二项式定理知识点及跟踪典型例题_精品文档文档格式.doc
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一、与通项有关的一些问题
例1.在的展开式中,指出 1)第4项的二项式系数 2)第4项的系数 3)求常数项
解:
展开式的通项为展开式中的第r+1项.
1),二项式系数为;
2)由1)知项的系数为;
3)令6-3r=0,∴r=2,∴常数项为.
例2.若的展开式中,前三项的系数成等差数列,求展开式中的有理项.
分析:
通项为,
∵前三项的系数为,且成等差,∴
即解得:
n=8.
从而,要使Tr+1为有理项,则r能被4整除.
例3.1)求的常数项;
2)求(x2+3x+2)5的展开式中x的系数.
1)通项,
令6-2r=0, r=3,∴常数项为.
2)(x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5∴展开式中含x项由(x+1)5中常数项乘(x+2)5的一次项与(x+1)5的一次项乘(x+2)5的常数项相加得到.即为,因而其系数为240.
例4.(a+b+c)10的展开式中,含a5b3c2的系数为_________.
根据多项式相乘的特点,从(a+b+c)10的十个因式中选出5个因式中的a,三个因式中的b,两个因式中的c得到,从而a5b3c2的系数为.
例5.(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5+……+(1+x)100的展开式中x3的系数为______.
(法一)展开式中x3项是由各二项展开式中含x3项合并而形成.因而系数为
(法二)不妨先化简多项式,由等比数列求和公式:
原式=,
要求x3项只要求分子的x4项,因而它的系数为.
二、有关二项式系数的问题.
例6.(2x+xlgx)8的展开式中,二项式系数最大的项为1120,则x=____.
二项式系数最大的为第5项,
解得:
x=1或.
例7.的展开式中系数最大的项为第______项.
展开式中项的系数不同于二项式系数,只能用数列的分析方法.
设第r+1项的系数最大,
则解得:
,∴r=7, 因而第8项系数最大.
三、赋值法:
例8.已知
1)求a0, 2)求a1+a2+a3+a4+a5
3)求(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2 4)求a1+a3+a5
5)|a0|+|a1|+……+|a5|
1)可以把(1-2x)5用二项式定理展开求解.从另一个角度看,a0为x=0时右式的结果,因而令x=0,
∴(1-0)5=a0,∴a0=1.
2)令x=1,则(1-2)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5 又a0=1,∴a1+a2+a3+a4+a5=-2.
3)令x=1,得a0+a1+a2+……+a5=-1(*) 令x=-1,得35=a0-a1+a2-a3+a4-a5(**)
因而,(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2
4)联立(*),(**)两方程,解得a1+a3+a5=-122.
5)
因而|a0|+|a1|+……+|a5|即为(1+2x)5的展开式的所有系数和,
∴|a0|+|a1|+……+|a5|=(1+2)5=35=243.
小结:
①求展开式的系数和只需令x=1可解;
②赋值法也需合情合理的转化.
例9.已知,其中b0+b1+b2+……+bn=62,则n=_________.
令x=1,则,
由已知,2n+1-2=62, ∴2n+1=64,
∴n=5.
例10.求的展开式中有理项系数的和.
研究其通项.
显然当r=2k(k∈Z)时为有理项.因而它的有理项系数和即为(2+t)n的奇数项的系数和.
设(2+t)n=a0+a1t+a2t2+……+antn令t=1,即3n=a0+a1+a2+……+an 令t=-1,
即1=a0-a1+a2-……+(-1)nan
上两式相加,解得奇数项系数和.
四、逆用公式
例11.求值S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1
例12.求值:
原式=
五、应用问题
例13.求证:
32n+2-8n-9能被64整除.
证明:
能被64整除.
例14.9192除以100的余数为________.
9192=(90+1)92
∴被9192100除的余数为81.
若将9192整理成(100-9)92
随之而来又引出一新问题,即992被100除的余数是多少,所以运算量较大.
例15.求0.9983的近似值(精确到0.001)
窗体顶端
选择题
1.(a+b+i)10的展开式中含ab的项的系数是( )
A、 B、 C、 D、
窗体底端
2.在(1-x)(1+x)的展开式中,x的系数是()
A、-297 B、-252 C、297 D、207
3.如果展开式(1+x)2·
(1-x+x2)k中,x3的系数是0,那么自然数k的值是( )
A、2 B、3 C、4 D、5
4.若展开式中第6项系数最大,则不含x的项是( )
A、210 B、120 C、461 D、416
5.在的展开式中,系数是有理数的项共有( )项
A、4 B、5 C、6 D、7
6.f(x)=(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+……+(1+x)10的展开式中各项系数之和等于( )
A、211-2 B、211-1 C、211 D、211+1
答案与解析
答案:
1.C 2.D 3.C 4.A 5.A 6.A
解析:
1.答案:
C.解法:
,s∴含ab的项为r=8的项,即第9项,系数为.
2.答案D.
3.答案:
∵(1+x)2·
(1-x+x2)k=(1+2x+x2)·
[1+(x2-x)]k,其中x2系数必与[1+(x2-x)]k中x0,x1,x2系数有关.又(1-x+x2)k的通项是:
故x0的系数为,x'
的系数为,x2的系数为,即有k2-3k-4=0∴k1=4,k2=-1(舍).
4.答案:
A.解法:
n=10, x3(10-x)·
x-2r=1,r=6 ∴为不含x的项.
5.答案:
A解法:
∵,
∴为有理数,即为整数,则r为2,8,14,20,故有4项.
6.答案:
取x=1,
9