参数振动系统响应分析方法和频率特性Word文件下载.docx
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振动问题中由具有周期时变系数的线性微分方程（组）所描述的振动系统称为线性参数振动系统［1-6］o许多工程振动问题是参数振动问题。
如齿轮系统［7-11］、板壳动力稳定性［12-14］、不对称或带裂纹转子系统［15-17］、变速旋转的梁以及盘片系统［18,19］、弹性电机的机电耦联振动［20］、直升机旋翼动力系统［21,22］、高速机构动力系统［23］、弹性轨道上的磁悬浮列车动力控制系统［24］、轴向移动系统（移动弦、移动梁和移动带等）的纵向振动［25-27］＞由桥面振动激励引发的斜拉桥桥索振动［28,29］等通过线性简化后均可以转化为线性参激振动问题。
因此，研究参数振动系统分析方法和振动特性在理论上和实际工程应用方面均是很重要的，受到国内外的高度关注。
上世纪七十年代末Ibrahim［l-5］对参数振动问题进行的详细评述主要关注了参数振动的机理、现象和应用等。
从那时起，人们对参数振动问题响应特性的各类分析方法进行了大量研究，提出了许多有效的方法。
为此，本文在第1节较为全面地讨论这些方法的基本原理和主要特点。
此外，目前研究的绝大多数主要涉及参数振动系统稳定性和响应特性方面的研究，对于其振动的频响特性和固有特性仅有少量的研究工作。
因此，本文第2节讨论这方面的问题，包括参数振动的频率结构性质、频响特性、固有特性和共振特性等，并认为这些问题应在今后的研究中受到重视。
1参数振动系统响应特性分析方法
目前，线性参数激励振动系统振动响应一般是指确定性参数激励和外激励作用下的振动响应，所研究的主要是其时域响应问题。
与时不变系统类似，参数振动系统的时域响应可以包含自由振动响应和强迫振动响应两方面。
相关的研究方法主要有：
传统方法、数值积分方法、频域方法、小波-伽辽金方法、坐标变换方法、模态综合方法、L-F变换方法和•些非线性方法。
其中传统方法、数值积分方法、小波-伽辽金方法和非线性方法即可求解自由振动响应，也可求解系统的强迫振动响应（瞬态和稳态）。
而频域方法、坐标变换方法、模态综合方法和L-F变换方法则主要是针对稳态强迫振动响应。
1.1经典方法
这类方法采用经典公式或基于经典方法进行参数激励系统振动响应的分析计算。
1.自由振动响应
1Email:
wangjjb@
2Email:
hanqinkai@
对于单自由度系统（单个周期时变参数方程），Richards［6］认为只有少数几种具有特殊时变参数的系统具有解析解，分别为矩形波形式（rectangularwaveform）、周期脉冲形式（impulses）、周期阶梯形式（staircase）、锯齿波形式（sawtoothwaveform）＞三角波形式（triangularwaveform）、梯形波形式（trapezoidalwaveform）o对于慢变参数系统，早期的WKB方法［30,31］可以求得其近似求解。
对于一般系统，Srinivasan［32］和Sinha［33］分别将参数周期进行分段，然后在各个时间段内采用恒定、线性和二次的近似，得到具有解析解的恒定参数微分方程、Besse1方程和Weber方程，求解上述方程即可以得到系统自由响应的近似解。
对于多自由度系统（周期时变参数方程组），只要得到系统在一个周期内的状态转移矩阵，系统在任意时刻的自由响应均可以得到。
具有解析解的系统是以矩形波形式变化的参数振动系统［34］。
2.强迫振动响应
参数激励系统的自由振动实际上是在内部时变参数激励下的响应。
其响应状态通常与稳定性有关［1］。
若系统不稳定，则在初始条件下的自由振动响应将不断增大，出现参数共振。
若系统稳定且考虑阻尼，则自由振动响应将随时间快速衰减。
参数激励系统的强迫振动主要研究在内部时变激励和外激励共同作用下的强迫振动问题。
这时系统状态方程表示为
x（r）=G（r）x（0+F（0
（1）
其中FQ）表示系统外激励。
根据Cauchy公式［35］,且不考虑初始条件的影响，可以得到系统的强迫响应为
X「（f）=0）£
（r,0）F（r）dr
（2）
Vaishya［36］给出了采用
（2）式求解系统强迫响应的封闭形式，但该形式只能针对时变系数为矩形波形式，对于其他形式的时变系数（如锯齿波形式），则由于Bessel函数的不可积性而无法精确积分。
采用Sylvester理论［37］和Fourier变换技术，D'
Agelo［38］对
（2）式所表示系统强迫响应进行了频谱分析。
在此基础上，Mennem［34］利用频谱分析中各个频率成分的幅值，求解了一两自由度参数振动系统的均方根响应（RootMeanSquareResponse）。
一般来说，参数振动系统的时域强迫响应需要计算较长时间才能满足要求，这给计算带来了很大的麻烦。
Hsu［39］将
（2）式进行特殊的处理使得其为系统的周期稳态响应，且周期为4（二为参数周期7；
和激励周期7｝的最小公倍数）。
那么，只需计算系统在周期q内的响应即可，大大降低了计算负荷。
基于上述思路，Hsu［40,41］研究了具有精确解的周期时变脉冲系统，并将其用于一般系统响应的近似计算中［42］oMidha［43,44］提出了用于单自由度参数振动系统瞬态和稳态响应的数值方法，该方法只需计算周期4内的响应。
随后，
Farhang［45,46］将这种方法推广至多自由度系统。
1.2数值积分方法
采用分段恒定的方法近似系统的时变参数，进而采用各种数值积分方法（如R-K方法）直接求解系统响应是较为传统的思路。
这类方法的关键在于确定系统的响应初值。
Friedmann［47］出了采用系统状态转移矩阵［48］确定系统初值的方法，进而采用带Gill系数的四阶R-K法求解了周期时变系统的响应。
Farhang［49］同样采用四阶R-K法求解系统的稳态响应，但是他认为系统的稳态响应是周期的，只需在基本周期（该周期是参数周期和外激励周期的最小公因数）内进行数值积分，因而大大降低了计算时间。
最近，蔡志勤等［50］又将钟万勰［51］提出的用于时不变系统的精细积分算法推广到时变周期系统响应的计算中，并说明其是一种十分有效的方法。
1.3频域方法
频域方法的主要思路是在频域内求解关心的谐波的幅值。
主要有：
分频传递矩阵法、迭代谱方法（Iternativespectralmethod）和直接谱方法（Directspectralmethod）等。
适用的范围是：
系统处于稳定区域，且求解系统稳态响应。
1.分频传递矩阵法
分频传递矩阵法是由美国Virginia大学的David等［52,53］提出的，这种方法能够有效求解具有较大时变幅值的时变参数振动问题的动态响应。
分频传递矩阵法的核心是利用谐波平衡原理进行分解，将时域中动态响应的求解转变成为频域中Fourier系数的求解。
其基本做法是，首先假定系统的响应为某种截断的Fourier级数，代入方程后，由同次蓦相等的原则，得到以Fourier系数为基本未知量的代数方程，该代数方程组即是弹性元件的传递矩阵。
经过适当的矩阵连乘，并代入边界条件，则得到系统的传递矩阵分析模型，从而可以得到系统的多频稳态响应。
对于传递矩阵法，其分析模型自由度数仅等于任一节点的广义自由度数，与系统的整体自由度数无关，分频后模型的自由度数保持在适当水平，因此使用较为方便。
利用上述分频传递矩阵法，David等分析了齿轮啮合透平机系统的稳态响应。
2.迭代谱方法
上述的分频传递矩阵法需要事先假定系统响应的谐波数，进而利用传递矩阵法求解在频域上对应谐波的幅值。
但在实际系统中，系统响应的谐波成分通常是很难事先确定的。
为此,Perret-Liaudet等［54］提出了迭代谱方法（Iterativespectralmethod）0该方法是--种频域的模态方法，通过采用迭代的思路构造系统响应的近似解，可以直接得到系统各个自由度上强迫响应的频谱和幅值。
通过与标准的数值积分方法对比，可以看出这种方法具有高效快速的优点，并旦适用于大型系统。
3.直接谱方法
直接谱方法是由Deltombe等［55］提出的。
这种方法与迭代谱方法类似，也是通过Fourier变换在频域中求解系统稳态响应中各谐波的幅值。
但是，两种方法在处理与时变刚度项有关的频域卷积时有不同。
迭代谱方法通过迭代的方法求解卷积，而直接谱方法则将该卷积在关心的频段范围内进行离散，得到有关谐波幅值的代数方程组，通过求解该方程组得到该频段内所有谐波的幅值。
该方法仅适用于外激励为周期激励的情况。
对于大型系统，通常情况下并不是所有自由度均具有时变刚度，往往时变项只是某些局部自由度。
针对这种情况，Deltombe将这些与时变项有关的自由度采用上述方法求解，而对于其他自由度，则按照时不变系统求解，他称这一过程为强迫再分析（ForcedReanalysis）0经过这样处理后，大大提高计算速度，同时也降低了该方法对于计算机内存的需求。
1.4变换方法
1.小波-伽辽金法
Pernot［56-58］提出了一种计算周期时变系统瞬态和周期响应的基于小波分解的伽辽金方法。
根据多分辨分析（Multi-resolution）的思路，采用小波提升算法（waveletliftingscheme）,将系统响应信号和各种算子（如积分算子、矩阵相乘算子）在特定时间尺度上采用小波表示，进而将系统的运动微分方程转化为代数方程，并通过求解该代数方程得到系统的响应。
Pernot说明了这种多尺度方法不仅适用于时变参数平滑的系统，同时也适用于参数不平滑的系统（如受高频信号干扰的谐波时变参数、时变频率由低到高变化的参数以及受宽频噪声信号干扰的谐波时变参数等）。
在用于较多自由度时变系统的响应求解时，与经典的R-K方法相比，该方法仍然具有计算效率高的优点。
与Sinha等［33］提出的Chebyschev多项式方法相比，该方法具有小波的一些优点，如：
优良的时频局部化功能、快速提升算法和利用小波基对各种算子进行非标准的压缩重构等。
2.模态变换方法
参数振动系统的模态变换综合方法，是在系统模态分析的基础上，提出的类似于时不变系统的频域模态分析方法。
若不考虑重频问题，那么目前采用模态方法求解周期时变系统的稳态响应主要有两种思路有
（1） 以所有特征向量作为变换基向量
Wu：
59］提出得以所有特征向量作为变换基向量，以此给出了类似于时不变系统的模态综合方法。
通过证明该向量组是线性无关的，并根据其与伴随系统特征向量的双正交特性，得到系统的“模态响应”，进而通过系统特征向量的线性组合得到稳态响应。
Wu认为若不考虑时变，上述计算方法退化为时不变系统的模态综合法。
上述方法的关键在于求解周期时变系统的特征向量，Wu［60］也给出了一种采用摄动方法求解系统特征向量的方法。
（2） 以部分特征向量作为响应求解的基向量
这种思路的具体做法是：
以基向量组成的矩阵
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