的单调性，从而求出函数的最值，解出参量的取值范围，本题较为基础。

第Ⅱ卷

二、填空题：

本题共4小题，每小题5分.

13.已知是等差数列，是其数列的前项和，且，，则__________．

【答案】

【解析】设等差数列的公差为，

解得，

故

14.已知圆的方程为，则圆上的点到直线的距离的最小值为__________．

【解析】由题意得，圆心到直线的距离

则圆上的点到直线的距离的最小值为

15.观察三角形数组，可以推测：

该数组第八行的和为__________．

【答案】1296

【解析】第一行的和为，第二行的和为

第三行的和为

第四行的和为...，

第八行的和为

16.已知双曲线：

，曲线：

，是平面内一点，若存在过点的直线与，都有公共点，则称点为“差型点”.下面有4个结论：

①曲线的焦点为“差型点”；

②曲线与有公共点；

③直线与曲线有公共点，则；

④原点不是“差型点”.

其中正确结论的个数是__________．

【答案】3

【解析】①的左右焦点分别为，，过焦点的直线或显然与两曲线都有公共点，故正确

②的渐近线方程为，当，时，为，

此时与不相交，则与不相交，

根据对称性可知，曲线与无公共点，故错误

③正确

④考虑过原点与曲线有公共点的直线或，

显然直线与无公共点

若直线为，则由方程组

可得：

，矛盾

直线与无公共点，因此原点不是“差型点”，故正确

故其中正确结论的个数是个

本题借助新定义内容考查圆锥曲线的综合题目，依据条件的定义，计算出直线与曲线的位置关系，可以联立直线方程与曲线方程求解根的情况来进行判定，本题较为简单，只要按照题目要求结合解析几何知识进行解答。

三、解答题：

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知的外接圆半径为，内角，，的对边分别为，，，且.

（1）若，求角；

（2）若为锐角，，求的面积.

（1）；

（2）.

【解析】试题分析：

（1）由正弦定理化简，计算出，利用，算出，从而求出角

（2）由余弦定理和，求出，利用面积公式求出结果

解析：

（1）∵，

由正弦定理，可得，即.

∵，∴.

又（为外接圆半径），，，

∴，∴或（舍）.

∴.

（2）由

（1）知，或，

又为锐角，∴.

由余弦定理，可得，

即.

∵，∴，

∴，

∴.

18.已知某地区中小学生人数和近视情况如图1和图2所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生作为样本进行调查.

（1）求样本容量和抽取的高中生近视人数分别是多少？

（2）在抽取的名高中生中，平均每天学习时间超过9小时的人数为，其中有12名学生近视，请完成高中生平均每天学习时间与近视的列联表：

平均学习时间不超过9小时

平均学习时间超过9小时

总计

不近视

近视

（3）根据

（2）中的列联表，判断是否有的把握认为高中生平均每天学习时间与近视有关？

附：

，其中.

（1）36；

（2）见解析；

（3）见解析.

（1）由条形统计图和扇形统计图求出学生总数，从而求出抽取的高中生人数

（2）结合题目信息计算填表（3）运用公式求出的值，作出比较得结论

（1）由图1可知，高中生占学生总数的，

∴学生总数为人，

∴样本容量为.

∵抽取的高中生人数为人，

由于近视率为，

∴抽取的高中生近视人数为人.

（2）列联表如下：

18

6

24

12

36

42

60

（3）由列联表可知，，

∵，

∴没有的把握认为高中生平均每天学习时间与近视有关.

19.如图，在三棱锥中，平面，，，，为的中点，在棱上，且.

（1）求证：

；

（2）求三棱锥的体积.

（1）见解析；

（1）取的中点，连接，,由已知条件证得，，得平面，是的中点得证

（2）利用等体积法，转化顶点和底面，求出和，由计算出结果

（1）取的中点，连接，.

∵为的中点，∴.

∵平面，

∴平面，∴.

又∵，，

又∵是的中点，

（2）由图可知，三棱锥体积与三棱锥体积相等.

∵，，，

∴平面.

∵，且，

在中，，

∴，

即三棱锥的体积为.

20.已知椭圆的左，右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点.

（1）若直线与椭圆的长轴垂直，，求椭圆的离心率；

（2）若直线的斜率为1，，求椭圆的短轴与长轴的比值.

（1）结合条件直线的方程为，计算出椭圆离心率

（2）设的方程为，联立直线与椭圆方程，，结合算出结果

（1）由题意，直线的方程为,

故.

（2）设，则直线的方程为，

联立，

得，

.

设，，

则，.

∴

∴，∴，

∴，即椭圆的短轴与长轴之比为.

21.已知曲线在点处的切线斜率为.

（1）求函数的极小值；

（2）当时，求证：

（1）的极小值为；

（2）见解析.

（1）求导得，由在点处的切线斜率为求出，即可求出极值

（2）由

（1）得最小值，求出的最大值小于，即可证明

（1）由题得，的定义域为，

，∴.

∵曲线在点处的切线斜率为，

∴，∴.

∴，，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

∴的极小值为.

（2）由

（1）可知，在处取得最小值0，

则，

∴在区间上单调递减，

从而，

本题考查了利用导数求函数的极小值，只需结合已知条件求出导数，得出参量的值，给出单调性即可；

在证明不等式时将其转化为最值问题，最小值要大于最大值，理解题目的意图。

请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：

坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线，的极坐标方程分别为，.

（1）将直线的参数方程化为极坐标方程，将的极坐标方程化为参数方程；

（2）当时，直线与交于，两点，与交于，两点，求.

（1）直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数）；

（1）利用公式将直线的参数方程化为极坐标方程，将的极坐标方程化为参数方程

（2）利用参数求解两点之间的距离

（1）由直线的参数方程（为参数），

得直线的极坐标方程为.

由曲线的极坐标方程，

得直角坐标方程为，

∴曲线的参数方程为（为参数）.

（2）当时，直线的极坐标方程为.

当时，，，

23.选修4-5：

不等式选讲

已知函数的最小值为（，，为正数）.

（1）求的最小值；

（2）求证：

（1）由题意，得，根据柯西不等式求出结果

（2）由基本不等式得，代入证明结果

（1）∵（当且仅当时取等号），

由题意，得.

根据柯西不等式，可知，

∴的最小值为36.

（2）∵，，，

∴，