景区灭火的数学模型Word文件下载.docx
《景区灭火的数学模型Word文件下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《景区灭火的数学模型Word文件下载.docx（34页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
联系电话
QQ
270737813
1142581599
摘要
本文以景区防火问题为背景，在通过多种方式插值方法修补残缺等高线的基础上，结合等高线高程信息建立景区三维地形模型并巧妙求出其地表总面积，最后通过图论模型制定最优灭火路线，达到及时控制和消灭火情的目的。
问题一中，面对有5处需要修补的残缺等高线图，我们先根据各处残缺是否垂直于X轴的不同特点，通过人机交互分式将5处残缺线分离出来，并对原图进行去噪处理，进而将问题转换为一元插值问题。
根据问题特点，我们选择了三次样条插值和三次多项式插值，并对二者插值结果进行比较，发现三次多项式插值效果更好，因此我们选择三次多项式插值结果作为最终修补结果。
最后我们将分区域修补好的等高线与去噪后的等高线重叠并保存，便可得到修补完全的等高线图。
问题二中，我们在问题一得到完整等高线图的基础上，首先将8种高程信息不同的等高线从完整等高线种分离出来，并通过坐标变换，将地图上已知等高线的各点坐标转换为实际点坐标。
这里考虑DTM（DigitalTerrainModel）——数字地面模型，由于高程值的集合是已知的，每一条等高线对应一个已知的高程值，可以得出其等高线模型，再使用MATLAB工具箱对多种不同插值方法得到的三维图进行比较，最后通过立方插值和最近点插值的混合插值，得到了更多地表曲面的点再进行拟合处理，进而得到了较为理想的景区三维地形模型。
对于景区地表面积的求解，我们可以通过对景区地表曲面进行曲面积分进行求解，但这种方式需要景区地表曲面表达式，在多项式拟合效果不理想的情况下，我们采用了三角网模型（TIN），以直代取，巧妙合理而又不失准确性的求出了景区地表面积
。
问题三我们将确定最优的灭火路线问题转换为求解景区地表曲面指定两点之间的最短曲线段问题。
我们引入图论中赋权图的概念，将曲面上任意两点间曲线段的长度作为权值，赋给其对应投影所对应的网格的边，进而将求三维立体空间内最短曲线段的问题转换为求平面赋权图网络中指定顶点间具有最小权的路问题，采用迪克斯特拉（Dijkstra）算法，按距A点从近到远的顺序，依次求得A点到图中各顶点的最短路和距离，直至B点。
但计算量是远超计算机所能承受的，为了减少计算机计算量，我们采用了逐步优化的方法，对512*512个网格，先以8个网格为边长，64个小网格为一个大网格，进行求解，进而对每个大网格的路线进行二次优化，以减少误差。
首先利用Excel处理数据，通过C++编写程序，最后得到了平面赋权图中A点到B点具有最小权的路，并利用MATLAB将其对应的曲线在三维地表曲面中表示了出来。
关键词：
等高线DTM图论Dijkstra算法三角网C++MATLAB
一、问题提出
1.知识背景
随着时代和经济的发展，森林公园等自然景区逐渐成为了人们出游时一个不可或缺的选择，防火等安全问题也显得日益重要。
本题基于景区防火的问题，要求在补全等高线的基础上建立其三维地形图，并且通过构建数学模型制定最优灭火路线，达到及时控制和消灭火情的目的。
2.需要解决的问题
现旅游管理部门想在景区发生火灾时能及时控制和消灭火情，请你利用附件提供的数据通过建立数学模型解决下面三个问题：
（1）本题中给出的等高图存在局部破损，利用数学模型修补好该等高图。
（2）在修补好等高图的基础上，通过数学模型构建出景区的三维地形图，同时计算其地表面积。
（3）等高图中B点发生火灾，从固定的消防站A出发去灭火，通过建立模型确定最优的灭火路线。
附件：
景区地形等高图
说明：
1.该图水平及竖直方向以10m每像素为单位，山高以50m为单位。
2.实际图形见附件，为512×
512像素。
二.基本假设
1.不考虑曲面坡度等其他因素对于救火员速度的影响，救火员在景区地表行走时速度恒定，即在空间内任意两点内救火员速度均保持不变。
2.救火员接收到报警电话后就立即出发，景区表面每一处均不会阻碍救火员行进。
3.计算面积时以50米海拔处为景区地平线。
3.符号说明
符号
意义
单位
备注
网格的x坐标
无
全局变量
网格的y坐标
网格的z坐标
S
景区地表总面积
G
赋权图
V
顶点集
E
边的集合
W
邻接矩阵
到
这条边是否在最短路径上
0-1矩阵
结点
对应的空间曲线长度
m
对应的空间曲线d对应的权值
D
两个顶点
之间具有的权
4．问题分析
4.1问题背景
随着我国的旅游行业进一步发展，选择观赏自然景区的人越来越多，在对一些旅游景区的消防安全以及灭火救援的要求上也有所提高。
制定合理的灭火路线，及时控制和消灭火情，从而达到保障游客人身安全和保护自然景观的目的，直接影响了我国社会的安定和谐，同时对旅游经济的快速发展也具有重大意义。
4.2分析问题
在问题一中，将补全等高线转化为一元插值问题，利用插值法进行曲线修补，最终得到完整的等高图。
在问题二中，需要在第一问得到的完整等高线基础上得到景区地形三维模型，我们可以采用二维插值的方式进行求解，对于表面积的求解，我们可以采用对曲面进行曲面积分的方法或采用三角网模型，以曲代直，进而得到景区地表表面积。
在问题三中，需要我们制定最优的救火路线，我们可以转换为求解地表曲面上A点到B点的之间最短曲线段的问题，进而可以将曲面进行投影，引入赋权图概念，将最短曲线段的求解进一步转换为投影平面内求解对应两点的最小权路的问题。
4.3数据的前期处理
由于5处缺口分别分布在4条等高线上，所以要对图像进行预处理，即将五处缺口分离为4张新的图像。
对于图像分割，我们可以采取灰度阈值分割法、基于区域的分割方法以及基于边缘的分割方法等等，但本题给出的图像较为简单，同时考虑到效率问题，所以采用人机交互的方法，利用画图板的橡皮擦手动分割图像。
分割后可以得到以下4张图片。
图4.1图4.2图4.3图4.4
5．模型的建立与求解
5.1问题一模型建立与求解
5.1.1问题一的分析
由数据的前期处理，我们将五处缺口分别分散在四张图片中，图中只保留了缺口部分的黑点。
然后利用MATLAB中的imread函数可以读出其灰度矩阵，则对等高线的补全就转化为了一元插值问题，利用插值法可以分别补全每个缺口，最后将得到的四张修补后的图片与最初的缺失等高图进行图层重叠，重叠后可得到完整的等高图。
5.1.2问题一模型的建立
由问题知我们需要读出每张图片的灰度矩阵，然后选择当中部分点进行插值法，首先采用人为选点的方法，但在同一图片选取不同组的点进行插值，对结果进行比较后发现，人为选点的方法具有很大的主观性，会产生较大的误差，所以该方法不可取。
于是利用图片中保留的所有点，即插值的对象为整个矩阵。
我们分别采用对线性插值、三次多项式插值、三次样条插值等多种方法进行插值运算，对曲线进行修补，比较其插值结果，发现三次多项式插值的结果更加合理，所以本问题全部采用三次多项式插值的方法。
5.13问题一的模型求解
对等高线的补全可以转化为一元插值问题，利用MATLAB中imread函数读出每张图片的灰度矩阵，选取合适的插值方法即可解决。
1.计算思路：
经过插值结果的比较，发现三次多项式插值更加适合本题，用MATLAB中的imread函数读出每张图片的灰度矩阵，然后运用三次多项式插值，可以补全图片中的缺失部分，其余剩下的图片采取同样的方法可以补全缺失部分，最后将处理后的图片与原等高图在同一窗口中显示，即得补全的等高图。
2.计算步骤：
Step1：
利用imread函数读出图1的灰度矩阵；
Step2：
图4.1缺失部分可以由灰度矩阵得到的坐标点数据进行三次多项式插值得到，图一的补全完成；
Step3：
对图4.2的操作重复前面两步即可完成；
Step4：
图4.3、图4.4首先重复第一步，但由于图中缺失部分附近的等高线弯曲程度太大，导致灰度矩阵在读取时无法一一对应，所以在读出其灰度矩阵后要先对矩阵进行转置，然后重复第二步，图三图四的补全完成；
Step5：
图4.1-4.4的补全均完成，将其与原等高图在同一窗口显示，得到最终补全的等高图。
3.计算结果：
经过上述的处理后，将最终补全得到的等高图保存为bmp，单色格式，图片如下（程序见附录）：
图5.1.1三次样条插值结果图5.1.2三次多项式插值结果（效果更好）
由多种方式插值得到的图像可知，相比于三次样条插值，三次多项式插值得到的完整等高线更为光滑，效果也更好。
因此最终我们选择三次多项式插值的结果作为等高线的补全图。
5.1.3问题一结果的分析与验证
对于补全后的等高图，我们可以采用分析点的差异度来判断曲线的补全是否合理。
对于点的分析包括该点的位置和其对应的切向量，然后对两个点进行切向量和差异函数的计算，差异函数值越低则表示图像中的两个点越接近事实。
5.2.1问题二模型的分析
问题要求我们在问题一的基础上，根据补全的等高线图建立景区地表的三维地形图，并求出景区地表面积。
通过第一问对于等高线的修补，结合等高线的高程信息，我们可以得到景区地表的离散坐标，即我们可以用一组有序数值阵列形式表示地面高程信息。
但我们所得到的点比较稀疏，数量还远远不能拟合出地表曲面。
因此，我们需要进行二维插值，进行二维插值模型。
根据已有点信息插值得到更多地表曲面上的点，然后MATLAB进行拟合曲面。
得到拟合后的地表曲面后，意味着我们得到了地表曲面上所有点的坐标信息以及曲面的表达式，紧接着我们便建立三角形网模型，采用以直代取，将曲面面积用足够多的小三角形平面面积去表示，最后得到的三角形面积总和即为景区地表曲面面积。
而我们欲得到景区地表三维模型，首先应根据像素与比例尺求得地图中各等高线的实际高度，我们首先将修补好的等高线图根据各等高线高程不同进行分割，进而采用MATLAB循环赋值的方法进行数据的前期处理（程序见附录）。
等高线1-8如下图所示：
5.2.2问题二模型建立
首先我们先采用MATLAB内部二维插值工具CurveFittingTool中的多种插值方式‘Cubic’、‘v4’，以及可以求出曲面表达式的‘polynomial’等插值方法进行求解，求得的三维地形效果差不多，但是根据可以求出曲面表达式的‘polynoimal’插值方法得到的曲面效果却不理想，因为‘polynoimal’插值法x,y最高次为二元五次表示式，故我们用‘CustomEquation’自拟表达式来提高x,y次数，发现随着次数的增高，效果并没有变得更理想。
图5.2.1Cubic插值图5.2.2V4插值
图5.2.3二元五次表达式拟合曲面图5.2.4二元六次表达式拟合曲面
因此我们需要重新选取方法，考虑到求解表面积需要插值点坐标以及本问题特点，我们根据部分等高线高程进行二维插值，而二维插值分为结点插值与散乱结点插值，因本问题中曲面上的点并不是全部落在网络节点上，因此我们采用散乱结点插值，即本问题可简化为：
已知
个结点
，求点
处的插值
对于上述问题。
MATLAB中提供了插值函数gridata，其格式为：
其中，x,y,z均为n维向量，指明所给数据点的横坐标
升级会员 