第五章线性参数的最小二乘处理.docx
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第五章线性参数的最小二乘处理
第五章线性参数的最小二乘处理
习题
5-1研究铂-铱米尺基准器的膨胀系数时得出,在不同温度下该米尺基准器的长度的修正值可用下述公式表示:
x+ty+t2z=L
式中x表示在0℃时米尺基标准器的修正值(微米);y和z为温度系数;t为温度(℃);L为t℃基准器的长度的修正值(微米)。
经研究得在不同温度下米尺基准器长度的修正值如下表:
i
1
2
3
4
5
t
17.250
0.551
5.363
10.459
14.277
L
160.28
5.70
47.61
41.49
124.25
6
7
8
9
10
17.806
22.103
24.633
28.986
34.417
154.87
192.64
214.57
252.09
299.84
求未知参量x,y,z的最可依赖值。
5-2对未知量x,y,z,组合测量的结果如下:
x=0
y=0
z=0
x-y=0.92,
-y+x=1.35
-x+z=1.00
试求x,y,z的最可依赖值及其标准误差。
5-3由等精度测定方程为:
x+37y+1369z=36.3
x+32y+1024z=41.4
x+27y+729z=47.5
x+2y+484z=54.7
x+17y+289z=63.2
x+12y+144z=72.9
x+7y+49z=83.7
试用矩阵最小二乘法求x,y,z的最可依赖值及其精度。
5-4交流电路的电抗x=ωL,
在角频率ω1=3时,测得x为x1=0.8
ω2=2时,测得x为x2=0.2
ω3=1时,测得x为x3=-0.3
试求:
(i)L,C及其方差;(ii)ω=3时(=0.1)电抗值及其方差。
5-5试求下列方程给出的x,y的最大或然值及其标准误差。
2x+y=5.1
x-y=1.1
4x-y=7.4
x+4y=5.9
5-6测得一直线上四段长度AB、BC、CD、DE分别为24.1,35.8,30.3和33.8厘米,但已知AD准确长90厘米和BE准确长100厘米。
试求AB,BC,CD,DE的最大或然值。
5-7由方程组
3x+y=2.9
x-2y=0.9
2x-3y=1.9
试求x,y的最大或然值及其标准误差。
5-8由下面的不等精度的测定方程组,求x1,x2的最可信赖值及其标准误差。
x1=0权:
P1=8
x2=0P2=10
x1+2x2=0.25P3=1
x1-3x2=0.92P4=5
5-9由下面的不等精度的测定方程组,试用矩阵最小二乘法求x,y的最大或然值及其标准误差。
x-3y=-5.6权:
P1=1
4x+y=8.1P2=2
2x-y=0.5P3=3
5-10由下面的测定方程组,试求x,y的最可依赖值及其标准误差。
2x+y=5.1权:
P1=1
x-y=1.1P2=3
4x-y=7.2P3=2
5-11试求满足下列方程的x,y,z及其标准误差(假设它们是等权的)。
x+y+z=4.01
2x-y+z=1.04
x+3y-2z=5.02
3x+y=4.97
5-12由座标点(1,0)(3,1)和(-1,2)到某点的距离分别为3.1,2.2和3.2。
试求该点座标位置的最大或然值及其标准误差。
5-13对某一角度值,分两个测回进行测定,其权等于测定次数,测定值如下。
试求该角度的最可信赖及其标准误差。
第一测回
第二测回
pi
ai
pi
ai
7
34°56′
3
34º55′40″
1
34°54′
2
34º55′30″
1
34º55′20″
1
34º55′0″
2
34°55′
1
34º55′70″
1
34º55′10″
1
34º55′50″
5-14某平面三角形三个角被测出为A=48º5′10″,B=60º25′24″,C=70º42′7″,令假设这种测量(i)各次权相等;(ii)各次权分别为1、2、3;试求A、B、C的最大或然值。
5-15数N系时间t的函数
N=x1+x2t+x3t2
测定后的N的值如下。
测定是在异权情况下进行的,试求x1,x2,x3的最可信赖值。
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
ti
1.5
1.1
0.7
0.3
-0.1
-0.5
-1.0
-1.5
-2.0
Ni
6.20
3.45
2.00
1.80
2.40
4.55
8.85
15.70
24.40
Pi
0.707
0.500
5-16硝酸钠在100份水内的溶解度与温度的关系,测定为
温度
0°
4°
10°
15°
21°
29°
36°
51°
68°
溶解度
66.7
71.0
76.3
80.6
85.7
92.9
99.4
113.6
125.1
上述关系可用直线67.5+0.87t表示(式中t为温度)。
试用最小二乘法来检证。
5-17由下列测定的方程组,求X、Y最可信赖及其或然误差。
X+Y=37.0权:
P1=5
2X+Y=61.9P2=4
3X+Y=86.7P3=4
X+2Y=49.2P4=4
X+3Y=60.6P5=3
2X+3Y=86.7P6=2
3X+2Y=98.4P7=3
5-18由下列测定方程组,求X、Y最可信赖及其标准误差。
2X+4Y+8Z=0.1612
2.200X+4.840Y+10.648Z=0.1986
3.200X+10.240Y+32.768Z=0.5098
2.600X+6.760Y+17.576Z=0.2896
3X+9Y+27Z=0.4181
5-19假设有三个某种量规,其值分别为Y1、、Y2、Y3。
现在将它们直接地或间接地与数值已知为N的标准量规比较,比较的方案为下述三种(三种组合):
(i)每一个量规各与标准量规比较二次;
(ii)第一个量规(Y1)与标准量规比较二次,第二个量规(Y2)与第一个量规比较二次,第三个量规(Y3)与第二量规比较二次;
(iii)每一个量规各与标准量比较一次,然后它们相互按不同的组合比较一次;
上述三种测量方案得到的条件方程式如下表所示:
(1)
(2)
(3)
Y1—N=X1
Y1—N=X1
Y1—N=X1
Y1—N=X2
Y1—N=X2
Y2—N=X2
Y2—N=X3
Y2—Y1=X3
Y3—N=X3
Y2—N=X4
Y2—Y1=X4
Y2—Y1=X4
Y3—N=X5
Y3—Y2=X5
Y3—Y1=X5
Y3—N=X6
Y3—Y2=X6
Y3—Y2=X6
试研究采用那一种测量方案能够获得最好的结果。
(提示:
可以比较不同测量方案下未知数的权)。
典型题解
5-1由测量方程
试求、的最小二乘法处理及其相应精度。
解:
方法一:
列出误差方程组:
分别对求偏导,并令它们的结果为0,
即,
由上式可解得结果:
方法二:
直接列表计算给出正规方程常数项和系数
1
3
1
9
1
3
2.9
8.7
2.9
2
1
-2
1
4
-2
0.9
0.9
-1.8
3
2
-3
4
9
-6
1.9
3.8
-5.7
---
---
14
14
-5
---
13.4
-4.6
可得正规方程
将的结果代入分别求得:
得,
由题已知,得
由不定乘数的方程组
得
得
方法二:
按矩阵形式计算,由误差方程
上式可以表示为
即
;;;
可得
式中
所以
即解得,
将最佳估计值代入误差方程可得,
将计算得到的数据代入式中
为求出估计量的标准差,首先求出不定常数。
由已知,不定常数的系数与正规方程的系数相同,因而是矩阵中各元素,即
则
可得估计量的标准差为
5-2已知误差方程为
试给出的最小二乘法处理及其相应精度。
解:
根据矩阵形式,误差方程可以表示为
即
;;;
可得
式中
得
即解得
将最佳估计值代入误差方程可得
得
可得
为求出估计量的标准差,首先求出不定乘数,不定乘数的系数
与正规方程的系数相同,因而是矩阵中各元素,即
则
于是估计量的标准差,
5-3测力计示值与测量时的温度的对应值独立测得如下表所示。
/
15
18
21
24
27
30
43.61
43.63
43.68
43.71
43.74
43.78
设无误差,值随的变化呈线性关系,试给出线性方程中系数和的最小二乘估计及其相应精度。
解:
方法一:
列出误差方程式,
令为待估计量,则误差方程可写成为
为计算方便,将数据列表如下:
1
15
225
43.61
654.15
2
18
324
43.63
785.34
3
21
441
43.68
917.28
4
24
576
43.71
1049.04
5
27
729
43.74
1180.98
6
30
900
43.78
1313.4
135
3195
262.15
5900.19
根据误差方程,列出正规方程:
将表中计算出的相应系数值代入上面的正规方程得
解得
即
将代入误差方程得:
将代入上式,可得残余误差为:
N
N
N
N
N
N
可得:
可得标准差为,
N
由上面所给的正规方程的系数,可列出求解不定乘数的方程组
分别解得
估计量的标准差为
方法二:
直接利用矩阵求解,误差方程可写成
即
;;;
可得
式中
所以
将最佳估计值代入误差方程得
可计算
为求出估计量的标准差,需要求出不定乘数的系数,而不定乘数的系数与正规方程的系数相同,因而是矩阵中各元素,即
则
可得估计量的标准差为
5-4研究米尺基准器的线膨胀系数,得出在不同温度时该基准器的长度修正值可用公式表示。
式中为时米尺基准器的修正值(单位为):
和为温度系数;为温度。
在不同温度时米尺基准器的修正值如下表所示:
/
0.551
5.363
10.459
14.277
17.806
22.103
24.633
28.986
34.417
5.70
47.61
91.49
124.25
154.87
192.64
214.57
252.09
299.84
试求的最小二乘法处理及其相应精度。
解:
利用矩阵形式误差方程可以表示为
即
;;;
可得
式中
所以