圆中常用辅助线Word文档格式.doc

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例1如图1，在以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于、两点.求证：

.

图1

图2

证明过作于

∵为圆心，

∴

练习如图2，为⊙的弦，

是上的一点，，.求⊙的半径.

2.有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角.

例2如图，已知是⊙的直径，、分别是、的中点，,.

图3

（二）连结、、、（如图3）.

请自己完成证明过程.

求证：

证明：

（一）连结、

∵、分别是、的中点,

∴、.

∵,∴.

∵,、,

∴△≌△.

∴.

∴.

3.有弦中点时常连弦心距

例3如图4，已知、分别是⊙的弦、的中点,，求证：

证明连结、.（其余证明过程略，请自己补充完整）

4.有弧中点（或证明是弧中点）时，常有以下几种引辅助线的方法：

⑴连结过弧中点的半径；

⑵连结等弧所对的弦；

⑶连结等弧所对的圆心角

例4如图5，已知、分别是⊙的半径、的中点，为弧的中点，求证：

图5

图4

证明连结OC

∵C为弧AB的中点

∴∴∠AOC=∠BOC

∵D、E分别为OA、OB的中点，且AO=BO,

∴△ODC≌△OEC.∴CD=CE.

5.有直径时常作直径所对的圆周角，再利用直径所对的圆周角为直角证题.

图7

图6

例5如图6，为⊙的直径，为弦，为延长线上一点，且,的延长线交⊙于，求证：

证明连结AD.

∵AB为⊙O的直径,∴∠ADP=90o.

∵AC=PC,∴AC=CD=AP.

例6如图7，P是⊙O的弦CB延长

线上一点，点A在⊙O上，且.

PA是⊙O的切线.

证明作⊙O的直径AD，连BD，则

，即.所以.

因为，所以，即.

所以PA为⊙O的切线.

6.有等弧时常作辅助线有以下几种：

⑴作等弧所对的弦；

⑵作等弧所对的圆心角；

⑶作等弧所对的圆周角.

练习：

1.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，交点为E，F为DC延长线上一点，连结AF交⊙O于M.求证：

∠AMD=∠FMC（提示：

连结BM）

2.如图，△ABC内接于⊙O，D、E在BC边上，且BD=CE，∠1=∠2，求证：

AB=AC.

7.有弦中点时，常构造三角形中位线.

例7已知如图8，在⊙中，AB⊥CD，OE⊥BC于E，求证：

OE=AD.

图8

证明作直径CF，连结DF、BF.

∵CF为⊙O的直径,∴CD⊥FD.

又∵CD⊥AB,∴AB∥DF.∴.∴AD=BF

∵OE⊥BC,O为圆心,CO=FO.

∴CE=BE.∴OE=BF.∴OE=AD.