二项式定理知识点及跟踪典型例题_精品文档文档格式.doc

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　　一、与通项有关的一些问题

　　例1．在的展开式中，指出　1）第4项的二项式系数　2）第4项的系数　3）求常数项

　　解:

展开式的通项为展开式中的第r+1项.

　　1），二项式系数为；

　　2）由1）知项的系数为；

　　3）令6-3r=0,∴r=2,∴常数项为.

　　例2．若的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项.

　　分析:

通项为,

　　∵前三项的系数为，且成等差，∴

　　即解得:

n=8.

　　从而，要使Tr+1为有理项，则r能被4整除.

　　例3．1）求的常数项；

2）求（x2+3x+2）5的展开式中x的系数.

　　1）通项，

　　令6-2r=0,　r=3,∴常数项为.

　　2）（x2+3x+2）5=（x+1）5（x+2）5∴展开式中含x项由（x+1）5中常数项乘（x+2）5的一次项与（x+1）5的一次项乘（x+2）5的常数项相加得到.即为，因而其系数为240.

　　例4．（a+b+c）10的展开式中，含a5b3c2的系数为_________.

根据多项式相乘的特点，从（a+b+c）10的十个因式中选出5个因式中的a，三个因式中的b，两个因式中的c得到，从而a5b3c2的系数为.

　　例5．（1+x）3+（1+x）4+（1+x）5+……+（1+x）100的展开式中x3的系数为______.

　　（法一）展开式中x3项是由各二项展开式中含x3项合并而形成.因而系数为

　　（法二）不妨先化简多项式，由等比数列求和公式:

原式=,

　　要求x3项只要求分子的x4项，因而它的系数为.

　　二、有关二项式系数的问题.

　　例6．（2x+xlgx）8的展开式中，二项式系数最大的项为1120，则x=____.

二项式系数最大的为第5项，

　　解得:

x=1或.

　　例7．的展开式中系数最大的项为第______项.

展开式中项的系数不同于二项式系数，只能用数列的分析方法.

　　设第r+1项的系数最大，

　　则解得:

，∴r=7,　　因而第8项系数最大.

　　三、赋值法:

　　例8．已知

　　1）求a0,　　　　　　　　　　　　　2）求a1+a2+a3+a4+a5

　　3）求（a0+a2+a4）2-（a1+a3+a5）2　　　4）求a1+a3+a5

　　5）|a0|+|a1|+……+|a5|

　　1）可以把（1-2x）5用二项式定理展开求解.从另一个角度看，a0为x=0时右式的结果，因而令x=0,

　　∴（1-0）5=a0,∴a0=1.

　　2）令x=1,则（1-2）5=a0+a1+a2+a3+a4+a5　又a0=1,∴a1+a2+a3+a4+a5=-2.

　　3）令x=1，得a0+a1+a2+……+a5=-1（*）　令x=-1,得35=a0-a1+a2-a3+a4-a5（**）

　　因而,（a0+a2+a4）2-（a1+a3+a5）2

　　4）联立（*）,（**）两方程，解得a1+a3+a5=-122.

　　5）

　　因而|a0|+|a1|+……+|a5|即为（1+2x）5的展开式的所有系数和，

　　∴|a0|+|a1|+……+|a5|=（1+2）5=35=243.

　　小结:

①求展开式的系数和只需令x=1可解；

　②赋值法也需合情合理的转化.

　　例9．已知,其中b0+b1+b2+……+bn=62,则n=_________.

令x=1，则,

　　由已知，2n+1-2=62,　∴2n+1=64,

　　∴n=5.

　　例10．求的展开式中有理项系数的和.

研究其通项.

　　显然当r=2k（k∈Z）时为有理项.因而它的有理项系数和即为（2+t）n的奇数项的系数和.

　　设（2+t）n=a0+a1t+a2t2+……+antn令t=1，即3n=a0+a1+a2+……+an　　令t=-1，

即1=a0-a1+a2-……+（-1）nan

　　上两式相加，解得奇数项系数和.

　　四、逆用公式

　　例11．求值S=（x-1）4+4（x-1）3+6（x-1）2+4（x-1）+1

　　例12．求值:

　　　原式=

　　五、应用问题

　　例13．求证:

32n+2-8n-9能被64整除.

　　证明:

　　能被64整除.

　　例14．9192除以100的余数为________.

9192=（90+1）92

　　∴被9192100除的余数为81.

若将9192整理成（100-9）92

　　随之而来又引出一新问题，即992被100除的余数是多少，所以运算量较大.

　　例15．求0.9983的近似值（精确到0.001）

窗体顶端

　　选择题

　　1．（a+b+i）10的展开式中含ab的项的系数是（　）

　　A、　　B、　　C、　　D、

窗体底端

　　2．在（1-x）（1+x）的展开式中，x的系数是（）

　　A、-297　　B、-252　　C、297　　D、207

　　3．如果展开式（1+x）2·

（1-x+x2）k中，x3的系数是0，那么自然数k的值是（　）

　　A、2　　B、3　　C、4　　D、5

　　4．若展开式中第6项系数最大，则不含x的项是（　）

　　A、210　　B、120　　C、461　　D、416

　　5．在的展开式中，系数是有理数的项共有（　）项

　　A、4　　B、5　　C、6　　D、7

　　6．f（x）=（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+……+（1+x）10的展开式中各项系数之和等于（　）

　　A、211-2　　B、211-1　　C、211　　D、211+1

答案与解析

　　答案：

1.C　　2.D　　3.C　　4.A　　5.A　　6.A

　　解析：

　　1．答案：

C.解法：

，s∴含ab的项为r=8的项，即第9项，系数为.

　　2．答案D.

　　3．答案：

∵（1+x）2·

（1-x+x2）k=（1+2x+x2）·

[1+（x2-x）]k,其中x2系数必与[1+（x2-x）]k中x0，x1,x2系数有关.又（1-x+x2）k的通项是：

故x0的系数为，x'

的系数为，x2的系数为，即有k2-3k-4=0∴k1=4,k2=-1（舍）.

　　4．答案：

A.解法：

n=10,　x3（10-x）·

x-2r=1,r=6　∴为不含x的项.

　　5．答案：

A解法：

∵，

　　∴为有理数，即为整数，则r为2,8,14,20,故有4项.

　　6．答案：

取x=1，

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