数列圆锥曲线课例.docx
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数列圆锥曲线课例
一、课例确定
【课题名称】圆锥曲线
【教学时间安排】12课时
二、课例研发说明
【本课例的地位与作用】
中职《数学》课程是中职教育中的一门重要课程，具有鲜明的职业特色，它着眼于普通劳动者的素质培养需求，具有很强的基础性和工具性。
而现代职业教育强调“以能力为本位、以就业为导向”，因此，中职数学教育以基础理论知识适度轻理论重能力为指导思想，培养学生解决实际问题的能力，更好地为专业课的学习服务。
在实际生活和生产活动中，需要把数按一定次序排列起来的例子比比皆是，为了反映这个实际需要，在数学上，数列的概念应运而生。
本课例《数列》是五年制高职《数学》（第一册）要学习的。
两千多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并且获得了大量的成果。
古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。
用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。
阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。
事实上，阿波罗尼在其著作中使用纯几何方法已经取得了今天数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果。
另外，本课例只包括椭圆、抛物线、双曲线的新授知识，习题课和综合应用课在另一课题中。
【学生知识能力基础分析】
本课例的使用对象是五年制高职一年级学生。
这些学生已学习并掌握了函数的知识，同时通过了计算机的一级考试，掌握了相关的知识内容，有一定的观察问题、分析问题、解决问题的能力，同学间有一定的协助精神。
【课例实施条件分析】
本课例实施最好能在多媒体教室开展教育活动，同时能提供网络教室，便于学生及时查询相关知识，对教师要求制作多媒体课件，以便有丰富的视频和声频资料满足学情的需要。
三、教学目标的设计
【知识与技能】
1、能够正确理解圆锥曲线的定义，标准方程
2、会根据条件求曲线的方程
3、能够正确理解圆锥曲线的方程及相关性质
4、会运用圆锥曲线内容解决了一些实际问题
【过程与方法】
1、通过创设多种情境让学生感知圆锥曲线，体会用圆锥曲线这一特殊的内容描述平面截圆锥的变化规律和基本思想。
2、通过实例使同学们经历建立椭圆、抛物线和双曲线的模型的过程，探索它们的一些基本数量关系——焦点、对称轴、离心率和标准方程。
3、会运用圆锥曲线解决一些实际问题。
【情感态度与价值观】
1、让学生在数学实例中感受数学与现实生活的密切联系，认识数学的价值，培养和提高中职校学生学习数学的兴趣，提高其学业水平。
2、在问题探究中培养团队协作精神和实事求是的科学精神，提高数学的审美情趣。
四、教学任务描述
【知识点】
1、理解椭圆、抛物线、双曲线的概念，
2、能够根据方程知道相关信息（焦点、对称轴、离心率）；
3、能根据相关知识（焦点、对称轴、离心率），来求解标准方程；
4、弄清各曲线间的内在联系并进一步培养学生的观察、抽象概括能力；渗透函数思想。
形成知识网络，培养学生由特殊到一般的归纳猜想能力。
加强知识间的鉴别与联系。
【能力点】
1、培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力
2、培养学生的创新能力和实践能力。
3、培养学生观察、归纳能力，应用数学公式的能力及渗透函数的思想。
五、教学情境创设
在多媒体教室、网络教室进行教学。
将学生分成若干个学习小组，每个小组由五至六名学生组成，学习小组的划分兼顾各个层次（如学生的性格、学生平时的数学成绩以及课堂表现等），每个学习小组选定一名组长，负责本组学生自主学习与合作学习的管理。
六、教学过程实施
本课例的教学实施分为三个阶段：
“阶段一：
椭圆”、“阶段二：
抛物线”、“阶段三：
双曲线”。
具体实施过程如下：
阶段一：
椭圆
（一）、任务：
任务①：
理解椭圆的定义
任务②：
掌握椭圆的标准方程，理解椭圆标准方程的推导
任务③：
会根据条件写出椭圆的标准方程；能用标准方程判定是否是椭圆．
（二）、任务实施：
【任务①实施】：
理解椭圆的定义
提供日常生活实例，学生以小组为单位分组讨论以及上网搜索获得相应数据，体会椭圆的有关概念
利用生活中的实例：
公共标志、汽车贮油罐、茶几图片、人造卫星的运行线路
提出问题：
它们究竟是不是椭圆?
怎么判断它是一个椭圆？
复习回顾：
如何判断一个点的轨迹是圆的呢?
总结：
1、定义2、方程
从而得出我们怎么去研究椭圆的方程这一问题。
椭圆的定义：
平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
[学生实验]请两个同学上黑板演示画椭圆的过程，从而为下面研究椭圆方程做一个铺垫。
【任务②实施】：
掌握椭圆的标准方程，理解椭圆标准方程的推导
标准方程的推导
问题1：
回忆圆的方程的步骤？
（建系、设点、列式、化简）
问题2：
本题中可以怎样建立直角坐标系？
设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，它们之间的距离为2c，椭圆上任意一点到F1、F2的距离的和为2a（2a>2c）．
让学生根据所画的椭圆，选取适当的坐标系．
说明：
结合建立坐标系的一般原则——使点的坐标、几何量的表达式简单化，并且从“对称美”、“简洁美”的角度出发作一定的点拨；若学生选取适当的坐标系都一样，教师多画几个坐标系，让学生选，注意要有中心在原点，焦点在y轴的坐标系；并提问：
为什么选取这样的坐标系，依据是什么．
方法1：
如图，焦点落在x轴上
⑴建系：
以F1、F2所在直线为轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy．
⑵设点：
设点P（x，y）是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为．
⑶列式：
依据椭圆的定义式列方程，并将其坐标化为．
目的：
教学生学会建立适当的坐标系，构造数与形的桥梁，学会用解析的方法来解决问题，渗透数形结合的数学思想。
这是一个比较复杂的根式变形，化简的关键在于将根式去掉，而去根式则要两边平方，那怎样平方去根式会较简单呢？
⑷化简：
通过移项、两次平方后得到：
，为使方程简单、对称、和谐，引入字母b，令，可得椭圆的标准方程为
．
先让学生尝试化简，然后教师指出含有根式的化简规则．
总结含有根式的化简步骤：
（1）方程中只有一个根式时，需将根式单独留在方程的一边，把其他项移到方程的另一边，然后两边平方；
（2）方程中有两个根式时，需将它们分别放在方程的两边，并使其中一边只有一项，再两边平方．
方法2：
如图，焦点落在y轴上
试想：
推断此时椭圆的标准方程又是什么？
焦点，焦距为2c，椭圆的方程为
请同学们观察归纳两个方程的特征，从而区别焦点在不同坐标轴上的椭圆标准方程；令渗透数学对称美，简洁美教学．
根据所学知识让同学们完成下表
标准方程
不
同
点
图
形
焦点坐标
相
同
点
定义
平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于
常数（大于F1F2）的点的轨迹
a、b、c的关系
焦点位置的判断
分母哪个大，焦点就在哪个轴上
【任务③实施】会根据条件写出椭圆的标准方程；能用标准方程判定是否是椭圆
1．求适合下列条件的椭圆的标准方程
（1）a=4,b=3,焦点在x轴上；
（2）b=1,c=,焦点在y轴上
2．根据已知条件，求下列椭圆的焦点坐标
（1）
（2）
目的：
通过本题的练习，使学生能加深椭圆的焦点位置与标准方程之间关系的理解，同时会求焦点坐标、焦距等基本量（求前要将方程先化成标准式），教学时采用在教师引导下学生自主完成的方法。
3．例题讲解
例1：
已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4m，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为3m，求这个椭圆的标准方程．
解：
以两焦点F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立如图所示的直角坐标系xOy，
则这个椭圆的标准方程可设为．
根据题意知，，即，，
所以，
因此，这个椭圆的标准方程为．
目的：
⑴进一步熟悉椭圆的焦点位置与标准方程之间的关系；
⑵掌握运用待定系数法求椭圆的标准方程，解题时强调“二定”即定位定量；
⑶培养学生运用知识解决问题的能力。
4．课堂练习
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）长半轴为3，短半轴为1，焦点在x轴上；
（2）动点到两个焦点的距离和为8，半焦距为1，焦点在y轴上
（3）焦距为6，离心率为0.6
（三）任务评价：
【课堂小结】：
⑴启发引导学生进行归纳整理；⑵利用幻灯片展示归纳结果；⑶强调学生学习数学过程中，需踏实、认真的学习态度.
注意：
椭圆的标准方程要注意焦点的位置与方程形式的关系；
目的：
使学生理清这节课的重难点，深化对基本概念，基本理论的理解，帮助学生从感性认识升华到理性认识,同时培养学生宏观掌握知识的能力；让学生把课堂教学传授的知识尽快化为学生的素质,使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和应用，并且逐渐培养学生的良好的个性品质目标。
【学案及作业】
【课堂及作业评价】：
（见“教学设计评价”）
阶段二：
抛物线
（一）、任务：
任务①：
掌握抛物线的方程及相关性质
任务②：
能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、
描点、画抛物线图形
任务③：
能用相关性质解决有关问题
（二）、任务实施
【任务①实施】：
掌握抛物线的方程及相关性质
1．抛物线对学生来说是比较熟悉的，有了讨论椭圆、双曲线几何性质的基础，再讨论抛物线的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）不会遇到什么障碍．但要注意：
抛物线的性质和椭圆、双曲线比较起来，差别较大，它的离心率等于1，它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线，它没有中心，通常称抛物线为无心圆锥曲线，而称椭圆和双曲线为有心圆锥曲线．
2．在抛物线的标准方程y2＝2px（p＞0）中，令x＝，则y＝±p．这就是说，通过焦点而垂直于x轴的直线与抛物线两交点的坐标为（，p），（，－p），连结这两点的线段叫做抛物线的通径，它的长是2p．利用抛物线的几何性质及抛物线上坐标为（，p），（，－p）的两点，能够方便地画出反映抛物线基本特征的草图．
【任务②实施】：
能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表
标准方程
焦点
对称轴
离心率
椭圆
抛物线
【任务②实施】：
能用相关性质解决有关问题
例1．已知抛物线的顶点在原点且经过点（5，5），x轴为对称轴，求这抛物线的方程，并画出它的图形．
分析：
首先由已知点坐标代入方程，求参数p．
解：
设抛物线方程为y2＝2px，因为它过点（5，5），
故 52＝2p×5，p＝
所以 抛物线方程为y2＝5x．列表
x
0
1.25
2
2
3
4
…
y
0
2.5
3.2
3.2
3.9
3.9
…
描点，画图，（图略）
例2．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯的圆的直径60cm，灯深为40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置．
分析：
这是抛物线的实际应用题，设抛物线的标准方程后，根据题设条件，可确定抛物线上一点坐标，从而求出p值．
解：
（见课本P99）
例3．过抛物线y2＝2px的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于P1、P2两点，求证：
以P1P2为直径的圆和这抛物线的准线相切．
分析：
运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．
证明：
如图2-15．设P1P2的中点为P0，过P1、P0、P2分别向准线l引垂线P1Q1，P0Q0，P2Q2，垂足为Q1、Q0、Q2，则
｜P1F｜＝｜P1Q1｜，｜P2F｜＝｜P2Q2｜
∴｜P1P2｜＝｜P1F｜＋
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