普通高等学校招生全国统一考试湖南卷数学试题 文科解析版Word文档格式.docx

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3、设xR，则“x>

1”是“>

1”的（）

A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】试题分析：

.由题根据明天的关系进行发现即可得到所给两个明天的关系；

由题易知“x>

1”可以推得“>

1”，“>

1”可以得到“x>

1”，所以“x>

1”的充要条件，故选C.

命题与条件

4、若变量x、y满足约束条件，则z=2x-y的最小值为（）

A、-1B、0C、1D、2

【答案】A

简单的线性规划

5、执行如图2所示的程序框图，如果输入n=3，中输入的S=（）

A、B、C、D、

程序框图

6、若双曲线的一条渐近线经过点（3，-4），则此双曲线的离心率为

A、B、C、D、

由题利用双曲线的渐近线方程经过的点，得到a、b关系式，然后求出双曲线的离心率即可．

因为双曲线的一条渐近线经过点（3，-4），

故选D.

双曲线的简单性质

7、若实数a，b满足，则ab的最小值为（）

A、B、2C、2D、4

基本不等式

8、设函数f（x）=ln（1+x）-ln（1-x），则f（x）是（）

A、奇函数，且在（0,1）上是增函数B、奇函数，且在（0,1）上是减函数

C、偶函数，且在（0,1）上是增函数D、偶函数，且在（0,1）上是减函数

求出函数的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．

函数f（x）=ln（1+x）-ln（1-x），函数的定义域为（-1，1），函数f（-x）=ln（1-x）-ln（1+x）=-[ln（1+x）-ln（1-x）]=-f（x），所以函数是奇函数．

，已知在（0,1）上，所以f（x）在（0,1）上单调递增，故选A.

利用导数研究函数的性质

9、已知点A,B,C在圆上运动，且ABBC，若点P的坐标为（2，0），则的最大值为（）

A、6B、7C、8D、9

由题根据所给条件不难得到该圆是一AC位直径的圆，然后根据所给条件结合向量的几何关系不难得到，易知当B为（-1，0）时取得最大值.

由题意，AC为直径，所以,已知B为（-1，0）时，取得最大值7，故选B.

直线与圆的位置关系、平面向量的运算性质

10、某工作的三视图如图3所示，现将该工作通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）

A、B、C、D、

三视图、基本不等式求最值、圆锥的内接长方体

二、填空题：

本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11、已知集合U=，A=,B=,则A（）=_____.

【答案】{1，2，3}.

集合的运算

12、在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为，则曲线C的直角坐标方程为_____.

【答案】

将极坐标化为直角坐标，求解即可．

曲线C的极坐标方程为，它的直角坐标方程为，

故答案为：

．

圆的极坐标方程

13.若直线3x-4y+5=0与圆相交于A,B两点，且（O为坐标原点），则r=_____.

直线3x-4y+5=0与圆交于A、B两点，∠AOB=120°

，则△AOB为顶角为120°

的等腰三角形，顶点（圆心）到直线3x-4y+5=0的距离为，代入点到直线距离公式，可构造关于r的方程，解方程可得答案．

如图直线3x-4y+5=0与圆交于A、B两点，O为坐标原点，且∠AOB=120°

，则圆心（0，0）到直线3x-4y+5=0的距离为，.故答案为2.

直线与圆的位置关系

14、若函数f（x）=|-2|-b有两个零点，则实数b的取值范围是_____.

【答案】0＜b＜2

函数零点

15、已知>

0,在函数y=2sinx与y=2cosx的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则=_____.

【答案】

三角函数图像与性质

三、解答题：

本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.（本小题满分12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：

从装有2个红球和1个白球的甲箱与装有2个红球和2个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖。

（I）用球的标号列出所有可能的摸出结果；

（II）有人认为：

两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？

请说明理由。

（I）

（II）说法不正确；

（I）利用列举法列出所有可能的结果即可；

（II）在（I）中摸出的2个球都是红球的结果数，然后利用古典概率公式计算即可得到其对应的概率，什么镇江概率大于不中奖概率是错误的；

试题解析：

（I）所有可能的摸出结果是：

（II）不正确，理由如下：

由（I）知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为

共4种，所以中奖的概率为，不中奖的概率为，故这种说法不正确。

概率统计

17.（本小题满分12分）设的内角的对边分别为。

（I）证明：

；

（II）若，且为锐角，求。

（I）略；

（II）

（I）由题根据正弦定理结合所给已知条件可得，所以；

（II）根据两角和公式化简所给条件可得，可得，结合所给角B的范围可得角B,进而可得角A,由三角形内角和可得角C.

（I）由及正弦定理，得，所以。

（II）因为

有（Ｉ）知，因此，又Ｂ为钝角，所以，

故，由知，从而，

综上所述，

正弦定理及其运用

18.（本小题满分12分）如图4，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，分别是的中点。

平面平面；

（II）若直线与平面所成的角为，求三棱锥的体积。

（II）.

（I）首先证明，，得到平面，利用面面垂直的判定与性质定理可得平面平面；

（II）设AB的中点为D,证明直线直线与平面所成的角，由题设知，求出棱锥的高与底面面积即可求解几何体的体积.

（I）如图，因为三棱柱是直三棱柱，

所以，又是正三角形的边的中点，

所以，因此平面，而平面，

所以平面平面。

（II）设的中点为，连接，因为是正三角形，所以，又三棱柱是直三棱柱，所以，因此平面，于是直线与平面所成的角，由题设知，

所以，

在中，，所以

故三棱锥的体积。

柱体、椎体、台体的体积；

面面垂直的判定与性质

19.（本小题满分13分）设数列的前项和为，已知，且

，

（II）求。

（I）当时，由题可得，，两式子相减可得，即，然后验证当n=1时，命题成立即可；

（II）通过求解数列的奇数项与偶数项的和即可得到其对应前n项和的通项公式.

（I）由条件，对任意，有，

因而对任意，有，

两式相减，得，即，

又，所以，

故对一切，。

（II）由（I）知，，所以，于是数列是首项，公比为3的等比数列，数列是首项，公比为3的等比数列，所以，

于是

从而，

综上所述，。

数列递推关系、数列求和

20.（本小题满分13分）已知抛物线的焦点F也是椭圆

的一个焦点，与的公共弦长为，过点F的直线与相交于两点，与相交于两点，且与同向。

（I）求的方程；

（II）若，求直线的斜率。

（I）；

（I）由题通过F的坐标为，因为F也是椭圆的一个焦点，可得，根据与的公共弦长为，与都关于轴对称可得，然后得到对应曲线方程即可；

（II）设根据，可得

，设直线的斜率为，则的方程为，联立直线与抛物线方程、直线与椭圆方程、利用韦达定理进行计算即可得到结果.

（I）由知其焦点F的坐标为，因为F也是椭圆的一个焦点，所以①；

又与的公共弦长为，与都关于轴对称，且的方程为，由此易知与的公共点的坐标为，②，

联立①②得，故的方程为。

（II）如图，设

因与同向，且，

所以，从而，即，于是

③

设直线的斜率为，则的方程为，

由得，由是这个方程的两根，④

由得，而是这个方程的两根，

，⑤

将④、⑤代入③，得。

即

所以，解得，即直线的斜率为

直线与圆锥曲线的位置关系；

椭圆的性质

21.（本小题满分13分）函数，记为的从小到大的第个极值点。

数列是等比数列；

（II）若对一切恒成立，求的取值范围。

（I）由题，令，求出函数的极值点，根据等比数列定义即可得到结果；

（II）由题问题等价于恒成立问题，设，然后运用导数知识得到，所以，求得，得到a的取值范围；

令，由，得，即，

而对于，当时，

若，即，则；

因此，在区间与上，的符号总相反，于是当

时，取得极值，所以，此时，

，易知，而

是常数，

故数列是首项为，公比为的等比数列。

（II）对一切恒成立，即恒成立，亦即

恒成立，

设，则，令得，

当时，，所以在区间上单调递减；

当时，，所以在区间上单调递增；

因为，且当时，所以

因此，恒成立，当且仅当，解得，

故实数的取值范围是。

恒成立问题；

等比数列的性质