二次函数专题训练菱形的存在性含答案_精品文档Word文档格式.doc

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（2）若点P在第一象限内，当OD=4PE时，求四边形POBE的面积；

（3）在

（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？

若存在，直接写出点N的坐标；

【温馨提示：

考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便探究】

3．如图，抛物线y=ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C三点，已知点A（﹣2，0），点C（0，﹣8），点D是抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）如图1，抛物线的对称轴与x轴交于点E，第四象限的抛物线上有一点P，将△EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B'

落在抛物线的对称轴上，求点P的坐标；

（3）如图2，设BC交抛物线的对称轴于点F，作直线CD，点M是直线CD上的动点，点N是平面内一点，当以点B，F，M，N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M的坐标．

4．如图1，抛物线y=ax2+bx+4的图象过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，作直线BC，动点P从点C出发，以每秒个单位长度的速度沿CB向点B运动，运动时间为t秒，当点P与点B重合时停止运动．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图2，当t=1时，求S△ACP的面积；

（3）如图3，过点P向x轴作垂线分别交x轴，抛物线于E、F两点．

①求PF的长度关于t的函数表达式，并求出PF的长度的最大值；

②连接CF，将△PCF沿CF折叠得到△P′CF，当t为何值时，四边形PFP′C是菱形？

5．如图，已知已知抛物线经过原点O和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴与x轴交于点D，直线y=﹣2x﹣1经过抛物线上一点B（﹣2，m）且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F．

（1）求m的值及该抛物线的解析式

（2）P（x，y）是抛物线上的一点，若S△ADP=S△ADC，求出所有符合条件的点P的坐标．

（3）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形？

若能，请直接写出点M的运动时间t的值；

若不能，请说明理由．

6．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a（x+1）2﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣），顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线l交抛物线于P，Q两点，点Q在y轴的右侧．

（1）求a的值及点A，B的坐标；

（2）当直线l将四边形ABCD分为面积比为3：

7的两部分时，求直线l的函数表达式；

（3）当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形？

若能，求出点N的坐标；

7．已知抛物线y=x2+1（如图所示）．

（1）填空：

抛物线的顶点坐标是（　　，　　），对称轴是　　；

（2）已知y轴上一点A（0，2），点P在抛物线上，过点P作PB⊥x轴，垂足为B．若△PAB是等边三角形，求点P的坐标；

（3）在

（2）的条件下，点M在直线AP上．在平面内是否存在点N，使四边形OAMN为菱形？

若存在，直接写出所有满足条件的点N的坐标；

8.（2016山东省威海市）．如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），点B（4，0），点D（2，4），与y轴交于点C，作直线BC，连接AC，CD．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）E是抛物线上的点，求满足∠ECD=∠ACO的点E的坐标；

（3）点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线BC上，点P为第一象限内抛物线上一点，若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长．

9.（2012山东省烟台市）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的三个顶点，，，以为顶点的抛物线过点，动点从点出发，沿线段向点运动．同时动点从点出发，沿线段向点运动，点的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为秒，过点作交于点．

（1）直接写出点的坐标，并求出抛物线的解析式；

（2）过点作于，交抛物线于点，当为何值时，的面积最大？

最大值为多少？

（3）在动点运动的过程中，当何值时，在矩形内（包括边界）存在点，使以为顶点的四边形为菱形？

请直接写出的值．

10.（2012青海省）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点，点P是直线BC下方抛物线上的动点.

（1）求这个二次函数表达式；

（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？

若存在，求出此时点P的坐标；

若不存在，请说明理由；

（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？

求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.

二次函数之菱形的存在性参考答案

【解答】解：

（1）过点B作BF⊥x轴于F，在Rt△BCF中

∵∠BCO=45°

，BC=12∴CF=BF=12

∵C的坐标为（﹣18，0）∴AB=OF=6

∴点B的坐标为（﹣6，12）．

（2）过点D作DG⊥y轴于点G，∵AB∥DG，∴△ODG∽△OBA，

∵===，AB=6，OA=12，

∴DG=4，OG=8，∴D（﹣4，8），E（0，4）

设直线DE解析式为y=kx+b（k≠0）

∴∴；

∴直线DE解析式为y=﹣x+4．

（3）结论：

存在．

设直线y=﹣x+4分别与x轴、y轴交于点E、点F，则E（0，4），F（4，0），OE=OF=4，EF=4．

如答图2所示，有四个菱形满足题意．

①菱形OEP1Q1，此时OE为菱形一边．

则有P1E=P1Q1=OE=4，P1F=EF﹣P1E=4﹣4．

易知△P1NF为等腰直角三角形，∴P1N=NF=P1F=4﹣2；

设P1Q1交x轴于点N，则NQ1=P1Q1﹣P1N=4﹣（4﹣2）=2，

又ON=OF﹣NF=2，∴Q1（2，﹣2）；

②菱形OEP2Q2，此时OE为菱形一边．

此时Q2与Q1关于原点对称，∴Q2（﹣2，2）；

③菱形OEQ3P3，此时OE为菱形一边．

此时P3与点F重合，菱形OEQ3P3为正方形，∴Q3（4，4）；

④菱形OP4EQ4，此时OE为菱形对角线．

由菱形性质可知，P4Q4为OE的垂直平分线，

由OE=4，得P4纵坐标为2，代入直线解析式y=﹣x+4得横坐标为2，则P4（2，2），

由菱形性质可知，P4、Q4关于OE或y轴对称，∴Q4（﹣2，2）．

综上所述，存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形；

点Q的坐标为：

Q1（2，﹣2），Q2（﹣2，2），Q3（4，4），Q4（﹣2，2）．

（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，A（﹣2，0）在抛物线上，∴，解得：

，抛物线解析式为y=x2﹣x﹣2；

（2）令y=x2﹣x﹣2=0，解得：

x1=﹣2，x2=4，当x=0时，y=﹣2，∴B（4，0），C（0，﹣2），设BC的解析式为y=kx+b，则，解得：

，∴y=x﹣2，设D（m，0），∵DP∥y轴，

∴E（m，m﹣2），P（m，m2﹣m﹣2），∵OD=4PE，

∴m=4（m2﹣m﹣2﹣m+2），∴m=5，m=0（舍去），

∴D（5，0），P（5，），E（5，），∴四边形POBE的面积=S△OPD﹣S△EBD=×

5×

﹣1×

=；

（3）存在，设M（n，n﹣2），

①以BD为对角线，如图1，∵四边形BNDM是菱形，

∴MN垂直平分BD，∴n=4+，∴M（，），∵M，N关于x轴对称，∴N（，﹣）；

②以BD为边，如图2，∵四边形BNDM是菱形，

∴MN∥BD，MN=BD=MD=1，过M作MH⊥x轴于H，

∴MH2+DH2=DM2，即（n﹣2）2+（n﹣5）2=12，

∴n1=4（不合题意），n2=5.6，∴N（4.6，），

同理（n﹣2）2+（4﹣n）2=1，∴n1=4+（不合题意，舍去），n2=4﹣，

∴N（5﹣，﹣），

③以BD为边，如图3，过M作MH⊥x轴于H，∴MH2+BH2=BM2，即（n﹣2）2+（n﹣4）2=12，∴n1=4+，n2=4﹣（不合题意，舍去），

∴N（5+，），

综上所述，当N（，﹣）或（4.6，）或（5﹣，﹣）或（5+，），以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形．

落在抛物线的对称轴上，