完整版圆锥曲线经典中点弦问题文档格式.docx

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2x+y﹣4=0

3．AB是椭圆（a＞b＞0）的任意一条与x轴不垂直的弦，O是椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则KAB•KOM的值为（　　）

e﹣1

1﹣e

e2﹣1

1﹣e2

4．椭圆4x2+9y2=144内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为（　　）

3x+2y﹣12=0

2x+3y﹣12=0

4x+9y﹣144=0

9x+4y﹣144=0

5．若椭圆的弦中点（4，2），则此弦所在直线的斜率是（　　）

6．已知椭圆的一条弦所在直线方程是x﹣y+3=0，弦的中点坐标是（﹣2，1），则椭圆的离心率是（　　）

7．直线y=x+1被椭圆x2+2y2=4所截得的弦的中点坐标是（　　）

（）

（﹣，）

（，﹣）

8．以椭圆内一点M（1，1）为中点的弦所在的直线方程为（　　）

4x﹣3y﹣3=0

x﹣4y+3=0

4x+y﹣5=0

x+4y﹣5=0

二．填空题（共9小题）

9．过椭圆内一点M（2，0）引椭圆的动弦AB，则弦AB的中点N的轨迹方程是　_________　．

10．已知点（1，1）是椭圆某条弦的中点，则此弦所在的直线方程为：

　_________　．

11．椭圆4x2+9y2=144内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的斜率为　_________　，直线方程为　_________　．

12．椭圆4x2+9y2=144内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为　_________　．

13．过椭圆=1内一定点（1，0）作弦，则弦中点的轨迹方程为　_________　．

14．设AB是椭圆的不垂直于对称轴的弦，M为AB的中点，O为坐标原点，则kAB•kOM=　_________　．

15．以椭圆内的点M（1，1）为中点的弦所在直线方程为　_________　．

16．在椭圆+=1内以点P（﹣2，1）为中点的弦所在的直线方程为　_________　．

17．直线y=x+2被椭圆x2+2y2=4截得的线段的中点坐标是　_________　．

三．解答题（共13小题）

18．求以坐标轴为对称轴，一焦点为且截直线y=3x﹣2所得弦的中点的横坐标为的椭圆方程．

19．已知M（4，2）是直线l被椭圆x2+4y2=36所截的弦AB的中点，其直线l的方程．

20．已知一直线与椭圆4x2+9y2=36相交于A、B两点，弦AB的中点坐标为M（1，1），求直线AB的方程．

21．已知椭圆，求以点P（2，﹣1）为中点的弦AB所在的直线方程．

22．已知椭圆与双曲线2x2﹣2y2=1共焦点，且过（）

（1）求椭圆的标准方程．

（2）求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程．

23．直线l：

x﹣2y﹣4=0与椭圆x2+my2=16相交于A、B两点，弦AB的中点为P（2，﹣1）．

（1）求m的值；

（2）设椭圆的中心为O，求△AOB的面积．

24．AB是椭圆中不平行于对称轴的一条弦，M是AB的中点，O是椭圆的中心，求证：

kAB•kOM为定值．

25．已知椭圆C：

+=1和点P（1，2），直线l经过点P并与椭圆C交于A、B两点，求当l的倾斜角变化时，弦中点的轨迹方程．

26．已知椭圆．

（1）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；

（2）过A（2，1）的直线l与椭圆相交，求l被截得的弦的中点轨迹方程；

（3）过点P（）且被P点平分的弦所在的直线方程．

27．已知椭圆．

（1）求过点且被点P平分的弦所在直线的方程；

（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；

（3）过点A（2，1）引直线与椭圆交于B、C两点，求截得的弦BC中点的轨迹方程．

28．已知某椭圆的焦点是F1（﹣4，0）、F2（4，0），过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点A（x1，y1）、C（x2，y2）满足条件：

|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列．

（Ⅰ）求该椭圆的方程；

（Ⅱ）求弦AC中点的横坐标．

29．（2010•永春县一模）过椭圆内一点M（1，1）的弦AB．

（1）若点M恰为弦AB的中点，求直线AB的方程；

（2）求过点M的弦的中点的轨迹方程．

30．已知椭圆C方程为，直线与椭圆C交于A、B两点，点，

（1）求弦AB中点M的轨迹方程；

（2）设直线PA、PB斜率分别为k1、k2，求证：

k1+k2为定值．

2014年1月panpan781104的高中数学组卷

参考答案与试题解析

考点：

椭圆的简单性质．4126984

专题：

圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：

利用中点坐标公式、斜率计算公式、“点差法”即可得出．

解答：

解：

设以点P为中点的弦所在直线与椭圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2），斜率为k．

则，，两式相减得，

又x1+x2=8，y1+y2=4，，

代入得，解得k=．

故选A．

点评：

熟练掌握中点坐标公式、斜率计算公式、“点差法”是解题的关键．

直线的一般式方程．4126984

计算题．

首先根据题意设出直线的方程，再联立直线与椭圆的方程，然后结合题意与跟与系数的关系得到答案．

设直线的方程为y﹣2=k（x﹣1），

联立直线与椭圆的方程代入可得：

（4+k2）x2+2k（2﹣k）x+k2﹣4k﹣12=0

因为A为椭圆的弦的中点，

所以，解得k=﹣2，

所以直线的方程为2x+y﹣4=0．

故选D．

解决此类问题的关键是熟练掌握直线与椭圆的位置关系的判定，以及掌握弦中点与中点弦问题．

综合题．

设出弦AB所在的直线方程，与椭圆方程联立消去y，根据韦达定理求得x1+x2，的表达式，根据直线方程求得y1+y2的表达式，进而根据点M为AB的中点，表示出M的横坐标和纵坐标，求得直线OM的斜率，进而代入kAB•kOM中求得结果．

设直线为：

y=kx+c

联立椭圆和直线消去y得

b2x2+a2（kx+c）2﹣a2b2=0，即（b2+k2a2）x2+2a2kcx+a2（c2﹣b2）=0

所以：

x1+x2=﹣

所以，M点的横坐标为：

Mx=（x1+x2）=﹣

又：

y1=kx1+c

y2=kx2+c

所以y1+y2=k（x1+x2）+2c=

所以，点M的纵坐标My=（y1+y2）=

Kom===﹣

kAB•kOM=k×

（﹣）=﹣=e2﹣1

本题主要考查了椭圆的应用．涉及弦长问题，利用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦问题，利用差分法较为简便．

直线与圆锥曲线的关系；

利用平方差法：

设弦的端点为A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程，两式作差，利用中点坐标公式及斜率公式可求得直线斜率，再用点斜式即可求得直线方程．

设弦的端点为A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1+x2=6，y1+y2=4，

把A、B坐标代入椭圆方程得，，，

两式相减得，4（﹣）+9（﹣y22）=0，即4（x1+x2）（x1﹣x2）+9（y1+y2）（y1﹣y2）=0，

所以=﹣=﹣=﹣，即kAB=﹣，

所以这弦所在直线方程为：

y﹣2=﹣（x﹣3），即2x+3y﹣12=0．

故选B．

本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、直线方程的求解，涉及弦中点问题常运用平方差法，应熟练掌握．

直线的斜率．4126984

设此弦所在直线与椭圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．利用中点坐标公式和“点差法”即可得出．

设此弦所在直线与椭圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．

则，，两式相减得=0．

∵，，．

代入上式可得，解得kAB=．

本题考查了椭圆的标准方程及其性质、中点坐标公式和“点差法”等基础知识与基本技能方法，属于中档题．

设出以M为中点的弦的两个端点的坐标，代入椭圆的方程相减，把中点公式代入，可得弦的斜率与a，b的关系式，从而求得椭圆的离心率．

显然M（﹣2，1）在椭圆内，设直线与椭圆的交点A（x1，y1），B（x2，y2），

则+=1，+=1，相减得：

=0，

整理得：

k=﹣=1，

又弦的中点坐标是（﹣2，1），

∴，

则椭圆的离心率是e===．

本题考查椭圆的标准方程和简单性质，中点公