电子科大研究生图论05-14年图论期末试题Word格式.doc
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(A)2(B)4(C)8
(3)图G如(a)所示,与G同构的图是(C)
(4)下列图中为欧拉图的是(B),为H图的是(AB),为偶图的是(BC).
5.下列图中可1-因子分解的是(B)
三、设和分别是图G的最大度与最小度,求证:
(10分).
证明:
四、正整数序列是一棵树的度序列的充分必要条件是(10分).
结论显然
设正整数序列满足,易知它是度序列。
设G是这个度序列的图族中连通分支最少的一个图,知m=.
假设G不连通,则,且至少有一个分支含有圈C,否则,G是森林,有m=矛盾!
从C中任意取出一条边。
并在另一分支
中任意取出一条边,作图
则的度序列仍然为且,这与G的选取矛盾!
所以
G是连通的,G是树。
即一棵树的度序列。
五、求证:
在简单连通平面图G中,至少存在一个度数小于或等于5的顶点(10分).
若不然,这与G是简单连通平面图矛盾。
六、证明:
(1)若G恰有两个奇度点u与v,则u与v必连通;
(2)一棵树至多只有一个完美匹配(10分).
证明;
(1)因为任意一个图的奇度点个数必然为偶数个,若G恰有两个奇度点u与v,且它们不连通,那么就会得出一个连通图只有一个奇度点的矛盾结论。
所以若G恰有两个奇度点u与v,则u与v必连通。
(2)若树有两个相异的完美匹配,则且中的每个顶点的度数为2,则中包含圈,这与是数矛盾!
七、求图G的色多项式(15分).
图G
解:
图G的补图如图,则
,其中,,
,;
。
八、求图G中a到b的最短路(15分).
v11v4
63
4
29
a8v22v56b
724
12
v3v6
9
解1.A1={a},t(a)=0,T1=Φ
2.
3.m1=1,a2=v3,t(v3)=t(a)+l(av3)=1(最小),
T2={av3}
2.A2={a,v3},
3.m2=1,a3=v1,t(v1)=t(a)+l(av1)=2(最小),
T3={av3,av1}
2.A3={a,v3,v1},
3.m3=3,a4=v4,t(v4)=t(v1)+l(v1v4)=3(最小),
T4={av3,av1,v1v4}
2.A4={a,v3,v1,v4},b1(4)=v2,b2(4)=v2,b3(4)=v2,b4(4)=v5
3.m4=4,a5=v5,t(v5)=t(v4)+l(v4v5)=6(最小),
T5={av3,av1,v1v4,v4v5}
2.A5={a,v3,v1,v4,v5},b1(5)=v2,b2(5)=v2,b3(5)=v2,b4(5)=v2,b5(5)=v2
3.m5=4,t(v2)=t(v4)+l(v4v2)=7(最小),
T6={av3,av1,v1v4,v4v5,v4v2}
2.A6={a,v3,v1,v4,v5,v2},b2(6)=v6,b4(6)=b,b5(6)=v6,b6(6)=v6
3.m6=6,a7=v6,t(v6)=t(v2)+l(v2v6)=9(最小),
T7={av3,av1,v1v4,v4v5,v4v2,v2v6}
2.A7={a,v3,v1,v4,v5,v2,v6},b4(7)=b,b5(7)=b,b7(7)=b
3.m7=7,a8=b,t(b)=t(v6)+l(v6b)=11(最小),
T8={av3,av1,v1v4,v4v5,v4v2,v2v6,v6b}
于是知a与b的距离
d(a,b)=t(b)=11
由T8导出的树中a到b路就是最短路。
2006研究生图论期末试题(120分钟)
一、填空题(15分,每空1分)
1、若两个图的顶点与顶点之间,边与边之间都存在对应,而且它们的关联关系也保持其关系,则这两个图同构。
2、完全图的生成树的数目为;
阶为6的不同构的树有棵。
3、设无向图有12条边,已知中度为3的结点有6个,其余结点的度数均小于3,则
中至少有个结点。
4、具有5个结点的自补图的个数有。
5、已知图的邻接矩阵,顶点集合,则由到的途径长度为2的条数为。
6、若为欧拉图,则n=;
若仅存在欧拉迹而不存在欧拉回路,则n=。
7、无向完全图(n为奇数),共有条没有公共边的哈密尔顿圈。
8、设是具有二分类的偶图,则包含饱和的每个顶点的匹配当且仅当,对所有。
9、在有6个点。
12条边的简单连通平面图中,每个面均由条边组成。
10、彼德森图的点色数为;
边色数为;
点独立数为。
二、单选或多选题(15分,每题3分)
1、设,则图的补图是().
2、在下列图中,既是欧拉图又是哈密尔顿图的是().
3、下列图中的()图,到是可达的。
4、下列图中,可1—因子分解的是().
5、下列优化问题中,存在好算法的是()
(A)最短路问题;
(B)最小生成树问题;
(C)TSP问题;
(D)最优匹配问题.
三、作图题(10分)
1、分别作出满足下列条件的图
(1)、E图但非H图;
(2)H图但非E图;
(3)既非H图又非E图;
(4)既是H图又是E图
2、画出度序列为(3,2,2,1,1,1)的两个非同构的简单图。
四、求下图的最小生成树,并给出它的权值之和(10分)。
22
五、给出一个同构函数证明(10分)
六、若图为自补图,那么,它的阶一定能够表示为或者的形式,其中为非负整数。
而且,图的边有条。
(5分)
七、设T为一棵非平凡树,度为的顶点记为,则。
(10分)
八、证明:
阶数为8的简单偶图至多有16条边(5分)
九、设图有10个4度顶点和8个5度顶点,其余顶点度数均为7。
求7度顶点的最大数量,使得保持其可平面性(10分)
十、求图的色多项式(10分)
学号姓名学院
……………………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效……………………
电子科技大学研究生试卷
(考试时间:
至,共_____小时)
课程名称图论及其应用教师学时60学分
教学方式讲授考核日期_2007__年___月____日成绩
考核方式:
(学生填写)
一.填空题(每题2分,共12分)
1.简单图G=(n,m)中所有不同的生成子图(包括G和空图)的个数是_____个;
2.设无向图G=(n,m)中各顶点度数均为3,且2n=m+3,则n=_____;
m=_____;
3.一棵树有个度数为i的结点,i=2,3,…,k,则它有____个度数为1的结点;
4.下边赋权图中,最小生成树的权值之和为_______;
5、某年级学生共选修9门课。
期末考试时,必须提前将这9门课先考完,每天每人只在下午考一门课,则至少需要______天才能考完这9门课。
二.单项选择(每题2分,共10分)
1.下面给出的序列中,不是某简单图的度序列的是()
(A)(11123);
(B)(22222);
(C)(3333);
(D)(1333).
2.下列图中,是欧拉图的是()
3.下列图中,不是哈密尔顿图的是()
4.下列图中,是可平面图的图的是()
5.下列图中,不是偶图的是()
三、(8分)画出具有7个顶点的所有非同构的树
四,用图论的方法证明:
任何一个人群中至少有两个人认识的朋友数相同(10分)
五.(10分)设G为n阶简单无向图,n>
2且n为奇数,G与G的补图中度数为奇数的顶点个数是否相等?
证明你的结论
六.(10分)设G是具有n个顶点的无向简单图,其边数,证明
(1)证明G中任何两个不相邻顶点的度数之和大于等于n。
(2)给出一个图,使它具有n个顶点,条边,但不是哈密尔顿图。
七、(10分)今有赵、钱、孙、李、周五位教师,要承担语文、数学、物理、化学、英语五门课程。
已知赵熟悉数学、物理、化学三门课程,钱熟悉语文、数学、物理、英语四门课程,孙、李、周都只熟悉数学和物理两门课程。
问能否安排他们5人每人只上一门自己所熟悉的课程,使得每门课程都有人教,说明理由
八、(10分)设G是具有n个顶点,m条边,p(个连通分支的平面图,G的每个面至少由k()条边所围成,则