高三文科数学一轮复习函数的奇偶性与周期性知识总结与习题演练Word格式文档下载.docx
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三、知识拓展
1.函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;
偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.
(3)在公共定义域内有:
奇±
奇=奇,偶±
偶=偶,奇×
奇=偶,偶×
偶=奇.
2.函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x:
(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>
0).
(2)若f(x+a)=,则T=2a(a>
(3)若f(x+a)=-,则T=2a(a>
四、基础检测
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×
”)
(1)偶函数图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.( ×
)
(2)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)关于直线x=a对称.( √ )
(3)函数f(x)在定义域上满足f(x+a)=-f(x),则f(x)是周期为2a(a>
0)的周期函数.( √ )
(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.( √ )
(5)若T是函数的一个周期,则nT(n∈Z,n≠0)也是函数的周期.( √ )
题组二 教材改编
2.[P39A组T6]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x(1+x),则f(-1)=________.
答案 -2
解析 f
(1)=1×
2=2,又f(x)为奇函数,
∴f(-1)=-f
(1)=-2.
3.[P45B组T4]设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[-1,1)时,f(x)=则f=______.
答案 1
解析 f=f=-4×
2+2=1.
4.[P39A组T6]设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],若当x∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)<0的解集为________.
答案 (-2,0)∪(2,5]
解析 由图象可知,当0<x<2时,f(x)>0;
当2<x≤5时,f(x)<0,又f(x)是奇函数,∴当-2<x<0时,f(x)<0,当-5≤x<
-2时,f(x)>
0.
综上,f(x)<0的解集为(-2,0)∪(2,5].
题组三 易错自纠
5.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是( )
A.-B.C.-D.
答案 B
解析 依题意得f(-x)=f(x),∴b=0,又a-1=-2a,
∴a=,∴a+b=,故选B.
6.偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(-1)=________.
答案 3
解析 ∵f(x)为偶函数,∴f(-1)=f
(1).
又f(x)的图象关于直线x=2对称,
∴f
(1)=f(3).∴f(-1)=3.
五、题型演练
题型一 判断函数的奇偶性
典例判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=+;
(2)f(x)=;
(3)f(x)=
解
(1)由得x2=3,解得x=±
,
即函数f(x)的定义域为{-,},
∴f(x)=+=0.
∴f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x),
∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数.
(2)由得定义域为(-1,0)∪(0,1),关于原点对称.
∴x-2<0,∴|x-2|-2=-x,∴f(x)=.
又∵f(-x)===-f(x),
∴函数f(x)为奇函数.
(3)显然函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.∵当x<0时,-x>0,
则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x);
当x>0时,-x<0,
则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x);
综上可知:
对于定义域内的任意x,总有f(-x)=-f(x),
思维升华判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件:
(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域;
(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系.
在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否成立.
跟踪训练
(1)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( )
A.y=x+sin2xB.y=x2-cosx
C.y=2x+D.y=x2+sinx
答案 D
解析 对于A,f(-x)=-x+sin2(-x)
=-(x+sin2x)=-f(x),为奇函数;
对于B,f(-x)=(-x)2-cos(-x)=x2-cosx=f(x),为偶函数;
对于C,f(-x)=2-x+=2x+=f(x),为偶函数;
对于D,y=x2+sinx既不是偶函数也不是奇函数.
(2)函数f(x)=lg|sinx|是( )
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为2π的奇函数
C.最小正周期为π的偶函数
D.最小正周期为2π的偶函数
答案 C
解析 易知函数的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z},关于原点对称,又f(-x)=lg|sin(-x)|=lg|-sinx|=lg|sinx|=f(x),所以f(x)是偶函数,又函数y=|sinx|的最小正周期为π,所以函数f(x)=lg|sinx|是最小正周期为π的偶函数.
题型二 函数的周期性及其应用
1.若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数,且在[0,2]上的解析式为f(x)=则f+f=________.
答案
解析 由于函数f(x)是周期为4的奇函数,
所以f+f=f+f
=f+f=-f-f
=-+sin=.
2.(2017·
山东)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)=________.
答案 6
解析 ∵f(x+4)=f(x-2),
∴f((x+2)+4)=f((x+2)-2),即f(x+6)=f(x),
∴f(x)是周期为6的周期函数,
∴f(919)=f(153×
6+1)=f
(1).
又f(x)是定义在R上的偶函数,
∴f
(1)=f(-1)=6,即f(919)=6.
3.定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当-3≤x<
-1时,f(x)=-(x+2)2;
当-1≤x<
3时,f(x)=x.则f
(1)+f
(2)+f(3)+…+f(2018)=________.
答案 339
解析 ∵f(x+6)=f(x),∴周期T=6.
∵当-3≤x<
3时,f(x)=x,
∴f
(1)=1,f
(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,
f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)=-1,
f(6)=f(0)=0,
∴f
(1)+f
(2)+…+f(6)=1,
∴f
(1)+f
(2)+f(3)+…+f(2015)+f(2016)
=1×
=336.
又f(2017)=f
(1)=1,f(2018)=f
(2)=2,
∴f
(1)+f
(2)+f(3)+…+f(2018)=339.
思维升华函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质.对函数周期性的考查,主要涉及函数周期性的判断,利用函数周期性求值.
题型三 函数性质的综合应用
命题点1 求函数值或函数解析式
典例
(1)(2017·
全国Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,则f
(2)=________.
答案 12
解析 方法一 令x>0,则-x<0.
∴f(-x)=-2x3+x2.
∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(-x)=-f(x).
∴f(x)=2x3-x2(x>0).
∴f
(2)=2×
23-22=12.
方法二 f
(2)=-f(-2)=-[2×
(-2)3+(-2)2]=12.
(2)(2016·
全国Ⅲ改编)已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-1-x,则f(x)=________.
解析 ∵当x>0时,-x<0,
∴f(x)=f(-x)=ex-1+x,
∴f(x)=
命题点2 求参数问题
典例
(1)设函数f(x)=为奇函数,则k=____.
解析 ∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),
∴=-,
∴(x+2)(x+k)=(2-x)(k-x),
x2+2x+kx+2k=2k-kx-2x+x2,∴k=-2.
(2)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上,f(x)=其中a,b∈R.若f=f,则a+3b的值为________.
答案 -10
解析 因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数,
所以f=f且f(-1)=f
(1),
故f=f,
从而=-a+1,即3a+2b=-2.①
由f(-1)=f
(1),得-a+1=,即b=-2a.②
由①②得a=2,b=-4,
从而a+3b=-10.
命题点3 利用函数的性质解不等式
典例
(1)已知定义在R上的偶函数f(x),对任意x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有<
0,则( )
A.f(3)<
f(-2)<
f
(1)B.f
(1)<
f(3)
C.f(-2)<
f
(1)<
f(3)D.f(3)<
f(-2)
答案 A
解析 由题意知f(x)为偶函数,所以f(-2)=f
(2),
又x∈[0,+∞)时,f(x)为减函数,且3>
2>
1,
∴f(3)<
f
(2)<
f
(1),即f(3)<
f
(1),故选A.
(2)若f(x)为奇函数,且在(-∞,0)上是减函数,又f(-2)=0,则x·
f(x)<
0的解集为____________.
答案 (-∞,-2)∪(2,+∞)
解析 由x·
0,得或
∵f(x)为奇函数,在(-∞,0)上是减函数,f(-2)=0,
∴由解得x<
-2;
由解得x>
2,
∴x·
0的解集为(-∞,-2)∪(2,+∞).
思维升华
(1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题,关键是将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题.
(2)掌握以下两个结论,会给解题带来方便:
①f(x)为偶函数⇔f(x)=f(|x|).②若奇函数在x=0处有意义,则f(0)=0.
跟踪训练
(1)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且在[0,+∞)上单调递增,若f(lgx)<
0,则x的取值范围是( )
A.(0,1)B.(1,10)
C.(1,+∞)D.(10,+∞)
解析 由题意,函数f(x)在R上是增函数,且f(