3.已知图中的网格是由边长为1的正方形组成的,某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）.
A.8B.6C.4D.4
答案▶ A
解析▶ 由三视图还原出该几何体为长方体切去一部分,如图所示,所以该几何体的体积V=×2×2×3=8.故选A.
4.已知抛物线x2=4y的焦点为F,过点F和抛物线上一点M（4,4）的直线l交抛物线于另一点N,则|NF|∶|MN|=（ ）.
A.1∶2B.1∶3C.1∶4D.1∶5
答案▶ D
解析▶ 由题意得抛物线的焦点为F（0,1）,则kFM==,
由得4y2-17y+4=0,解得y1=,y2=4,
∴===.
5.函数f（x）=ln（2x-1）的图象在点（1,f
（1））处的切线方程为（ ）.
A.y=x-1B.y=2x-1C.y=2x-2D.y=x
答案▶ C
解析▶ ∵f（x）=ln（2x-1）,∴f'（x）=,
∴f'
（1）=2.
又∵f
（1）=0,∴所求切线方程是y=2x-2.
6.若函数y=-cos的部分图象如图所示,则ω=（ ）.
A.5B.4C.3D.2
答案▶ B
解析▶ y=-cos=sin（ωx+φ）,设该函数的最小正周期为T,由函数图象可知=-x0=,所以T=.又因为T=,所以ω=4.
7.的展开式中x3的系数为（ ）.
A.220B.30C.40D.50
答案▶ D
解析▶ 的展开式通项为Tr+1C·（x2）6-r·=Cx12-3r.
令12-3r=6,得r=2,此时x3的系数是2×（-1）2=30;
令12-3r=3,得r=3,此时x3的系数是-（-1）3=20.
故的展开式中x3的系数是50.
8.已知sin=,cos2α=,则sinα=（ ）.
A.B.C.D.
答案▶ B
解析▶ 由sin=得sinα-cosα=, ①
由cos2α=得cos2α-sin2α=,
即（cosα-sinα）·（cosα+sinα）=, ②
由①②可得cosα+sinα=-, ③
由①③解得sinα=.故选B.
9.中国是茶的故乡,也是茶文化的发源地.中国茶的发现和利用已有四千七百多年的历史,且长盛不衰,传遍全球.为了弘扬中国茶文化,某酒店推出特色茶食品“金萱排骨茶”,为了解每壶“金萱排骨茶”中所放茶叶量x克与食客的满意率y的关系,通过试验调查研究,发现可选择函数模型y=aebx+c来拟合y与x的关系,调查数据如下表:
茶叶量x克
1
2
3
4
5
ln（100y）
4.34
4.36
4.44
4.45
4.51
依据表中数据,可求得y关于x的回归方程为（ ）.
A.y=e0.043x+4.291B.y=e0.043x-4.291
C.y=e0.043x+4.291D.y=e0.043x-4.291
答案▶ A
解析▶ 由表中数据可知==3,
==4.42.
A正确,y=e0.043x+4.291化简变形可得100y=e0.043x+4.291,同时取对数可得ln（100y）=0.043x+4.291,将=3代入可得ln（100y）=0.043×3+4.291=4.42,而=4.42;
B错误,y=e0.043x-4.291化简变形可得100y=e0.043x-4.291,两边同时取对数可得ln（100y）=0.043x-4.291,将=3代入可得ln（100y）=0.043×3-4.291=-4.162,而=4.42;
C错误,y=e0.043x+4.291,两边同时取对数可得lny=0.043x+4.291,而表中所给的为ln（100y）的相关量;
D错误,y=e0.043x-4.291,两边同时取对数可得lny=0.043x-4.291,而表中所给的为ln（100y）的相关量.
10.在三棱锥S-ABC中,SB=SA=AB=BC=AC=2,SC=,则三棱锥S-ABC外接球的表面积是（ ）.
A.B.C.D.
答案▶ A
解析▶ 取AB的中点为D,连接SD,CD,如图所示.
由△SAB和△ABC都是正三角形,得SD⊥AB,CD⊥AB,则SD=CD=,则SD2+CD2=（）2+（）2=（）2=SC2,由勾股定理的逆定理,得∠SDC=90°.
设外接球的球心为O,△ABC和△SAB的中心分别为E,F,连接OE,OF,OD.
由球的性质可知,OE⊥平面ABC,OF⊥平面SAB,
所以OE=DF=DE=OF=,
由勾股定理,得OD==,
所以外接球的半径R===,
所以外接球的表面积S=4πR2=4π=.
11.已知圆C:
（x-3）2+y2=2,直线l:
y=kx-2.若直线l上存在点P,过点P引圆C的两条切线l1,l2,使得l1⊥l2,则当k取最大值时,直线l的方程是（ ）.
A.y=-2B.y=x-2
C.y=x-2D.y=3x-2
答案▶ C
解析▶ 由题意可知圆C的圆心为（3,0）,半径r=.
设P（x,y）,因为两切线l1⊥l2,如图,则PA⊥PB.
由切线性质定理知PA⊥AC,PB⊥BC,|PA|=|PB|,
所以四边形PACB为正方形,所以|PC|=2,
即点P的轨迹是以（3,0）为圆心,2为半径的圆,则其方程为（x-3）2+y2=4.
由题意知直线l:
y=kx-2过定点（0,-2）,
只要直线l与点P的轨迹（圆）有交点即可,即大圆的圆心到直线的距离小于或等于半径,
即d=≤2,解得0≤k≤,所以kmax=,
此时直线l的方程是y=x-2.
12.已知实数a>0,b>0,a≠1,且满足lnb=,则下列判断正确的是（ ）.
A.a>bB.a1D.logab<1
答案▶ C
解析▶ 令函数f（x）=x--2lnx,则f'（x）=1+-=≥0,所以f（x）在定义域上单调递增,又f
（1）=0,可得f（x）<0在（0,1）上恒成立,f（x）>0在（1,+∞）上恒成立.
取x=,则f（）=--2ln=--lna=lnb-lna,
当0<<1时,f（）<0,即lnb-lna<0,所以b当>1时,f（）>0,即lnb-lna>0,所以b>a.
故A,B不一定成立.
又当0<<1时,lnb1,由换底公式可得到logab>1;
当>1时,lnb>lna>0,所以>1,由换底公式可得到logab>1.
故C正确,D错误.
二、填空题（本题共4小题,每小题5分,共20分）
13.若x,y满足则z=y-x的最大值为 .
答案▶
解析▶ 作出满足不等式组的平面区域,如图中阴影部分所示（含边界）,由图可知目标函数z=y-x在点A（1,3）处取得最大值,最大值为3-=.
14.已知平面向量a与b的夹角为,a=（,-1）,|b|=1,则|2a-b|= .
答案▶
解析▶ 由a=（,-1）,可得|a|==2,则a·b=|a|·|b|cos=1,所以|2a-b|===.
15.
如图所示,F1,F2分别是双曲线C:
-y2=1的左、右焦点,过点F2的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于A,B两点,且点A在第一象限,若|F2A|=|AB|,|+|=|-|,则双曲线C的离心率为 .
答案▶ 2
解析▶ 设A（m>0）,F2（c,0）,由|F2A|=|AB|可得A是线段F2B的中点,所以由中点坐标公式可得B,
代入渐近线方程y=-,得=-（2m-c）,得m=.
由|+|=|-|,得·=0,
故·=4·m2-4mc=0,
将m=代入得·-c2=0,得a2=,
所以e===2.
16.
如图所示,全等的△ABF,△BCD,△CAE拼成一个等边△ABC,且△DEF为等边三角形,EF=2AE,设∠ACE=θ,则sin2θ= .
答案▶
解析▶ 设AE=k（k>0）,则EF=2k.
∵△ABF,△BCD,△CAE全等,
∴∠FAB=θ,CD=k,DE=2k.
又∵△ABC为等边三角形,∴∠CAE=-θ.
在△CAE中,由正弦定理可得=,
即=,即3sinθ=cosθ-sinθ,
化简得tanθ=,
∴sin2θ====.
三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答）
（一）必考题（共60分）
17.（12分）已知等比数列{an}的公比q=2,且a3+1是a2,a4的等差中项.
（1）求{an}的通项公式;
（2）设bn=2（n-3）an,求数列{bn}的前n项和Tn.
解析▶
（1）由题意可得2（a3+1）=a2+a4,即2（4a1+1）=2a1+8a1,解得a1=1.
因此数列{an}的通项公式an=a1qn-1=1×2n-1=2n-1.
（2）由
（1）得bn=2（n-3）an=（n-3）·2n,
故Tn=（-2）×21+（-1）×22+0×23+…+（n-3）·2n,
2Tn=（-2）×22+（-1）×23+…+（n-3）·2n+1,
两式相减,得-Tn=-4+22+23+…+2n-（n-3）·2n+1=-4+-（n-3）·2n+1,
即Tn=（n-4）·2n+1+8.
18.
（12分）如图,P是以AB为直径的半圆O上异于点A,B的点,矩形ABCD所在的平面垂直于半圆O所在的平面,且AB=2AD=2.
（1）求证:
AP⊥平面PBC.
（2）若异面直线AP和DC所成的角为,求平面DCP与平面APB所成的锐二面角的余弦值.
解析▶
（1）∵平面ABCD垂直于圆O所在的平面,两平面的交线为AB,BC⊂平面ABCD,BC⊥AB,∴BC垂直于圆O所在的平面.又PA在圆O所在的平面内,∴BC⊥PA.∵P是半圆O上一点,∴∠APB是直角,∴BP⊥PA.又BC∩BP=B,∴PA⊥平面PBC.
（2）如图,以O为坐标原点,过点O作与AB垂直的直线为x轴,AB所在的直线为y轴,与BC平行的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,连接OP.
由异面直线AP和DC所成的角为,AB∥DC知,∠BAP=,
∴∠BOP=,∴P.
由题设可知D（0,-1,1）,C（0,1,1）,
∴=,=.
设平面DCP的法向量为n=（x,y,z）,
由得
取x=2,y=0,得z=,∴n=（2,0,）.
又平面APB的一个法向量为m=（0,0,1）,
∴cos===.
故平面DCP与平面APB所成的锐二面角的余弦值为.
19.（12分）某篮球比赛,甲、乙两人各投篮一次,投中的概率分别是和,假设两人投篮是否投中,相互之间没有影响,每次投篮是否投中,
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