高考数学一轮复习文理通用 第6章不等式推理与证明 练案43文档格式.docx

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C．2　　D．

[解析]　作出区域A为△OMN，当a从－2连续变化到1时，动直线从l1变化到l2扫过A中区域为阴影部分，易知l2⊥MN，∴阴影部分面积S＝×

2×

2－＝.故选D．

3．（2017·

课标全国）设x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为（　D　）

A．0　　B．1　　

C．2　　D．3

[解析]　作出约束条件表示的可行域如图：

平移直线x＋y＝0，可得目标函数z＝x＋y在A（3,0）处取得最大值，zmax＝3，故选D．

另解：

由约束条件求出三个交点的坐标（3,0），（1,0），（，），分别代入目标函数z＝x＋y，得到zmax＝3.

4．（2017·

课标全国Ⅲ）设x，y满足约束条件则z＝x－y的取值范围是（　B　）

A．[－3,0]　　B．[－3,2]

C．[0,2]　　D．[0,3]

[解析]　由题意，画出可行域（如图中阴影部分所示），易知A（0,3），B（2,0）．

由图可知，目标函数z＝x－y在点A，B处分别取得最小值与最大值，zmin＝0－3＝－3，zmax＝2－0＝2，

故z＝x－y的取值范围是[－3,2]．故选B．

5．（2018·

浙江温州适应性测试）若实数x，y满足约束条件的取值范围是（　C　）

A．[3,4]　　B．[3,12]　　

C．[3,9]　　D．[4,9]

[解析]　作出可行域如图中阴影部分所示．

由得

∴A（1,1），

∴B（3,3）

z＝2x＋y⇔y＝－2x＋z.

由图可知目标函数z＝2x＋y分别在点A、B处取得最小值3，最大值9.

∴z的取值范围是[3,9]，故选C．

6．（2017·

福建南平适应性测试）已知实数x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋y取不到的值是（　C　）

A．1　　B．3　　

C．7　　D．4

[解析]　作出可行域如图中阴影部分所示．当直线z＝x＋y过A（2，－3）、B（2,3）时分别取最小值－1、最大值5，故z取不到的值为7.

7．（2018·

陕西汉中质检）已知实数x，y满足不等式组：

，则z＝3y－x的取值范围为（　D　）

A．[1,2]　　B．[2,5]

C．[2,6]　　D．[1,6]

[解析]　作出可行域如图中阴影部分所示，z＝3y－x⇔y＝x＋，由图可知，直线z＝3y－x过点（－1,0）时z取最小值且zmin＝1；

直线z＝3y－1过点（0,2）时z取最大值，且zmax＝6，即1≤z≤6，故选D．

8．变量x，y满足约束条件若使z＝ax＋y取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a的取值集合是（　B　）

A．{－3,0}　　B．{3，－1}

C．{0,1}　　D．{－3,0,1}

[解析]　作出不等式组所表示的平面区域，如图所示．易知直线z＝ax＋y与x－y＝2或3x＋y＝14平行时取得最大值的最优解有无穷多个，即－a＝1或－a＝－3，∴a＝－1或a＝3.

9．（2017·

江西模拟）某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：

年产量/亩

年种植成本/亩

每吨售价

黄瓜

4吨

1.2万元

0.55万元

韭菜

6吨

0.9万元

0.3万元

为使一年的种植总利润（总利润＝总销售收入－总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：

亩）分别为（　B　）

A．50,0　　B．30,20　　

C．20,30　　D．0,50

[解析]　设种植黄瓜x亩，种植韭菜y亩，因此，原问题转化为在条件下，

求z＝0.55×

4x＋0.3×

6y－1.2x－0.9y＝x＋0.9y的最大值．画出可行域如图．利用线性规划知识可知，当x，y取的交点（30,20）时，z取得最大值．故选B．

二、填空题

10．（2016·

全国卷Ⅲ）若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为　　.

[解析]　不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z最大，

由得D（1，），

所以z＝x＋y的最大值为1＋＝.

11．（2018·

湖南三湘名校联盟联考）设x，y满足约束条件，则的取值范围为__[1,5]__.

表示点（x，y）与（－1，－1）连线的斜率，由图可知（x，y）取（0,0）时的最小值，（x，y）取（0,4）时取最大值5，∴的取值范围是[1,5]．

12．（2018·

湖北黄冈质检）不等式组表示的平面区域为D，若（x，y）∈D，则（x－1）2＋y2的最小值为　　.

[解析]　作出可行域如图中阴影部分所示，（x－1）2＋y2表示点（x，y）与点（1,0）间距离的平方，由图可知距离的最小值为点（1,0）到直线2x－y＝0的距离＝.

∴（x－1）2＋y2的最小值为.

三、解答题

13．（2016·

天津）某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：

原料

肥料

A

B

C

甲

4

8

3

乙

5

10

现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；

生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.

（1）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；

（2）问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？

并求出此最大利润．

[解析]　

（1）由已知，x，y满足的数学关系式为

该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分：

（2）设利润为z万元，则目标函数为z＝2x＋3y.

考虑z＝2x＋3y，将它变形为y＝－x＋，这是斜率为－，随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距，当取最大值时，z的值最大．又因为x，y满足约求条件，所以由图2可知，当直线z＝2x＋3y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．

解方程组得点M的坐标为（20,24）．

所以zmax＝2×

20＋3×

24＝112.

答：

生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．

B组能力提升

1．（2018·

河南开封定位考）已知实数x，y满足约束条件，则z＝（）x－2y的最大值是（　C　）

A．　　B．　　

C．32　　D．64

[解析]　作出可行域如图中阴影部分所示，记z1＝x－2y，∴y＝x－.由图可知当直线z1＝x－2y过点A（1,3）时z1最小为－5，∴z＝（）x－2y的最大值为32.故选C．

2．（2018·

山西长治二中、康杰中学等五校联考）设x，y满足约束条件则z＝|x－3y|的最大值为（　C　）

C．5　　D．6

[解析]　作出可行域如图中阴影部分所示，记z1＝x－3y，则y＝x－，由图可知当直线z1＝x－3y过点B、C时z1分别取得最大值3和最小值－5.

∴z＝|x－3y|的最大值为5，故选C．

z＝·

，d＝表示点（x，y）到直线x－3y＝0的距离，又B（3,0）到直线x－3y＝0的距离为，C（1,2）到直线x－3y＝0的距离为.

∴z的最大值为×

＝5.故选C．

开封一模）若x，y满足约束条件且目标函数z＝ax＋2y仅在点（1,0）处取得最小值，则a的取值范围是（　B　）

A．[－4,2]　　B．（－4,2）

C．[－4,1]　　D．（－4,1）

[解析]　作出不等式组表示的区域如图中阴影部分所示，直线z＝ax＋2y的斜率为k＝－，从图中可看出，当－1<

－<

2，即－4<

a<

2时，目标函数z仅在点（1,0）处取得最小值．故选B．

4．（2018·

河北唐山一中质检）已知a>

0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝（　B　）

C．1　　D．2

[解析]　画出所表示的区域，作直线z＝2x＋y与直线x＝1交于点A（1，－1），则点A必在直线y＝a（x－3）上，∴－1＝a（1－3），∴a＝，故选B．

5．（文）（2018·

河南八市测评二）若变量x，y满足约束条件则z＝的最小值等于（　B　）

A．－4　　B．－2　　

C．　　D．0

[解析]　作出可行域如图中阴影部分所示，

由得∴A（－2,2）

z＝⇒y＝z（x－3）

z表示（x，y）与点（3,0）连线的斜率．

由图可知（x，y）取（2,2）时z最小为－2，故选B．

（理）（2017·

宁夏六盘山模拟）某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，x、y须满足约束条件则该校招聘的教师人数最多是__10__名.

[解析]　作出可行域如图阴影部分所示，

记z＝x＋y，则y＝－x＋z，（x、y∈N）

当x＝5时，3≤y≤5，此时zmax＝10；

当x＝4时，2≤y≤3，此时zmax＝7；

当x＝3时，1≤y≤1，此时z＝4.

当x＝2时，0≤y≤－1（舍去）

综上可知招聘教师人数最多是10名．