《高等数学AⅡ》课程教学大纲 (1).doc

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《高等数学AⅡ》课程教学大纲

一、课程基本信息

开课单位

课程类别

学科基础

课程名称

高等数学AⅡAdvancedMathematicsAⅡ

课程编码

开课对象

理、工科等本科专业

开课学期

第二学期

学时/学分

总学时100/5.5学分

先修课程

初等数学、高等数学AⅠ

课程简介：

《高等数学AⅡ》是我校本科地理信息科学、金融工程、计算机科学与技术、电子信息工程、光电信息科学与工程、电子科学与技术、机械设计制造及自动化、建筑电气与智能化、无机非金属材料工程等专业的一门重要的先行基础课。

根据我校培养具有创新意识和创业精神的高素质应用型专门人才的宗旨，通过这门课程的学习可以使学生获得从事地理信息科学、金融工程、机电、电子信息、机械设计制造及自动化等专业所必需的高等数学知识；培养学生比较熟练的基本运算能力；提高学生解决问题的能力；培养学生抽象思维和逻辑推理的能力及创新思维能力；树立运用所学高等数学知识去分析解决后续课程相关问题的能力。

二、课程教学目标

本课程为我校理、工等学科本科生的公共基础课。

通过系统学习，使学生掌握高等数学的基本知识,使学生计算能力和解决问题的能力进一步提高，逐步培养学生抽象思维和概括问题的能力、逻辑推理能力、创新思维能力、自学能力、较熟练的运算能力和综合运用所学知识分析和解决问题的能力,为后续课程的学习和专业发展奠定必要的数学基础。

第一，通过课程学习，学生的计算能力要进一步提高，主要是求极限、求导数、求积分的能力要达到一定的熟练程度。

第二，通过课程学习，学生的自学能力要进一步提高，主要是培养学生的自主学习意识和学习习惯。

第三，通过课程学习，学生的分析和解决问题的能力要进一步提高，主要是要培养学生的学以致用的能力，把高等数学的知识用到后续的专业课程中去的能力。

第四，通过课程学习，学生的抽象思维和逻辑推理能力要进一步提高。

三、教学学时分配

《高等数学AⅡ》课程理论教学学时分配表

章次

主要内容

学时分配

教学方法或手段

第七章

常微分方程

12

讲授法，讨论法

第八章

空间解析几何与向量代数

14

讲授法，MOOC

第九章

多元函数的微分法及其应用

22

讲授法，讨论法

第十章

重积分

14

讲授法，讨论法

第十一章

曲线积分与曲面积分

20

讲授法，讨论法，MOOC

第十二章

无穷级数

18

讲授法，讨论法

合计

100

MOOC34课时

＊理论学时包括讨论、习题课等学时。

四、教学内容和教学要求

第七章常微分方程（12学时）

（一）教学要求：

1．掌握微分方程的基本概念。

2．熟练掌握可分离变量、齐次、一阶线性等一阶微分方程的解法与应用。

3．掌握三类可降价的高阶微分方程的解法及应用。

4．理解二阶线性微分方程解的结构。

5．掌握二阶常系数线性齐次与非齐次微分方程的解法及应用。

（二）教学重点与难点：

重点：

可分离变量的微分方程，一阶线性微分方程，二阶常系数线性齐次与非齐次微分方程。

难点：

求解一阶线性，二阶常系数线性齐次与非齐次微分方程。

（三）教学内容：

第一节微分方程的基本概念

第二节可分离变量的微分方程

第三节齐次方程

1．齐次方程

2．可化为齐次方程的方程

第四节一阶线性微分方程

1．线性方程

2．伯努利方程

第五节可降阶的高阶微分方程

第六节高阶线性微分方程

1．二阶线性微分方程举例

2．线性微分方程的解的结构

第七节常系数齐次线性微分方程

第八节常系数非齐次线性微分方程

本章习题要点：

1．解一阶微分方程

2．解二阶微分方程

第八章空间解析几何与向量代数（14学时）

（一）教学要求：

1．理解空间直角坐标系及两点间距离。

2．理解掌握向量的线性运算、向量在轴上的投影、向量的坐标、向量的模与方向余弦的坐标表达式、向量的数量积与向量积。

3．掌握空间平面方程的点法式、一般式及两平面的夹角、垂直平行条件和点到平面上的距离。

4．掌握空间直线方程的点向式、参数式、两面式及两直线的夹角垂直平行条件和直线与平面夹角垂直平行条件。

会求点到直线的距离。

5．掌握球面、柱面、锥面、旋转面、双曲抛物面的方程及其图形。

6．掌握空间曲线作为两曲面的交线及其在坐标面上的投影。

（二）教学重点与难点：

重点：

数量积。

向量积。

空间平面的方程。

空间直线的方程。

两平面（两直线、直线与平面）间的夹角、垂直、平行条件。

难点：

向量积。

空间平面的方程。

空间直线的方程。

（三）教学内容：

第一节向量及其线性运算

1.向量概念

2．向量的线性运算

3．空间直角坐标系

4.利用坐标作向量的线性运算

5．向量的模、方向角、投影

第二节数量积向量积

1．两向量的数量积

2．两向量的向量积

第三节曲面及其方程

1．曲面方程的概念

2．旋转曲面

3．柱面

4．二次曲面

第四节空间曲线及其方程

1．空间曲线的一般方程

2．空间曲线的参数方程

3．空间曲线在坐标面上的投影

第五节平面及其方程

1．平面的点法式方程

2．平面的一般方程

3．两平面的夹角

第六节空间直线及其方程

1．空间直线的一般方程

2．空间直线的对称式方程与参数方程

3．两直线的夹角

4．直线与平面的夹角

5．杂例

本章习题要点：

1．向量积的运算

2．空间直线的方程

3．平面的方程

第九章多元函数的微分法及其应用（22学时）

（一）教学要求：

1．理解掌握平面上邻域、区域的概念。

2．理解掌握多元函数的概念、极限与连续性。

3．理解偏导数与高阶偏导数的概念。

4．理解全微分的概念，了解全微分在近似计算中的应用。

5．熟练掌握多元复合函数的求导法则。

6．掌握隐函数的存在性（不证）及其求导公式，了解雅可比行列式。

7．理解掌握空间曲线的切线与法平面及空间曲面的切平面与法线等概念。

8．了解数量场与向量场的概念，理解方向导数与梯度等概念。

9．掌握多元函数极值、最值的求法及条件极限——拉格朗日乘数法。

（二）教学重点与难点：

重点：

偏导数、全微分、多元复合函数的求导法则。

难点：

多元复合函数的求导准则（含二阶偏导数的求法）。

（三）教学内容：

第一节多元函数的基本概念

1．平面点集

2．多元函数概念

3．多元函数的极限

4．多元函数的连续性

第二节偏导数

1．偏导数的定义及其计算法

2．高阶偏导数

第三节全微分

1．全微分的定义

2．全微分在近似计算中的应用

第四节多元复合函数的求导法则

第五节隐函数的求导公式

1．一个方程的情形

2．方程组的情形

第六节多元函数微分学的几何应用

1．一元向量值函数及其导数

2．空间曲线的切线与法平面

3．曲面的切平面与法线

第七节方向导数与梯度

1．方向导数

2．梯度

第八节多元函数的极值及其求法

1．多元函数的极值及最大值、最小值

2．条件极值拉格朗日乘数法

本章习题要点：

1．求偏导数

2．求隐函数的导数

3．求多元函数的极值

第十章重积分（14学时）

（一）教学要求：

1．理解二重积分的概念与性质。

2．熟练掌握二重积分的计算法（直角坐标系下、极坐标系下）。

3．掌握二重积分的应用（曲顶柱体体积、曲面面积、质量、重心、转动惯量、引力）。

4．理解三重积分的概念与性质。

5．掌握三重积分的计算法（直角坐标系下、柱面坐标系下、球面坐标系下）。

6．了解三重积分的应用。

（二）教学重点与难点：

重点：

二重积分与三重积分的计算。

（三）教学内容：

第一节二重积分的概念与性质

1．二重积分的概念

2．二重积分的性质

第二节二重积分的计算法

1．利用直角坐标计算二重积分

2．利用极坐标计算二重积分

第三节三重积分

1．三重积分的概念

2．三重积分的计算

第四节重积分的应用

1．曲面的面积

2．质心

3．转动惯量＊

4．引力＊

本章习题要点：

1．求二重积分

2．求三重积分

3．求曲面面积

第十一章曲线积分与曲面积分（20学时）

（一）教学要求：

1．理解两类曲线积分的概念、性质及之间的联系。

2．掌握两类曲线积分的计算和简单应用。

3．掌握格林公式及平面曲线积分与路径无关的条件。

4．理解两类曲面积分的概念、性质及之间的联系。

5．掌握两类曲面积分的计算及简单应用。

6．理解高斯公式及其应用。

（二）教学重点与难点：

重点：

两类曲线、曲面积分的计算。

格林公式及平面曲线积分与路径无关的条件。

难点：

曲面积分的计算。

格林公式及高斯公式的运用。

（三）教学内容：

第一节对弧长的曲线积分

1．对弧长的曲线积分的概念与性质

2．对弧长的曲线积分的计算法

第二节对坐标的曲线积分

1．对坐标的曲线积分的概念与性质

2．对坐标的曲线积分的计算法

3．两类曲线积分之间的联系

第三节格林公式及其应用

1．格林公式

2．平面上曲线积分与路径无关的条件

3．二元函数的全微分求积

第四节对面积的曲面积分

1．对面积的曲面积分的概念与性质

2．对面积的曲面积分的计算法

第五节对坐标的曲面积分

1．对坐标的曲面积分的概念与性质

2．对坐标的曲面积分的计算法

第六节高斯公式

本章习题要点：

1．求曲线积分

2．求曲面积分

3．格林公式的应用

4．高斯公式的应用

第十二章无穷级数（18学时）

（一）教学要求：

1．理解数项级数的一般概念、收敛的必要条件和收敛级数的基本性质。

2．掌握正项级数的比较、比值审敛法。

3．掌握交错级数及莱布尼兹审敛法。

4．掌握任意项级数的绝对收敛与条件收敛概念。

5．掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及其在收敛区间内的代数性质与解析性质。

会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。

6．了解泰勒级数与麦克劳林级数。

掌握函数展为幂级数的直接法与间接法，熟悉几个初等函数的展开式。

7．幂级数展开式的应用。

8．三角函数系的正交性。

傅立叶级数。

9．一般周期函数的傅立叶级数。

（二）教学重点与难点：

重点：

数项级数的审敛法，幂级数的收敛性，周期函数展为傅立叶级数。

难点：

数项级数的审敛法。

一般周期函数展为傅立叶级数。

（三）教学内容：

第一节常数项级数的概念与性质

1．常数项级数的概念

2．收敛级数的基本性质

第二节常数项级数的审敛法

1．正项级数及其审敛法

2．交错级数及其审敛法

3．绝对收敛与条件收敛

第三节幂级数

1．函数项级数的概念

2．幂级数及其收敛性

3．幂级数的运算

第四节函数展开成幂级数

第五节函数的幂级数展开式的应用

1．近似计算

2．微分方程的幂级数解法

第六节傅立叶级数

1．三角函数系的正交性

2．函数展开成傅立叶级数

3．正弦级数和余弦级数

第七节一般周期函数的傅立叶级数

1．周期为2l的周期函数的傅立叶级数

本章习题要点：

1．常数项级数的审敛

2．函数展开成幂级数

3．函数展开成傅立叶级数

带＊的内容可以根据学生的所在专业选学或者调整

五、教学方法或手段

1、教学方法：

讲授法、启发式、讨论式、案例式、探究式、互动式、学导式、自学辅导式、网上助学式和合作式学习方式。

2、教学手段：

多媒体、MOOC等。

六、考核方式及评价要求

本课程教学严格按照理论课程教学大纲、实验课程教学大纲课程教学进程安排进行日常教学，采取课堂讲授、课堂讨论、课外自主实践等多种形式完成教学任务。

课程总评成绩由以下三部分构成，各部