二元一次不等式组与简单的线性规划问题Word文件下载.docx

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a<

24.

答案：

B

2．（优质试题·

天津十二县区联考）设变量x，y满足线性约束条件则目标函数z＝2x＋4y的最小值是（　　）

A．－6B．－2

C．4D．6

本题考查线性规划，在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以，（3,8），（3，－3）为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数z＝2x＋4y经过平面区域内的点（3，－3）时，z＝2x＋4y取得最小值zmin＝2×

3＋4×

（－3）＝－6，故选A.

A

3．（优质试题·

山东卷）已知x，y满足约束条件则z＝x＋2y的最大值是（　　）

A．－3B．－1

C．1D．3

画出可行域（如图中阴影部分所示）．

画直线l0：

x＋2y＝0，平移直线l0到直线l的位置，直线l过点M.

解方程组得点M（－1,2），

∴当x＝－1，y＝2时，z取得最大值，且zmax＝－1＋2×

2＝3.故选D.

D

4．（优质试题·

兰州模拟）若变量x，y满足约束条件则z＝2x·

y的最大值为（　　）

A．16B．8

C．4D．3

作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．又z＝2x·

y＝2x－y，令u＝x－y，则直线u＝x－y在点（4,0）处u取得最大值，此时z取得最大值且zmax＝24－0＝16，故选A.

5．（优质试题·

兰州高考实战模拟）已知M（－4,0），N（0，－3），P（x，y）的坐标x，y满足，则△PMN面积的取值范围是（　　）

A．[12,24]B．[12,25]

C．[6,12]D.

作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．又过点M（－4,0），N（0，－3）的直线的方程为3x＋4y＋12＝0，而它与直线3x＋4y＝12平行，其距离d＝＝，所以当P点在原点O处时，△PMN的面积最小，其面积为△OMN的面积，此时S△OMN＝×

3×

4＝6；

当P点在线段AB上时，△PMN的面积最大，为×

×

＝12，故选C.

C

6．（优质试题·

新疆检测）已知a>

0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝（　　）

A．1B.

C.D．2

依题意可知不等式组所表示的平面区域为如图所示的阴影部分，由图可知，当y＝－2x＋z经过点A（1，－2a）时，z取得最小值1，即1＝2×

1－2a，解得a＝，选C.

7．已知变量x，y满足约束条件若使z＝ax＋y取得最小值的最优解有无穷多个，则实数a的取值集合是（　　）

A．{－2,0}B．{1，－2}

C．{0,1}D．{－2,0,1}

作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．

由z＝ax＋y得y＝－ax＋z.

若a＝0，则直线y＝－ax＋z＝z，此时z取得最小值的最优解只有一个，不满足题意；

若－a>

0，则直线y＝－ax＋z在y轴上的截距取得最小值时，z取得最小值，此时当直线y＝－ax与直线2x－y－9＝0平行时满足题意，此时－a＝2，解得a＝－2；

若－a<

0，则直线y＝－ax＋z在y轴上的截距取得最小值时，z取得最小值，此时当直线y＝－ax与直线x＋y－3＝0平行时满足题意，此时－a＝－1，解得a＝1.

综上可知，a＝－2或a＝1.故选B.

8．（优质试题·

河南郑州一中押题卷二）若x，y满足约束条件则当取最大值时，x＋y的值为（　　）

A．－1B．1

C．－D.

作出可行域如图中阴影部分所示，的几何意义是过定点M（－3，－1）与可行域内的点（x，y）的直线的斜率，由图可知，当直线过点A（0，）时，斜率取得最大值，此时x，y的值分别为0，，所以x＋y＝.故选D.

9．（优质试题·

太原市模拟二）已知实数x，y满足条件则z＝|2x－3y＋4|的最大值为（　　）

A．3B．5

C．6D．8

本题考查简单的线性规划问题．作出不等式组表示的平面区域如图所示，由图可知当函数z0＝2x－3y＋4经过点B（2,1）时，z0取得最大值为2×

2－3×

1＋4＝5，当函数z0＝2x－3y＋4经过点A（1,4）时，z0取得最小值为2×

1－3×

4＋4＝－6，所以当目标函数z＝|z0|经过点A（1,4）时取得最大值，即zmax＝6，故选C.

10．（优质试题·

长沙模拟二）记不等式组所表示的平面区域为D，若对任意（x0，y0）∈D，不等式x0－2y0＋c≤0恒成立，则c的取值范围是（　　）

A．（－∞，4]B．（－∞，2]

C．[－1,4]D．（－∞，－1]

本题考查线性规划．不等式组对应的平面区域D是以点（1,0），（2,3）和（0,1）为顶点的三角形及其内部，任意（x0，y0）∈D，x0－2y0＋c≤0恒成立，则c≤（－x0＋2y0）min，（x0，y0）∈D，设z＝－x0＋2y0，则当z＝－x0＋2y0经过点（1,0）时，z取得最小值－1，所以c≤－1，故选D.

二、填空题

11．（优质试题·

长春质量检测二）已知实数x，y满足，则z＝x＋的最大值为________．

作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，目标函数的方程化成斜截式为y＝－2x＋2z，结合线性规划知识知，使目标函数z＝x＋取得最大值的最优解为B（4,6），故z＝x＋的最大值为7.

7

12．（优质试题·

湖北调考）某单位植树节计划种杨树x棵，柳树y棵，若x，y满足约束条件则该单位计划栽种这两树的棵数最多为________．

本题考查简单的线性规划问题．作出不等式组表示的平面区域为图中阴影部分中的整点所示（不包含边界），设z＝x＋y，则y＝－x＋z，由图易得使得y＝－x＋z在y轴的截距最大的点为x＝7,2x－y－5＝0交点附近的整点，易知当目标函数过点（6,6）时取得最大值，所以该单位计划栽种这两种树的棵树最多为12.

12

13．（优质试题·

陕西质检一）点（x，y）满足不等式|x|＋|y|≤1，z＝（x－2）2＋（y－2）2，则z的最小值为________．

本题考查线性规划．不等式组表示的平面区域为正方形ABCD及其内部，z＝（x－2）2＋（y－2）2的几何意义为区域内的点（x，y）到定点P（2,2）的距离的平方，由图象知作PE⊥AD，垂足为E，则E为坐标为，所以z的最小值为|PE|2＝2＋2＝.

14．若x，y满足约束条件则z＝x－2y的最小值为________．

方法一　作出可行域，如图中阴影部分所示，由z＝x－2y得y＝x－z，作直线y＝x并平移，观察可知，当直线经过点A（3,4）时，zmin＝3－2×

4＝－5.

方法二　因为可行域为封闭区域，所以线性目标函数的最值只可能在边界点处取得，易求得边界点分别为（3,4），（1,2），（3,0），依次代入目标函数可求得zmin＝－5.

－5

[能力挑战]

15．（优质试题·

石家庄检测）在平面直角坐标系中，不等式组（r为常数），表示的平面区域的面积为π，若x，y满足上述约束条件，则z＝的最小值为（　　）

A．－1B．－

C.D．－

本题考查线性规划、直线与圆的位置关系．在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示（包含边界），其为半径为r的圆的四分之一，则其面积为πr2＝π，解得r＝2，z＝＝1＋，其中表示阴影部分内的点与点（－3,2）连线的斜率，由图易得当过点（－3,2）的直线与阴影部分的圆弧相切时，取得最小值，设此时＝k，即y＝k（x＋3）＋2，与圆x2＋y2＝4联立，消去y得（1＋k2）·

x2＋（6k2＋4k）x＋9k2＋12k＝0，则方程的判别式Δ＝（6k2＋4k）2－4（1＋k2）（9k2＋12k）＝0，解得k＝－（k＝0舍去），所以的最小值为－，则z＝的最小值为－＋1＝－，故选D.

16．（优质试题·

石家庄模拟）已知x，y满足约束条件若2x＋y＋k≥0恒成立，则直线2x＋y＋k＝0被圆（x－1）2＋（y－2）2＝25截得的弦长的最大值为（　　）

A．10B．2

本题考查简单的线性规划问题、直线与圆的位置关系．作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示（包含边界），不等式2x＋y＋k≥0恒成立等价于k≥（－2x－y）max，设z＝－2x－y，则由图知，当目标函数z＝－2x－y经过点A（－2，－2）时取得最大值，即zmax＝－2×

（－2）－（－2）＝6，所以k≥6.因为圆心（1,2）到直线2x＋y＋k＝0的距离d＝＝，所以直线被圆截得的弦长L＝2＝2，所以当k＝6时，L取得最大值2，故选B.

17．（优质试题·

福州毕业班检测）不等式组的解集记作D，实数x，y满足如下两个条件：

①∀（x，y）∈D，y≥ax；

②∃（x，y）∈D，x－y≤a.

则实数a的取值范围为（　　）

A．[－2,1]B．[0,1]

C．[－2,3]D．[0,3]

本题考查线性规划．不等式组对应的平面区域是以点（0,1），（1,3）和（2,2）为顶点的三角形及其内部，当（x，y）取点（2,2）时，取得最小值1；

当（x，y）取点（1,3）时，x－y取得最小值－2.①要成立，则a≤min＝1；

②要成立，则a≥（x－y）min＝－2，所以实数a的取值范围为－2≤a≤1，故选A.