高山滑雪的建模问题Word文件下载.doc

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参赛密码

（由组委会填写）

参赛队号及题号2013061A

目录

摘要 3

1.问题重述 4

1.1问题背景 4

1.2题目中的相关信息 4

1.3需要解决的问题 4

2.问题分析 5

2.1对问题1进行分析 5

2.2对问题2进行分析 6

2.3对问题3进行分析 6

2.4对问题4进行分析 6

3.模型假设 7

4.符号说明与名词解释 7

5.问题模型的建立与求解 9

5.1问题1求解 9

5.1.1雪地几何描述 9

5.1.2滑雪板的几何描述 10

5.1.3滑雪板—硬雪道的接触模型的建立 12

5.1.4单刚体人—风阻模型的建立 14

5.1.5模型的求解 15

5.2问题2求解 19

5.2.1问题2模型的建立 19

5.3问题3模型的建立与求解 23

5.3.1宣雪道雪痕深度与滑板速度关系模型的建立 23

5.3.2宣雪道摩擦阻力模型的建立 25

5.3.3运动模型的建立 26

5.4问题4的模型的建立与求解 27

5.4.1骑自行车空气阻力模型的建立 27

5.4.2自行车滚动摩擦力模型的建立 28

5.4.2自行车运动模型的建立与求解 29

6模型评价和推广 30

6.1模型的优点 30

6.2模型的不足 30

6.3模型的推广 31

7.参考文献：

31

8、附录 31

2

高山滑雪的建模问题

摘要

关键词：

高山滑雪雪面—滑雪板模型龙格-库塔法压痕弹性阻尼模型

1.问题重述

1.1问题背景

数学作为一门基础学科，其应用存在于我们生活中方方面面，因此将数学建模合理的利用，能够解决我们身边的各种问题。

高山滑雪是冬季奥运会比赛中的一类双板滑雪运动项目，是在大自然中的山坡上进行的雪上运动，具有鲜明的自然属性，包括回转、大回转、超大回转和速降四种比赛。

几种比赛的共同点是比赛时运动员穿着两只专用滑雪鞋并各自独立固定一个滑雪板在山顶的起点处听到号令出发，利用势能沿着赛会确定的S形路线滑行到山下的终点，用时最少的为优胜者。

为了能够达到取得好的比赛成绩的目的，需要对影响运动员完成比赛时间的各个因素都要加以考虑，本文建模正是在对这些因素进行分析，以确定哪些因素是影响运动员比赛成绩的关键。

1.2题目中的相关信息

题目中给出了雪道的分类及其特点以及滑雪板的结构和类别。

比赛路线称为机压雪道或者硬雪道，是用专业的压雪机反复碾压人工造雪或者天然雪雪面形成的，压好后雪厚度可达半米以上。

可以认为在运动员滑行时雪道没有明显的变形。

宣雪道是自然降雪造成且没有人踩踏过的有一定厚度（比如30厘米）的松软雪的滑雪道，运动员在上面滑行一次后，会压出两条较深的痕迹，深度和速度有很大关系，越快的时候越浅。

滑雪板信息（几何形状）通过网络简单查询，得知滑雪板的种类繁多，其中划分的一个重要标准就是其腰宽尺寸。

腰宽就是滑雪板中部的宽度（是头、腰、尾三个宽度中最窄的）。

比赛用竞技板腰宽在65到70毫米，长度视比赛类型而定，回转一般用1650毫米左右，大回转用1850到1910毫米左右。

近几年大众滑雪中又流行一种全地域板，腰宽在70到100毫米，比较常见的是85毫米左右的，它的出现就是为了同时适应各种雪况：

硬雪道、软雪、宣雪，一般全地域板比竞技板也稍长一些。

1.3需要解决的问题

滑雪界有个说法：

“体重大的人比赛有优势”；

滑雪板的腰宽和长短也对比赛的结果产生比较大的影响，滑板的类型对于比赛场地的影响。

上述问题都需要通过科学地建模判断这个说法到底对不对，对推测的依据作出合理的解释。

针对以上的分析，我们需要解决下面四个问题：

（1）运动员体重对比赛的影响

针对不同体重的运动员，例如60公斤和80公斤，使用相同的滑雪板，在硬雪道上滑行，滑行的地形和状况保持一致性，其他条件相同，对此进行建模分析，对比分析结果，看体重是都会影响比赛成绩。

（2）滑雪板的长度对比赛的影响

在体重相同的情况下，腰宽一样但长度不同的滑雪板，例如长度一个是165厘米，另一个是185厘米，在硬雪道上滑行，滑行的地形和状况保持一致性，其他条件相同，对此进行建模分析；

（3）滑雪板的宽度对比赛的影响

在体重相同的情况下，一个运动员使用竞技滑雪板、另一个使用全地域滑雪板，两个滑雪板的长度都是180厘米，在宣雪道上滑行，滑行的地形和状况保持一致性，其他条件相同，对此进行建模分析；

（4）将所建立的模型对比于生活中其他同类问题

针对生活中一种很相似的情况，进行建模分析计算。

不同体重的两名运动员各骑一辆没有链条的自行车，初速度同为1米/秒的条件下从柏油路面大约5度的坡上骑下，分析谁先到达坡底终点。

2.问题分析

本文主要涉及数学模型及实际问题的分析，要求参赛者具有一定的数学素养，同时也要具备基本空气动力学、摩擦力学、运动学、Matlab编程以及相关的汽车理论的知识。

该题首先要求参赛者找出体型对空气动力学的影响；

然后建立板和雪地摩擦学的数学模型；

最后要求分析同类问题即：

自行车的行驶问题，需要汽车理论来建模滚动摩擦数学模型。

由此可见，建模过程中存在的主要问题有：

1、如何找出体重对于空气动力学的影响？

2、如何基于滑雪板和场地建立摩擦力学数学模型？

3、如何分析不同重力对于滚动摩擦力的影响？

对此，笔者基于标准体重、身高建立空气动力学模型；

其次利用雪地摩擦力的分类对不同的摩擦力分析；

最后用迟滞阻力模型对滚动进行分析。

2.1对问题1进行分析

问题中要求我们建模分析两名体重不同，其余所有条件相同的运动员在硬雪道上滑行的先后问题。

首先我们根据题目中所给出的信息（建立出模型）查出不同情况下雪道的几何描述、滑雪板的几何描述、人体的几何描述。

根据数据建立出滑雪板—雪道的接触模型、人体单刚体风阻模型。

对于压实雪地而言，可以忽略压缩阻力和冲击阻力（很小），滑雪板在其表面滑行时，雪道的变形很小，可以将其看成是冰面上滑行，但应考虑其表面粗糙度，则滑雪板和雪道的总滑动阻力为干摩擦阻力，流体剪切阻力，接触动摩擦阻力之和。

由于我们可以忽略滑雪的技术动作，所以我们可以不用考虑滑行过程中运动员的支雪力作用，同时人体可以看成是一个刚体模型，固定在滑雪板上。

质心位置在人体的出。

当速度达到一定程度时，风阻变成了一个不可忽视的问题，假设两名运动员的身体条件相同，利用经验公式得出的人体截面积与体重的公式，建立出人体—空气动力学方程。

2.2对问题2进行分析

问题2中要求我们建模分析除长度不同外，所有条件一致的滑雪板运动员，在硬雪道上谁会最先到达终点。

首先我们利用问题一所建立的单刚体人—风阻模型、滑雪板—硬雪道模型，计算出在相同体重作用下，滑雪板长度变化对滑动的影响效果图。

利用matlab自带的龙格-库塔方法求解高维常微分方程组，得到在相同的初始速度下，两种滑雪板在不同长度下到达终点所需的时间，并作图直观视之。

由于，初始速度对滑行到达终点的时间有这一定的影响，我们应对初始速度进行研究，假定其余条件皆相同，初始速度从0.1到7（因为人体所能达到的最大初始速度小于等于7）。

求出不同初始速度下，到达终点所用时间，并用matlab作图表示，分析初始速度对滑行的影响。

2.3对问题3进行分析

问题3中要求我们对不同种类的滑雪板在宜雪道上滑行到达终点的时间问题进行研究。

首先，我们已知宜雪道是不同于硬雪道的赛道，它是自然下雪形成的，之前并未承受过力，所以当滑雪板作用在上面的时候，积雪会因为受到力的作用而向下凹陷进去形成压痕，而凹陷下去的压痕随着浸入力的大小和浸入力作用的时间的变化而改变的，浸入力越小，压痕越浅；

作用时间越短，压痕也越浅，作用时间与速度成反比。

同时，由于压痕的深度会影响滑雪板的摩擦阻力，因此有必要建立浸入力—压痕的模型，分析压痕与那些因素有关，然后建立与之有关的滑雪板—滑道摩擦阻力的模型，对此模型进行系统的受力分析，最后建立滑雪的运动模型。

在初始速度为1的条件下，利用matlab求解其运动微分方程组，求出不同滑雪板到达终点所需的时间以及达到终点时的速度，并作图视之。

2.4对问题4进行分析

针对问题4中，要求运动员以一定的初速度，骑着没有没有链条的自行车在有一定坡度的柏油马路上骑下来，对自行车进行分析，自行车在下来的过程中，同样也会受到空气阻力的作用，对于体重不同的运动员来说，由于骑车的姿势与滑雪的姿势是不同的，而且自行车本身也具有迎风面积，因此建立自行车的风阻模型。

自行车的车轮是橡胶轮胎