例谈共点、共线、共面问题Word格式.doc
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又平面.
平面.
也是平面与平面的公共点.
是平面与平面的交线.为与截面的交点,
平面平面,即也是两平面的公共点.
,即三点共线.
2.如图,在四边形ABCD中,已知AB∥CD,直线AB,BC,AD,DC分别与平面α相交于点E,G,H,F.求证:
E,F,G,H四点必定共线(在同一条直线上).
分析:
先确定一个平面,然后证明相关直线在这个平面内,最后证明四点共线.
证明∵AB//CD,AB,CD确定一个平面β.
又∵AB∩α=E,ABβ,Eα,Eβ,
即E为平面α与β的一个公共点.
同理可证F,G,H均为平面α与β的公共点.
∵两个平面有公共点,它们有且只有一条通过公共点的公共直线,
∴E,F,G,H四点必定共线.
点
评:
在立体几何的问题中,证明若干点共线时,先证明这些点都是某两平面的公共点,而后得出这些点都在二平面的交线上的结论.
二、共点问题
证明线共点,就是要证明这些直线都过其中两条直线的交点.解决此类问题的一般方法是:
先证其中两条直线交于一点,再证该点也在其他直线上.
1.如图2,已知空间四边形分别是
的中点,分别是上的点,
且,求证:
相交于同一点.
错解:
、F分别是AB,AD的中点,∥BD,EF=BD,
又, GH∥BD,GH=BD,
四边形EFGH是梯形,设两腰EG,FH相交于一点T,
F分别是AD.AC与FH交于一点.直线EG,FH,AC相交于一点
正解:
分别是的中点,
,且.又,
,且. ,且.
四边形是梯形,其两腰必相交,设两腰相交于一点,
平面平面,平面平面,
又平面平面.
故相交于同一点.
2.如图,已知平面α,β,且α∩β=.设梯形ABCD中,AD∥BC,且ABα,CDβ,求证:
AB,CD,共点(相交于一点).
AB,CD是梯形ABCD的两条腰,必定相交于一点M,只要证明M在上,而是两个平面α,β的交线,因此,只要证明M∈α,且M∈β即可.
∵梯形ABCD中,AD∥BC,
∴AB,CD是梯形ABCD的两条腰.
∴AB,CD必定相交于一点,
设AB∩CD=M.
又∵ABα,CDβ,∴M∈α,且M∈β.
∴M∈α∩β.
又∵α∩β=,∴M∈,
即AB,CD,共点.
证明多条直线共点时,与证明多点共线是一样的.
三、共面问题
证明空间的点、线共面问题,通常采用以下两种方法:
①根据已知条件先确定一个平面,再证明其他点或直线也在这个平面内;
②分别过某些点或直线作两个平面,证明这两个平面重合.
1.如图3,设分别为正方体
的棱的中点,
求证:
共面.
如图3,连结.分别为的中点,.
. 分别为的中点,.
四边形为平行四边形. ..
因此,直线可确定一个平面.
同理,由可知,直线确定一个平面.
过两条相交直线有且只有一个平面,与重合,即.
同理可证. 因此,共面.
2.已知:
a,b,c,d是不共点且两两相交的四条直线,求证:
a,b,c,d共面.
弄清楚四条直线不共点且两两相交的含义:
四条直线不共点,包括有三条直线共点的情况;
两两相交是指任何两条直线都相交.在此基础上,根据平面的性质,确定一个平面,再证明所有的直线都在这个平面内.
证明1º
若当四条直线中有三条相交于一点,不妨设a,b,c相交于一点
A
∴直线d和A确定一个平面α.
又设直线d与a,b,c分别相交于E,F,G,
则A,E,F,G∈α.
∵A,E∈α,A,E∈a,
∴aα.
同理可证bα,cα.
∴a,b,c,d在同一平面α内.
2º
当四条直线中任何三条都不共点时,如图.
∵这四条直线两两相交,
则设相交直线a,b确定一个平面α.
设直线c与a,b分别交于点H,K,
则H,K∈α.
又∵H,K∈c,∴cα.
同理可证dα.∴a,b,c,d四条直线在同一平面α内.
证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是:
首先由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后再证明其余的线(或点)均在这个平面内.本题最容易忽视“三线共点”这一种情况.因此,在分析题意时,应仔细推敲问题中每一句话的含义.
四、证明异面直线
1.如图正四面体中,D、E是棱PC上不重合的两点;
F、H分别是棱PA、PB上的点,且与P点不重合.
EF和DH是异面直线.
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