高中数学竞赛预赛训练试题3Word格式.docx

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Ｃ．充分而且必要条件　　　　　　　Ｄ．既不充分又不必要条件

5．设函数定义在上，给出下述三个命题：

①满足条件的函数图象关于点对称；

②满足条件的函数图象关于直线对称；

③函数与在同一坐标系中，其图象关于直线对称.其中，真命题的个数是

（）

A.0B.1C.2D.3

6.连结球面上两点的线段称为球的弦.半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于和，、分别为、的中点，每两条弦的两端都在球面上运动，有下面四个命题：

①弦、可能相交于点②弦、可能相交于点

③的最大值为5④的最小值为1

其中真命题为（）

A.①③④B.①②③C.①②④D.②③④

7.设，，，,则的大小关系是（　　）

　Ａ．　　　　　　　　Ｂ．

　Ｃ．　　　　　　　　Ｄ．

8.设函数，且，，则（）

A.2B.1C.0D.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题8分，共48分.请将正确的答案填在横线上.）

9．在平面直角坐标系中，定义点、之间的“直角距离”为

若到点、的“直角距离”相等，其中实数、满足、，则所有满足条件的点的轨迹的长度之和为　　_________________________________．

10.已知集合，若点、点满足且，则称点优于.如果集合中的点满足：

不存在中的其它点优于，则所有这样的点构成的集合为___________________________________________．

11.多项式的展开式在合并同类项后，的系数为______________________.（用数字作答）

12.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面.已知该六棱柱的顶点都在同一球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为.

13.将一个棋盘中的8个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，则有不同的染法.（用数字作答）

14.某学校数学课外活动小组，在坐标纸上某沙漠设计植树方案如下：

第棵树种植在点处，其中，当时，

其中，表示实数的整数部分，例如，按此方案，第2008棵树种植点的坐标为___________________.

三、解答题（本大题共4小题，共62分.要求有必要的解答过程.）

15．（本小题满分14分）设实数，求证：

其中等号当且仅当或成立，为正实数.

１6．（本小题满分14分）甲、乙两人进行乒乓球单打比赛，采用五局三胜制（即先胜三局者获冠军）．对于每局比赛，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．如果将“乙获得冠军”的事件称为“爆出冷门”．试求此项赛事爆出冷门的概率．

17.（本小题满分16分）已知函数在区间上的最小值为，令，，

求证：

18.（本小题满分18分）过直线上的点作椭圆的切线、，切点分别为、，联结

（1）当点在直线上运动时，证明：

直线恒过定点；

（2）当∥时，定点平分线段

湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）训练试题（三）详细解答

1.解：

集合的元素：

，，，，故集合的所有元素之和为16.选A.

2.解:

设的公比为，则，进而.

所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列.

.

显然，.选C.

3.解：

5名志愿者随进入3个不同的奥运场馆的方法数为种.每个场馆至少有一名志愿者的情形可分两类考虑：

第1类，一个场馆去3人，剩下两场馆各去1人，此类的方法数为种；

第2类，一场馆去1人，剩下两场馆各2人，此类的方法数为种.故每个场馆至少有一名志愿者的概率为.选D.

４．解：

设，，则表示与共线的任一向量，表示点到直线上任一点的距离，而表示点到的距离.当时，由点与直线之间垂直距离最短知，，即对一切，不等式恒成立．反之，如果恒成立，则，故必为点到的垂直距离，，即.选C.

5．解：

用代替中的，得.如果点在的图象上，则，即点关于点的对称点也在的图象上.反之亦然，故①是真命题.用代替中的，得.如果点在的图象上，则，即点关于点的对称点也在的图象上，故②是真命题.由②是真命题，不难推知③也是真命题.故三个命题都是真命题.选D.

6.解：

假设、相交于点，则、共面，所以、、、四点共圆，而过圆的弦的中点的弦的长度显然有，所以②是错的．容易证明，当以为直径的圆面与以为直径的圆面平行且在球心两侧时，最大为５，故③对．当以为直径的圆面与以为直径的圆面平行且在球心同侧时，最小为1，故④对.显然是对的．①显然是对的.故选Ａ．

7.解：

因为，所以，

；

；

．

又，故故选B.

8.解：

由，

令，则为奇函数且单调递增.

而,,

所以,,,

从而,

即,故.选D.

9．解：

由条件得　　　①

当时，①化为，无解；

当时，①化为　　　　　　　②

若，则，线段长度为１；

若，则，线段长度为；

若，则，线段长度为４．综上可知，点的轨迹的构成的线段长度之和为．填．

10.解:

优于，即位于的左上方，“不存在中的其它点优于”，即“点的左上方不存在中的点”.故满足条件的点的集合为

填．

11.解：

由多项式乘法法则可知，可将问题转化为求方程

①

的不超过去100的自然数解的组数.显然，方程①的自然数解的组数为

下面求方程①的超过100自然数解的组数.因其和为150，故只能有一个数超过100，不妨设.将方程①化为

记，则方程的自然数解的组数为

因此，的系数为.填7651.

12.解：

因为底面周长为3，所以底面边长为，底面面积为.

又因为体积为，所以高为.该球的直径为，球的体积.填.

13.解：

第一行染2个黑格有种染法.第一行染好后，有如下三种情况：

（1）第二行染的黑格均与第一行的黑格同列，这时其余行都只有一种染法；

（2）第二行染的黑格与第一行的黑格均不同列，这时第三行有种染法，第四行的染法随之确定；

（3）第二行染的黑格恰有一个与第一行的黑格同列，这样的染法有4种，而在第一、第二这两行染好后，第三行染的黑格必然有1个与上面的黑格均不同列，这时第三行的染法有2种，第四行的染法随之确定.

因此，共有染法为种.填90.

14.解：

令，则

故是周期为5的函数.

计算可知：

.

所以，

…；

以上各式叠加，得

同理可得.

所以，第2008棵树的种植点为.填.

15．证明：

由对称性，不妨设，令，则因，可得

…………………………（3分）

设，则对求导，得.…………（6分）

易知，当时，，单调递减；

当时，，单调递增.…………………………………………………（9分）

故在或处有最大值且及两者相等.

故的最大值为，即.………………（12分）

由，得，其中等号仅当或成立.

…………………………………………………………………………（14分）

１6．解：

如果某方以或获胜，则将未比的一局补上，并不影响比赛结果．于是，问题转化为：

求“乙在五局中至少赢三局的概率”．…………（3分）

乙胜五局的概率为；

………………………………………………（6分）

乙胜四局负一局的概率为；

………………………………（9分）

乙胜三局负二局的概率为……………………………（12分）

以上结果相加，得乙在五局中至少赢三局的概率为……………（14分）

17.解：

（1）因为，所以函数的定义域为，…（2分）

又.……………………………………………（5分）

当时，，即在上是减函数，故

………………………（8分）

因为,所以

……………………………………………（12分）

又容易证明，所以

，

…………………………………（14分）

.

即……………………（16分）

18.证明：

（1）设、、.则椭圆过点、的切线方程分别为

，.……………………………………（3分）

因为两切线都过点，则有

，.

这表明、均在直线①上.由两点决定一条直线知，式①就是直线的方程，其中满足直线的方程.…………………（6分）

（1）当点在直线上运动时，可理解为取遍一切实数，相应的为

代入①消去得②

对一切恒成立.……………………………………………（9分）

变形可得

对一切恒成立.故有

由此解得直线恒过定点.……………………………（12分）

（2）当∥时，由式②知解得

代入②，得此时的方程为③

将此方程与椭圆方程联立，消去得

…………………………………（15分）

由此可得，此时截椭圆所得弦的中点横坐标恰好为点的横坐标，即

代入③式可得弦中点纵坐标恰好为点的纵坐标，即

这就是说，点平分线段.…………………………（18分）