因式分解的16种方法Word文档格式.docx
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具体方法:
当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数;
字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的;
取相同的多项式,多项式的次数取最低的。
如果多项式的第一项是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数成为正数。
提出“-”号时,多项式的各项都要变号。
提公因式法基本步骤:
(1)找出公因式;
(2)提公因式并确定另一个因式:
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母;
②第二步提公因式并确定另一个因式,注意要确定另一个因式,可用原多项式除以公因式,所得的商即是提公因式后剩下的
一个因式,也可用公因式分别除去原多项式的每一项,求的剩下的另一个因式;
③提完公因式后,另一因式的项数与原多项式的项数相同。
口诀:
找准公因式,一次要提净;
全家都搬走,留1把家守;
提负要变号,变形看奇偶。
例如:
-am+bm+cm=-m(a-b-c);
a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。
注意:
把2+变成2(+)不叫提公因式
⑵公式法
如果把乘法公式反过来,就可以把某些多项式分解因式,这种方法叫公式法。
平方差公式:
=(a+b)(a-b);
完全平方公式:
±
2ab+=
能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式,另一项是这两个数(或式)的积的2倍。
立方和公式:
=(a+b)(-ab+);
立方差公式:
=(a--b)(+ab+);
完全立方公式:
3b+3a±
=(a±
b).
公式:
++-3abc=(a+b+c)(++-ab-bc-ca)
+4ab+4=(a+2b)。
⑶分组分解法
分组分解是解方程的一种简洁的方法,我们来学习这个知识。
能分组分解的方程有四项或大于四项,一般的分组分解有两种形式:
二二分法,三一分法。
比如:
ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)
我们把ax和ay分一组,bx和by分一组,利用乘法分配律,两两相配,立即解除了困难。
同样,这道题也可以这样做。
ax+ay+bx+by =x(a+b)+y(a+b) =(a+b)(x+y)
几道例题:
1.5ax+5bx+3ay+3by
解法:
=5x(a+b)+3y(a+b) =(5x+3y)(a+b)
说明:
系数不一样一样可以做分组分解,和上面一样,把5ax和5bx看成整体,把3ay和3by看成一个整体,利用乘法分配律轻松解出。
2.x-+x-1
=(x-)+(x-1) =(x-1)+(x-1) =(x-1)(+1)
利用二二分法,提公因式法提出x2,然后相合轻松解决。
3.-x-y-y
=(-y)-(x+y) =(x+y)(x-y)-(x+y) =(x+y)(x-y-1)
利用二二分法,再利用公式法a-b=(a+b)(a-b),然后相合解决。
⑷十字相乘法
这种方法有两种情况。
①+(p+q)x+pq型的式子的因式分解
这类二次三项式的特点是:
二次项的系数是1;
常数项是两个数的积;
一次项系数是常数项的两个因数的和。
因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解:
+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).
②k+mx+n型的式子的因式分解
如果有k=ac,n=bd,且有ad+bc=m时,那么kx+mx+n=(ax+b)(cx+d).
图示如下:
ad例如:
因为1-3
×
×
cd72-3×
7=-21,1×
2=2,且2-21=-19,
所以7-19x-6=(7x+2)(x-3).
十字相乘法口诀:
首尾分解,交叉相乘,求和凑中
⑸裂项法
这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项),使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。
这钟方法的实质是分组分解法。
要注意,必须在与原多项式相等的原则下进行变形。
bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b).
⑹配方法
对于某些不能利用公式法的多项式,可以将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解,这种方法叫配方法。
属于拆项、补项法的一种特殊情况。
也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。
+3x-40 =+3x+2.25-42.25 = =(x+8)(x-5).
⑺应用因式定理
对于多项式f(x)=0,如果f(a)=0,那么f(x)必含有因式x-a.
f(x)=+5x+6,f(-2)=0,则可确定x+2是+5x+6的一个因式。
(事实上,+5x+6=(x+2)(x+3).)
1、对于系数全部是整数的多项式,若X=q/p(p,q为互质整数时)该多项式值为零,则q为常数项约数,p最高次项系数约数;
2、对于多项式f(a)=0,b为最高次项系数,c为常数项,则有a为c/b约数
⑻换元法
有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来,这种方法叫做换元法。
注意:
换元后勿忘还元.
例如在分解(+x+1)(+x+2)-12时,可以令y=+x,则
原式=(y+1)(y+2)-12 =y+3y+2-12=y+3y-10 =(y+5)(y-2)
=(+x+5)(+x-2) =(+x+5)(x+2)(x-1).
⑼求根法
令多项式f(x)=0,求出其根为x1,x,x3,……xn,
则该多项式可分解为f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn).
例如在分解2x^4+7x^3-2x^2-13x+6时,令2x^4+7x^3-2x-13x+6=0,
则通过综合除法可知,该方程的根为0.5,-3,-2,1.
所以2x^4+7x^3-2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1).
⑽图象法
令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图像与X轴的交点x1,x2,x3,……xn,则多项式可因式分解为f(x)=f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn).
与方法⑼相比,能避开解方程的繁琐,但是不够准确。
例如在分解x^3+2-5x-6时,可以令y=x^3;
+2-5x-6.
作出其图像,与x轴交点为-3,-1,2
则x^3+2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2).
⑾主元法
先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解。
⑿特殊值法
将2或10代入x,求出数p,将数p分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式。
例如在分解x^3+9+23x+15时,令x=2,则
x^3+9+23x+15=8+36+46+15=105,
将105分解成3个质因数的积,即105=3×
5×
7.
注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值,
则x^3+9+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5),验证后的确如此。
⒀待定系数法
首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解。
例如在分解x^4-x^3-5-6x-4时,由分析可知:
这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式。
于是设x^4-x^3-5-6x-4=(+ax+b)(+cx+d)
=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)+(ad+bc)x+bd
由此可得a+c=-1,
ac+b+d=-5,
ad+bc=-6,
bd=-4.
解得a=1,b=1,c=-2,d=-4.
则x^4-x^3-5x-6x-4=(x+x+1)(x-2x-4).
⒁双十字相乘法
双十字相乘法属于因式分解的一类,类似于十字相乘法。
双十字相乘法就是二元二次六项式,启始的式子如下:
ax+bxy+cy+dx+ey+f
x、y为未知数,其余都是常数
用一道例题来说明如何使用。
例:
分解因式:
x+5xy+6y+8x+18y+12.
分析:
这是一个二次六项式,可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。
解:
原式=(x+2y+2)(x+3y+6).
双十字相乘法其步骤为:
①先用十字相乘法分解2次项,如十字相乘图①中x+5xy+6y=(x+2y)(x+3y);
②先依一个字母(如y)的一次系数分数常数项。
如十字相乘图②中6y+18y+12=(2y+2)(3y+6);
③再按另一个字母(如x)的一次系数进行检验,如十字相乘图③,这一步不能省,否则容易出错。
多项式因式分解的一般步骤
①如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式;
②如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解;
③如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解;
④分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
也可以用一句话来概括:
“先看有无公因式,再看能否套公式。
十字相乘试一试,分组分解要合适。
”
几道例题
1.分解因式(1+y)-2x(1+y)+x(1-y).
解:
原式=(1+y)+2(1+y)x(1-y)+x(1-y)-2(1+y)x(1-y)-2x(1+y)(补项)
=[(1+y)+x(1-y)]-2(1+y)x(1-y)-2x(1+y)(完全平方)
=[(1+y)+x(1-y)]-(2x)
=[(1+y)+x(1-y)+2x][(1+y)+x(1-y)-2x]
=(x-xy+2x